Ganzrationale Funktionen 3. und 4. Grades und Ihre Schaubilder

Ganzrationale Funktionen 3. und 4. Grades und Ihre Schaubilder
1. Funktionsgleichung
ganzrationale Funktion 3.Grades
ganzrationale Funktion 4.Grades
f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
f (x ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e
Definitionsbereich und Wertebereich
In grF 3. Grades darf man alle x∈R einsetzen
und man erreicht alle x∈R als y-Werte.
In grF 4. Grades darf man alle x∈R einsetzen,
aber man erreicht nicht alle x∈R als y-Werte.
Da die Parabel 4.Ordnung nach oben oder
nach unten geöffnet ist, gibt es entweder ein
kleinstes y oder ein größtes y
D=R, W=R
D=R, W={x∈R / x ≥ -3}
2. globaler Verlauf der Parabeln
f (x ) =
f (x ) = x 3 − 3 x 2 + 1
von III I
wenn a positiv
(a>0)
1 4 2 3 4 2 2
2
x + x − x − x−
5
5
5
5
5
nach oben geöffnet wenn a positiv ( a > 0 )
f (x ) = −
f (x ) = − x 3 + 3 x 2 − 1
von II IV wenn a negativ ( a < 0 )
1 4 2 3 4 2 2
2
x − x + x + x+
5
5
5
5
5
nach unten geöffnet wenn a negativ ( a < 0 )
1
grF-3-4-01 / 04.03.2010 / len
3. Symmetrie
Punktsymmetrie zum Ursprung
Achsensymmetrie zur y-Achse
f(-x) = - f(x)
f(-x) = f(x)
nur ungerade Exponenten
nur gerade Exponenten
f (x ) = ax 3 + cx
f (x ) = ax 4 + cx 2 + e
f (x ) =
f (x ) =
1 3
x −x
9
1 4
x − 9x 2 + 2
5
4. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt mit der y-Achse, d.h. x = 0
f (0 ) = d , also Schnittpunkt: Sy (0 / d)
f (0 ) = e , also Schnittpunkt: Sy (0 / e)
Man muss nichts rechnen, sondern kann einfach den Koeffizienten d, bzw. e ablesen!!!
Schnittpunkte mit der x-Achse, d.h. y = 0 (Nullstellen)
minimal 1, maximal 3 Nullstellen
minimal keine, maximal 4 Nullstellen
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0
Hier muss man rechnen, d.h. die Lösungen der Gleichung ermitteln.
Nur in Sonderfällen geht das durch algebraische Umformung, weil es keine
Mitternachtsformel für grF 3. und 4. Grades gibt. Auf jeden Fall kann man die Lösungen mit
dem GTR im Graphikmodus ermitteln
TI: 2nd Calc 2:zero,
Casio: Shift G-Solv F1 ROOT
2
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5. Sonderfälle der Gleichungen 3. und 4. Grades
Typ 1: Lösung durch Wurzelziehen
ax 3 + d = 0
ax 4 + e = 0
diese Gleichung hat immer eine Lösung
diese Gleichung hat entweder keine oder zwei
Lösung(en)
ax 3 = −d x1 = 3 −
d
a
ax 4 = −e x1/ 2 = ± 4 −
e
a
Typ 2: Lösung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt
ax 3 + bx 2 + cx = 0
ax 4 + bx 3 + cx 2 = 0
mindestens 1 Lösung, ggf. 2 oder 3 Lösungen
mindestens 1 (doppelte) Lösung, ggf. 2 oder 3 Lösungen
x ausklammern, dann Satz vom Nullprodukt
x² ausklammern, dann Satz vom Nullprodukt
(
)
(
)
x ⋅ ax 2 + bx + c = 0
x 2 ⋅ ax 2 + bx + c = 0
x1 = 0 auf jeden Fall und ggf.
x2,3 aus Mitternachtsformel für ax 2 + bx + c = 0
x1/ 2 = 0 auf jeden Fall und ggf.
x3,4 aus Mitternachtsformel für ax 2 + bx + c = 0
Typ 3: Lösung durch Substitution
ax 4 + cx 2 + e = 0
keine Fälle für grF 3. Grades
Substituiere: x²=z az 2 + cz + e = 0
man bekommt 0, 1 oder 2 Lösungen für z, damit durch
Rücksubstitution 0, 2, oder 4 Lösungen für x
6. Vielfachheit von Nullstellen und Produktform (Linearfaktorzerlegung)
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0
Wenn 3 verschiedene Lösungen (x1, x2, x3) vorliegen,
dann hat man 3 einfache Nullstellen.
Wenn 4 verschiedene Lösungen (x1, x2, x3, x4) vorliegen,
dann hat man 4 einfache Nullstellen.
Produktform: f(x) = a(x-x1) (x-x2) (x-x3)
Produktform: f(x) = a(x-x1) (x-x2) (x-x3) (x-x4)
f (x) =
1
⋅ (x + 2) ⋅ (x − 1) ⋅ (x − 3 )
3
f (x) =
3
1
(x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 3 )
3
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Es kann sein, dass 2 Lösungen gleich sind, dann spricht
man von einer doppelten Nullstelle.
Es gibt den Fall, dass eine doppelte Nullstelle und zwei
einfache vorkommen.:
Produktform: f(x) = a(x-x1) (x-x2)²
Produktform: f(x) = a(x-x1) (x-x2) (x-x3)²
f (x) =
1
(x + 2)(x − 2)2
3
f (x) =
1
(x + 2)(x + 1)(x − 1)2
3
Wenn alle 3 Lösungen gleich sind, dann spricht man von
einer dreifachen Nullstelle.
Eine weitere Konstellation ist eine dreifache Nullstelle
und eine einfache.
Produktform: f(x) = a (x-x1)³
Produktform: f(x) = a (x-x1) (x-x2)³
f (x) =
1
(x − 2)3
3
f (x) =
1
(x + 2)(x − 2)3
6
Die größte Vielfachheit einer Nullstelle bei einer grF 4.
Grades ist 4 – das ist eine vierfachen Nullstelle.
Produktform: f(x) = a (x-x1)
4
f ( x ) = (x − 2 )
4
Gegenseitige Lage von Kurven
Schnittstellen, einfache, doppelte, dreifache,…
Kurve 1 verläuft (ggf.abschnittsweise) oberhalb oder unterhalb von Kurve 2
4
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