GÉOMÉTRIE - Art

Transcription

GÉOMÉTRIE - Art

Géométrie Comparée
Étude de la Composition dans les Arts
La naissance de la
GÉOMÉTRIE
Prague
Mars 2011
De l'Égypte à la Grèce Antique
Pythagore au pied des pyramides
par Yvo Jacquier
Nul n'est censé ignorer la Science
© Yvo Jacquier - La Naissance de la Géométrie
1 on 43
Table des matières
◊ Chapitre I - PRÉSENTATION
(p 4)
1 - Défnitions
2 - La Géométrie Comparée
◊ Chapitre II - Égypte et Grèce, grandes écoles
(p 5)
(p 6)
1 - La naissance des Mathématiques
2 - La démarche de cet article
(p 7)
État des lieux historique - Le recours à l'étude et au bon sens - L'Esthétique littéraire
du XXème Siècle - La réalité concrète - La défnition égyptienne du Nombre d'Or - Le
matériel de démonstration
3 - La force de la raison
(p 10)
Rendons à Pythagore ce qui lui revient - La géométrie minimale des Égyptiens - Le
statut de la diagonale du double carré - La racine du 5 est une convention d'écriture la démonstration par les surfaces - le quadrillage
4 - Les démonstrations
(p 13)
◊ Chapitre III - Le Cercle Intime du Triangle
(p 14)
◊ Chapitre IV - La divine proportion
(p 16)
La propriété cachée du Triangle Sacré - Le Triangle Sacré - Le rectangle doré de coté 2
- Placement du rectangle sur le Triangle - Le module de la diagonale du double-carré Le Grand Cerf-Volant - Placement du module - La partie avant du Cerf-Volant Placement de la diagonale au rectangle - L'assaut fnal
2 on 43
◊ Chapitre V - L'étude par la trigonométrie
(p 21)
1 - Les angles et leurs tangentes
2 - Les rapports géométriques des valeurs Phi et 2
(p 22)
les diagonales du rectangle doré - les diagonales du rectangle doré et du double carré
- le rectangle doré du Triangle Sacré et le double carré - confrontation des leçons sur
les angles - Comment construire un rectangle doré sur un quadrillage - le Nombre d'or
sur le cercle
3 - Cinq fgures complémentaires
◊ Chapitre VI - Les deux grandes écoles de l'Antiquité
(p 25)
(p 27)
1 - Les deux étapes de l'approche du Nombre d'Or
2 - Une belle conclusion
◊ Chapitre VII - Exemples de l'Art Égyptien
(p 28)
(p 29)
Premier exemple - Le souverain Benia
Second exemple - Slab stellae de la princesse Néfertiabet
(p 31)
◊ Annexes
1 - La diagonale du double-carré
(p 33)
2 - Les Grecs en Égypte - I
(p 36)
3 - Les Grecs en Égypte - II
(p 38)
4 - RÉSUMÉ DE L'ARTICLE
(p 41)
3 on 43
◊ Chapitre I - PRÉSENTATION
Cet article s'adresse en priorité aux Mathématiciens. Il rassemble des éléments qui
les concernent directement. Les démonstrations sont accessibles à un large public,
en revanche seuls les professionnels sont habilités à adouber ce travail, sur le plan
scientifque et pédagogique, qui explique le passage historique d'une Géométrie
"avec les yeux", à celle où le calcul s'associe à la construction des fgures.
Un grand merci à mon ami Tony Rédoux, professeur de mathématiques au lycée
français de Prague (capétien celte), pour son soutien fondamental. Un pareil merci
aux membres du forum du site www.les-mathematiques.net, qui ont mis à notre
disposition un nombre considérable d'éléments, sources, questions et commentaires.
1 - Défnitions
Art
Le champ où s'inscrit mon travail de recherche a lieu d'être précisé : il comprend
Peinture, Sculpture et Architecture dans l'Histoire.
Composition
La composition est comparable au bois de cofrage du bâtiment. Le propre de ce bois
est de se retirer à la fn du chantier. Un ensemble de fgures géométriques guide le
trait de l'Artiste ou de l'Architecte, jusqu'à se faire digérer par l'oeuvre.
Figure géométrique et Structure géométrique
Les fgures peuvent être envisagées séparément, comme c'est la "tradition" dans
l'Histoire, mais elles deviennent intéressantes quand elles se lient entre elles pour
former un réseau, une trame plus complexe, capable d'assumer et de donner un sens
à l'oeuvre qui se bâtit sur elles. Il n'y a pas d'intelligence sans structure.
Géométrie Sacrée
La Géométrie Sacrée est la pratique ancestrale de l'Art de la Composition. Elle se sert
de structures géométriques pour construire des oeuvres d'art. Cette Géométrie a un
sens, porté par les valeurs numériques des fgures, identifables sur un quadrillage.
4 on 43
2 - La Géométrie Comparée
La Géométrie Comparée est la Science qui étudie les oeuvres construites avec une
Géométrie Sacrée. Sa méthode consiste à comparer les oeuvres entre elles pour faire
ressortir des structures communes. Un principe s'ajoute, celui de la double-preuve,
qui éclaircit les nombreux résultats de l'étude en écartant les schémas secondaires.
À ce jour, aucune oeuvre majeure, depuis le Paléolithique jusqu'à la Renaissance et
même au-delà (Ingres), n'échappe à la pratique de la Géométrie Sacrée. Elle s'est
éteinte avec la tradition des ateliers, "remplacée" par des discours...
Les oeuvres qui ont marqué l'étude
- La Vénus de Lespugue, 21 000 av J-C, Gravétien
- La fresque de Osiris et Ay, 1 350 av J-C, Égypte
- La Vierge de Vladimir, XII° C (Byzance) and XV°C (Rublev ?)
- La façade de la Maison à la Cloche, XIV° C, Prague
- La Sainte Trinité, 1420/28, Rublev
- La naissance de Vénus, 1485, Botticelli
- L'Autoportrait, 1500, Durer
- La Vierge au Rosaire, 1506, Durer
- Melencolia I, 1514, Durer (Polyèdre et "Die drei Meisterstiche")
- Les Tarots de Nicolas Conver, 1760, modèle de Durer
Les points communs de toutes ces oeuvres
L'étude
révèle une véritable Culture de
la Composition dont la première
caractéristique est sa formidable UNITÉ. La pratique inconsciente et instinctive des
primitifs devient lucide et réféchie au Néolithique. Les structures se développent par
étapes depuis l'Égypte jusqu'à Durer sans jamais se contredire : les valeurs
numériques identifables par la mesure grâce au quadrillage ne changent jamais de
sens. Pour les Anciens, la Géométrie est indéformable, éternelle et insondable : c'est
la langue de Dieu, rendue accessible par la lecture des nombres.
Les trois grands Maîtres
Les trois grands Maîtres de la Géométrie Sacrée sont Rublev (qui préfgure les
fractales), Botticelli (qui transcende les canons), et enfn Durer qui réunit vingt et une
cartes en un seul système. Les Tarots sont l'encyclopédie des Symboles.
5 on 43
◊ Chapitre II
Égypte et Grèce, grandes écoles
1 - La naissance des Mathématiques
L'ordre des choses : géométrie, calcul, écriture
Peut-on imaginer les hommes pratiquer le calcul sans prendre note de leurs
procédés et de leurs résultats ? Évidemment non. Le calcul naît ainsi avec l'Écriture,
ou plus exactement : la première écriture concerne les livres de comptes !
La Géométrie a précédé l'Algèbre de plusieurs milliers d'années. L'on s'accorde à
situer la transition entre une Géométrie de formes pures et une Géométrie soumise à
l'analyse des nombres entre l'Égypte et la Grèce. Les Sumériens et les Babyloniens
avaient aussi leurs pratiques, mais le grand "bond en avant" de la géométrie s'est bel
et bien produit quelque part entre ces deux Écoles : il n'est pas un Homme illustre en
Grèce qui ne fasse ses classes en Égypte. Pythagore, comme les autres, hérite des
problèmes que s'y posent les géomètres... (Pour en savoir plus : voir l'Annexe - Les
Grecs en Égypte à la fn de l'article) . La Géométrie est la première forme palpable de
l'intelligence abstraite, et l'Égypte est sa première haute école.
Les résultats de la Géométrie Comparée
Il serait difcile de comprendre l'Égypte sans les apports de la Géométrie Comparée.
Les formes mises en évidence, y compris la pratique du quadrillage, remontent à
l'Antiquité. Sans prendre en compte leur intérêt et leur usage, tels qu'ils se sont
manifestés par la suite, il est très difcile d'en expliquer la naissance. Sans les
explications de la Géométrie Comparée, le modeste triangle 3-4-5 ne reste qu'un
outil de construction, une vulgaire équerre posée sur le sol pour rassurer le maçon.
En revanche, la mise en évidence de sa structure interne bouleverse son approche, et
précise les circonstances qui font de lui un Triangle Sacré. Il n'y a dans cette
révélation aucun rideau de fumée, aucun concept sur la magie, qu'elle soit
pharaonique ou pythagoricienne. Rien que des faits mathématiques, issus de l'étude
des oeuvres d'art qui ont succédé à l'Antiquité du Triangle. Un travail réel.
(Voir au chapitre VII les exemples didactiques de l'Art Égyptien)
6 on 43
2 - La démarche de cet article
État des lieux historique
Les éléments biographiques manquent cruellement pour reconstituer une histoire
précise et cohérente de la naissance de la géométrie, depuis le néolithique sortant de
ses cavernes jusqu'à la Grèce de Thalès ou d'Euclide. Le bilan des éléments
disponibles confne au pathétique. Une thèse, si courante qu'elle en devient ofcielle,
voit le nombre d'or naître du calcul chez les Grecs, puis subir une éclipse jusqu'à
Saint Pacioli en 1509. Cette version apporte à l'Histoire ce que le brouillard apporte
à l'obscurité. Parallèlement, l'obsession du calcul, si productif en termes de
recherche contemporaine, a noyé le problème jusqu'à confondre l'identifcation du
Nombre d'Or et la domestication de la notion d'irrationalité (déf s'il en est !). Le
décompte des faits est exposé dans un article qui engendre la présente entreprise :
http://www.art-renaissance.net/EDL/ Histoire-calcul-Nombre-d-Or.pdf
Le recours à l'étude et au bon sens
Pour dépasser ce fou, nous disposons des apports de la
Géométrie Comparée, et de notre bon sens. Deux lacunes
se révèlent, qui n'en font qu'une historiquement : la
méconnaissance de la Géométrie Égyptienne. D'une part
celle des oeuvres produites grâce à elle, de l'autre l'état de
son Savoir (symbolisé par la proportion dorée du triangle
3-4-5). Les deux aspects peuvent être séparés selon la barrière Science/Science
Appliquée, ou rassemblées sous la bannière de "géométrie avec les yeux". Les
Égyptiens font de leur Religion un Art, et l'un comme l'autre progressent avec la
Géométrie (construisant une Trinité que la philosophie entend dominer).
Sans l'étude des oeuvres, cet aspect fondamental est quasiment inaccessible. En cela,
il est très difcile de dissocier historiquement l'aspect strictement mathématique, et
l'aspect strictement artistique. Dans les faits, les deux forment une seule et même
Culture, et ils sont le refet l'un de l'autre. Les quelques tentatives de "calibrage" des
7 on 43
oeuvres égyptiennes confessent leur précarité par l'absence de la proportion dorée
du Triangle Sacré en tant que base. D'autre part, ce point particulier n'est l'objet,
sinon d'aucune publication, au moins d'aucune publicité. En termes clairs : si
publication il y a (sur la précieuse proportion dorée du Triangle Sacré), elle
n'intéresse personne à ce jour. C'est non seulement dommage mais aussi étrange.
Cette particularité du triangle est LA clé de toute la Géométrie Sacrée, depuis l'Égypte
ancienne jusqu'au-delà de la Renaissance ! Cette porte-là ne se défonce pas avec les
concepts placébo de Perspective Inversée ou encore de Progrès, si chers à
l'Esthétique du XXème Siècle. Paix à son âme !
L'Esthétique littéraire du XXème Siècle
Et si elle la retrouve, son âme, qu'elle nous laisse travailler en paix, notamment dans
le respect des civilisations qui ont précédé la nôtre. Florensky, Panofsky, et
Rauschenbach n'ont manifestement pas pris le soin de vérifer leur commune
hypothèse à propos des Icônes dont ils n'arrivaient pas à résoudre la composition. Ils
ont face au vide de leur connaissance opté pour le concept farfelu de Perspective
Inversée. En dépit de leur talent littéraire extrême, la seule vérité qui soit constatable
concrètement se réduit à ce maigre argument : deux droites non parallèles se
recoupent en un point (la troisième tombe sept fois sur dix à coté). Observons une
minute de silence pour les milliers d'étudiants qui ont forgé leur opinion à partir de
cette plaisanterie. Combien de marins, combien de PhD... Une telle situation ne peut
pas se produire dans la Science. Mais à propos de l'Art, il suft de subventions,
parfois même de médailles (dixit Dr Goebbels). Fin de la parenthèse.
La réalité concrète
En résumé, l'Antiquité a approché les mathématiques selon deux façons :
- une logique de mesure (Sumer) qui aboutit au calcul avec des tables.
- une logique d'angles (Égypte) qui aboutit à la géométrie sur un quadrillage.
Second point capital. On ne sait du Nombre d'Or que ce que l'école nous en dit : sa
défnition passe par l'incontournable "Phi 2=Phi+1". Or cette approche arithmétique
8 on 43
(nombres) et algébrique (équations) n'est pas du tout celle de l'Égypte. Les prêtres y
pensent avec leurs yeux, et il laissent ce qu'ils considèrent comme une tâche
secondaire aux comptables du trésor impérial. Comment Pythagore gère-t-il ses
rapports avec ces aristocrates ecclésiastiques ? Aucune souris d'époque n'est
aujourd'hui capable d'en témoigner, pas d'avantage celle de l'ordinateur...
La défnition égyptienne du Nombre d'Or
La défnition égyptienne du Nombre d'Or concerne les
angles (cette approche est marquée par l'astronomie,
autant que par la géométrie à la corde paléolithique). Le
premier angle à se manifester est l'angle droit. Pour nous,
l'orthogonalité des diagonales d'un rectangle doré initial
et de son "petit" (résidu du carré inscrit) est une simple
conséquence. Pour le prêtre égyptien, c'est une défnition !
Le matériel de démonstration
Tant d'assertions réclament leurs démonstrations. Soit. Non seulement nous allons
les aborder une à une, mais nous irons plus loin que le minimum nécessaire. Les
Égyptiens ne pensaient pas la Géométrie comme nous, arrière-petits enfants
d'Euclide. Ils se faient à l'évidence que le quadrillage ofrait à leurs yeux. Mais parce
que leur mode de pensée est perdu, nous n'avons d'autre choix que celui de
pratiquer l'école de Jules Ferry, id est de justifer le passage d'une ligne à l'autre par
des propriétés dument énoncées et certifées au départ. Le système hypothéticodéductif des Grecs prend alors une allure rétro-active. Pourtant il n'en est rien : les
Égyptiens se sont refusés à dépasser l'évidence, et avec elle ils sont allés très loin !
Selon ce principe nous retiendrons, comme outils de démonstration :
- Le Théorème de Thalès, qui a précédé Pythagore
- Les propriétés de base du Triangle et de son cercle inscrit (bissectrices)
- Les propriétés des Triangles Semblables
- L'angle droit que forme le coté 3 et le coté 4 du triangle 3-4-5 (axiome)
9 on 43
3 - La force de la raison
Des raisonnements simples permettent de combler les vides de l'histoire. Il est
plaisant de mettre une stratégie héritée des Grecs au service des Égyptiens.
Premier point - Rendons à Pythagore ce qui lui revient
L'on peut admettre que les Égyptiens n'inventent pas le théorème de Pythagore avant
lui, et que celui-ci ne vole pas son brevet à l'Égypte. L'on parle d'une sorte de
pratique empirique du dit théorème en Mésopotamie, mais ce n'est pas l'objet direct
de cet article...
Deuxième point - La géométrie minimale des Égyptiens
Une démonstration qui se suft des outils désignés plus haut est légitimement
attribuable aux Égyptiens, en vertu de trois constats :
- L'évidence des principes
- Leur faible nombre
- La production artistique des Égyptiens
(Voir au chapitre VII les exemples didactiques de l'Art Égyptien)
Nous pouvons admettre qu'une Civilisation capable de construire les Pyramides a ce
niveau minimal de géométrie. La durée de son développement consolide cette
afrmation. Au fnal, une seule question se pose vraiment : quelle est l'origine de ce
savoir ? Des soucoupes volantes atlantes ou vénusiennes auraient-elles échoué sur le
sable encore vert de l'Égypte, comme on le lit sur les pages de royaumes virtuels ?
Ou plus prosaïquement, ce Savoir serait-il le résultat d'un travail, tout à fait
comparable à celui de nos chercheurs contemporains ? Une piste est à l'étude : la
Civilisation de Nagada, dont le solstice esquisse la diagonale d'un double carré avec
une précision redoutable. Le Soleil aurait confé ses secrets à l'Égypte et cette
lumière lui aurait paru divine. Pour l'instant, nous cherchons à déterminer l'état de la
géométrie avant l'arrivée de Pythagore en Égypte...
10 on 43
Troisième point - Le statut de la diagonale du double carré
(Voir en Annexe - La diagonale du double-carré)
Ce simple segment réclame cinq étapes successives pour
expliquer sa progression dans la géométrie. En résumé :
1 - Il lui faut d'abord un quadrillage. Cette logique est initiale.
2 - La diagonale du double-carré devient alors remarquable.
3 - Le segment devient une entité de mesure à part entière
(notée arbitrairement ∆ au cours de cette étude)
4 - La diagonale révèle sa mesure exacte : √5
(Ceci, avant, après ou avec Pythagore...)
5 - L'irrationalité de √5 est un débat sinon postérieur, au moins
écarté de celui qui nous occupe : le Nombre d'Or égyptien, tout
de géométrie, construit à partir d'un modeste triangle 3-4-5
sur un quadrillage. Il n'est pas nécessaire de défnir la nature
profonde de √5 pour construire avec Phi...
Quatrième point - La racine du 5 est une convention d'écriture
La notion de racine carrée est une défnition avant tout. C'est même une convention.
Les civilisations capables de compter la côtoient forcément. Pour autant, cela ne
présume pas de sa place dans aucune équation. Admettre que √5 donne 5 par sa
propre multiplication ne fait d'elle la solution à aucun problème (en dehors de celui
des surfaces). Selon quoi les Égyptiens connaissent la racine du 5, sans pour autant
savoir que c'est la mesure exacte de la diagonale du double carré.
Plus loin encore. Si les égyptiens identifaient la mesure de cette diagonale du
double-carré, ils disposeraient de deux exemples de mesure concernant l'angle droit
(double-carré et triangle 3-4-5). Même allergique au calcul, une telle Civilisation
trouverait forcément la clé de Pythagore. L'on peut même afrmer que cette
diagonale du double-carré est une clé pour le fameux théorème, puisque le
rapprochement des deux fgures y conduit tout droit. Il est à noter que pour les
Égyptiens comme pour les Sumériens ou les Babyloniens, l'angle droit du triangle 34-5 est axiomatique. La √5 intervient donc, comme proposition à la diagonale, dans
le même esprit que le 5 du triangle au départ.
11 on 43
Cinquième point - la démonstration par les surfaces
La démonstration du théorème de Pythagore par les
surfaces ne concurrence pas l'afrmation précédente : tout
au contraire, elle s'inscrit dans son prolongement logique.
Les
surfaces
sont
le
meilleur
moyen
de
traduire
physiquement la réalité des racines carrées (un carré de
surface 5 a pour coté √5). NB : Le principe de la doublepreuve est une constante de la Géométrie Comparée.
Sixième point - le quadrillage
Ce repère cartésien avant l'heure n'est pas axiomatique. Un premier article (datant du
mois de janvier) soulignait les lacunes des nombreux discours tenus à son endroit. Il
est cependant possible de conforter la place du quadrillage dans l'évolution de la
géométrie. La tradition des bâtisseurs de Cathédrales fait état de cette origine, mais
pas seulement : ses vestiges fgurent dans les collections du Louvre (Département
des Antiquités égyptiennes) et des conférenciers font état de cette pratique. Le Pr
Pascal K. Adjamagbo s'exprime ainsi :
« Les mathématiques égyptiennes étaient l’expression intellectuelle du principe
organisationnel universel de la civilisation égyptienne appelé « Maât » et signifant à
la fois le bien, la vérité, la justice, la justesse, l’exactitude, la rigueur, l’ordre
cosmique et social, l’harmonie, la beauté, la grâce, la simplicité. Tous les
raisonnements mathématiques portaient la signature de ce principe, car ils se
terminaient par la formule « cela est conforme à Maât », d’où dérive la formule
moderne CQFD, « ce qu’il fallait démontrer ». De la même manière, nous pouvons
dire que l’art égyptien était conçu comme l’expression esthétique de Maât, qui était
parfois représenté par une femme avec un outil de sculpture. La perfection d’une
œuvre d’art était conçue comme « la conformité à Maât », tout comme une œuvre
mathématique.
C’est pourquoi les artistes égyptiens ont inventé dès la fn de la période de Nagada
la « méthodes des quadrillages » encore appelée la « méthode des carreaux » qui
12 on 43
permet de reproduire et d’agrandir une fgure « quadrillée » dans le plan ou dans
l’espace avec la précision et la perfection mathématique, ce qui était indispensable
pour réaliser des fresques ou des statues géantes en respectant les proportions. »
Un argument de poids vient parachever ce faisceau : les résultats de la Géométrie
Comparée. La géométrie de construction fait preuve d'une grande homogénéité
depuis son apothéose à la Renaissance sur le fl qui la relie à son origine. C'est à
l'envers que s'est faite la visite, comme en archéologie l'on découvre les strates à
l'inverse de leur datation. C'est donc avec tous les acquis des époques ultérieures
que ce dernier chapitre se met à ciel ouvert, et bien évidemment, la lecture des
motifs est quasiment évidente. Les quelques exemples placés en annexes sont
choisis pour leur caractère didactique. On y trouve notamment l'amorce d'une
explication de l'écriture égyptienne (Champollion regrettait de n'être pas doué en
mathématiques),
ainsi que des fameux profls, jusque lors attribués à la
maladresse... Pensez-donc ma brave dame : ils ne respectaient pas la divine
Perspective, ferté de l'Occident et symptôme de progrès pétrolifère ! En dépit de ce
statut déprimant, l'Art Égyptien avait droit au quadrillage.
L'écriture égyptienne respectait la peinture. L'émotion est permise. Peut-on espérer
revivre un tel échange entre ce qui est à entendre et ce qui est à voir ?
4 - Les démonstrations
Nous allons maintenant montrer que la Géométrie des Égyptiens se passe de
Pythagore pour établir les propriétés incroyables du Triangle Sacré. Elle laisse au
grand Mathématicien le soin de préciser la diagonale du double-carré. Pour le
remercier de ce service en Or rendu à la Géométrie, celle-ci lui fait implicitement
cadeau du Théorème qui portera son nom...
Selon le raisonnement exposé plus haut, si les outils nécessaires à ces
démonstrations ne dépassent pas ceux que l'histoire leur attribue, l'on peut
considérer que les Égyptiens atteignent ce niveau de connaissance.
13 on 43
◊ Chapitre III - Le Cercle Intime du Triangle
La première propriété à établir est le rayon 1 du cercle inscrit au triangle 3-4-5. Il y
a plusieurs façons de le démontrer, y compris par la trigonométrie. Ici, nous
découvrons la logique de la géométrie avec les yeux. Pour autant, rappelons-le, nous
procédons avec une méthodologie "contemporaine".
- Soit ABC, un triangle 3-4-5. En noir sur le visuel.
◊ Ce triangle est admis comme rectangle.
- Soient les points D, E, et C, identifables sur le quadrillage
tels qu'ils sont posés sur la fgure, aux croisement des lignes.
- Soit le cercle de centre O (sur les lignes), et de rayon 1.
14 on 43
—> Ce cercle touche (AB) et (BC) par construction. Mais (AC) ?
- Soit ∆, par convention, la diagonale d'un double-carré du quadrillage
—> Le triangle (A,E,C) est rectangle en E
(la rotation se traduit par un carreau de coté pour deux en avant,
pour deux des lignes du quadrillage, comme le cavalier aux échecs).
—> (A,E,C) a donc pour cotés 2.∆ et ∆ à l'angle droit (en E). Rapport = 2.
—> or (A,D,E) a pour cotés 4 et 2 à son angle droit (en D). Même rapport.
◊ Les triangles (A,D,E) et (A,E,C) sont donc semblables.
—> L'angle DAE est donc égal à l'angle EAC.
Le coefcient qui diférencie les triangles est :
AC/AE = EC/DE = AE/AD = √5/2 ≈ 1,118
mais pour les Égyptiens, là n'est pas la question.
—> O est donc sur la Bissectrice de l'angle en A du Triangle Sacré.
(O est placée par construction sur la droite (AE) )
—> Or, O est aussi sur la bissectrice de l'angle en B du triangle 3-4-5.
(la bissectrice de l'angle droit est la diagonale du carré)
◊ Le centre d'un cercle inscrit à un triangle
est au croisement de ses trois bissectrices.
—> Deux sufsent, c'est donc bien O.
—> Le rayon du cercle inscrit au triangle 3-4-5 est donc 1. QED
15 on 43
◊ Chapitre IV - La divine proportion
La propriété cachée du Triangle Sacré
La bissectrice dorée, id est celle qui vient de l'angle qui unit les segments 3 et 5 du
Triangle, porte la proportion dorée (entre le sommet et le cercle inscrit). Ce fait est
comme nous l'avons évoqué, absent de tout manuel de mathématiques comme de
toute littérature sur les oeuvres sacrées. La Géométrie Comparée met cet élément
fondamental en évidence, et en précise le rôle exact dans tous les systèmes de
construction. L'Arithmétique afrme de très belles choses, que ni les Grecs ni les
Égyptiens, ni même Durer, n'auraient pu imaginer. En revanche, ces développements
sophistiqués ne rendent absolument pas compte de l'usage, de la réalité que prend
le Nombre d'Or au coeur de la Géométrie Sacrée : géométrie pour et avec les yeux.
Visuel 1 - Le Triangle Sacré
Réf. : Page triangle-sacre.html sur jacquier.org
- Le triangle 3-4-5 compte trois bissectrices, qui sont les
diagonales d'un simple, d'un double et d'un triple carré.
- Nous avons vu que son cercle inscrit a pour rayon 1.
- Enfn et surtout, voici la proportion dorée, ici représentée
par une fèche, sur la bissectrice d'ordre 2 (baptisée pour
cette raison "bissectrice dorée").
Visuel 2 - Le rectangle doré de coté 2
La propriété égyptienne du Nombre d'Or n'est pas
algébrique (équation)
mais celle de ses dispositions
géométriques particulières. Si l'on retranche un carré à un
rectangle
doré,
le
rectangle
résiduel
a
la
même
proportion. Avant de le placer sur le Triangle, voici le
rectangle doré, construit avec un petit coté de 2 carreaux.
16 on 43
La première conséquence à cette particularité est que les deux rectangles, grand et
petit, voient leurs diagonales se croiser à angle droit, du fait de leur orientation
diférente, à 90°. Sur la fgure, les triangles (A,B,C) et (D,B,C) sont semblables (et le
grand est Phi fois plus grand que le petit).
La démonstration de l'orthogonalité des diagonales peut se faire notamment par
l'absurde, mais ce n'est pas l'approche des Égyptiens. Cette particularité tient lieu de
défnition ! Pour eux, le nombre d'or est la proportion qui produit des rectangles
dont le résidu (petit rectangle) croise sa diagonale à angle droit. Cette propriété est,
pour celui qui sait manier les angles, équivalente à celle, plus connue, de la similarité
des rectangles (grand et petit).
Visuel 3 - Placement du rectangle sur le Triangle
Un rectangle (dont on va montrer qu'il est doré) se place à
cheval sur la bissectrice dorée entre le sommet du triangle
et la base du cercle. Pour l'instant, on place les barres de
mesure sur le cercle pour mieux visualiser sa constitution.
Sa largeur est de 2, par construction.
Visuel 4 - Le module de la diagonale du double-carré
Ce module ne cesse de revenir tout au long de l'étude : le
double carré et sa diagonale, que l'on va noter par ∆ au
lieu de √5 selon la réalité.
Nous avons vu que le rayon du cercle est 1.
Selon quoi, la hauteur du rectangle fait ∆ + 1.
17 on 43
Visuel 5 - Le Grand Cerf-Volant
Un cerf volant est une fgure symétrique. Nous devrons le démontrer.
Énonçons le problème : nous voulons vérifer que deux
diagonales se croisent à angle droit. (DE) et (CA).
- Soit B le point à la verticale de C et à l'horizontale de A
Sont ici matérialisés : les double carrés formant les
"étages" au bas du rectangle, et Or (non encore défni).
Visuel 6 - Placement du module
- On appelle module le double-carré et sa diagonale.
—> Ce qui est vrai au niveau de la bissectrice est tout
aussi vrai pour les bords du rectangle. Comme le "premier
étage" fait 1 de haut, pour rejoindre le point F, l'on peut
placer le module par translation et CF = ∆.
La somme reste la même: hauteur du rectangle = ∆ + 1.
—> BF = 1, et le trait rouge horizontal fait ∆, de par la constitution du "premier
étage". La somme des deux, 1 + ∆, horizontale, est égale à la hauteur du rectangle !
Visuel 7 - La partie avant du Cerf-Volant
Nous venons d'établir que les deux segments rouges sont
équivalents, de valeur 1 + ∆. Maintenant, il y a aussi
égalité entre BC (selon le module) et CD (largeur du
rectangle), soit 2. Le cerf-volant est symétrique.
- Le point Or se distingue sur BD à la verticale de H
(sommet du triangle et milieu de CD, par construction).
—> Or est situé aux 2/3 supérieurs de la verticale du
triangle 3-4-5, selon Thalès appliqué à (B,C,D). Par le même principe :
—> Or est le milieu de BD - puisque H est le milieu de CD.
18 on 43
Visuel 8 - Placement de la diagonale au rectangle
On sait que Or est le milieu de BD.
—> la diagonale CA du cerf-volant passe aussi par Or.
—> Les deux diagonales sont à angle droit (symétrie)
(De part la symétrie du cerf-volant, sa ligne médiane AC
ne peut passer que par le point d'Or établi comme milieu
de BD, et les deux lignes vertes sont à angle droit)
Cette méthode sert à tracer les angles droits à l'aide de piquets fchés en B et D, et
de deux cordes tendues, dont on a repéré le milieu (A et C). Le compas perpétue le
principe dans une ambiance plus aristocratique. Enfn, on est en droit de se poser la
question de l'utilité réelle de la fameuse corde à treize noeuds, dont la mise en
oeuvre est bien compliquée par rapport à la première méthode, archaïque...
Visuel 9 - L'assaut fnal
- E est l'angle du carré qui enferme le cercle inscrit au
triangle 3-4-5.
On doit montrer que E est sur la droite BOrD, auquel cas
la défnition égyptienne du nombre d'or est établie, id est
l'orthogonalité des diagonales des rectangles.
(L'on a fxé le cadre du Cerf-Volant et deux droites qui se croisent à angle droit au
point d'or. Si l'une est la diagonale du rectangle doré (AC), rien ne prouve pour
l'instant que le point E, angle du petit rectangle doré, soit sur la deuxième ligne verte
venant de D pour piquer sur B.)
- Soit G le point situé à l'aplomb de D, à deux carreaux (DG = 2).
Calculons les distances des trois points B, E et D, jusqu'à C et jusqu'à G.
NB :Le fait que G soit sur la diagonale CA du rectangle n'a pas d'importance.
19 on 43
—> G est l'angle du module qui défnit DI =∆, et GI = 1 (triangle rose)
—> G est situé entre I et E puisque sur l'horizontale passant par I.
(le second étage du rectangle constitue un module à la diagonale horizontale)
—> or EI = ∆, et GI = 1, toujours selon le triangle rose, donc EG = ∆ - 1
—> De même CF = ∆, selon le triangle rose (module) et EF = 1 (second étage)
CE = GE = ∆-1.
• E est donc sur la médiatrice de CG.
Continuons selon cette logique de la corde raide...
—> CB = 2 selon le module et son triangle rose.
—> B est à la verticale de C et G est à la verticale de D.
Les deux points B et G sont à deux carreaux de C et D.
Dans ce losange de coté 2, on a : CB = CD = GB = GD = 2.
• B et D sont donc sur la médiatrice de CG
—> Il n'y a qu'une médiatrice à CG, donc E est sur BD
B, E et D sont alignés, et par voie de conséquence, Or également.
—> Nous avons montré que CA est orthogonale à BD
•• ED est donc orthogonale à CA.
QED
Les diagonales du rectangle et de son résidu sont à angle droit. Voilà comment l'on
peut, avec un matériel de démonstration minimum, sans Pythagore et sans
Trigonométrie, mettre le rectangle doré du Triangle Sacré en évidence.
20 on 43
◊ Chapitre V - L'étude par la trigonométrie
Le grand développement de cette discipline mathématique est postérieur à l'Égypte,
même si l'on suppose son origine très ancienne. Les constats que nous allons faire
demandent sa totale maîtrise. En cela, nous allons vérifer par des calculs "modernes"
la validité des intuitions "antiques" : une Culture toute entière s'appuie sur ce
triangle à l'apparence anodine pour se fonder... Nous allons découvrir sa solidité.
1 - Les angles et leurs tangentes
La
trigonométrie
organisation
interne
permet
du
de
triangle
constater
3-4-5.
l'extraordinaire
Les
bissectrices
défnissent naturellement trois angles en se croisant au centre
du cercle inscrit. Rappel : l'ordre d'une bissectrice est le nombre
de carrés dont elle est naturellement la diagonale. Exemple : la
bissectrice de l'angle droit est d'ordre 1 (simple carré).
Premier constat : quand deux bissectrices se croisent, la valeur de la tangente de
l'angle qu'elles forment répond symboliquement à la bissectrice complémentaire. Par
exemple : les bissectrices d'ordre 1 et 3, venant du bas, forment l'angle Alpha,dont
la tangente est 2, ordre de la bissectrice du haut. Cette logique trinitaire connait un
autre prolongement quand on fait la somme des angles :
Deuxième constat : la tangente de la somme des angles que forme une bissectrice
avec les deux autres est égale à son ordre précédé du signe "-". Par exemple : la
bissectrice d'ordre 1, venant de l'angle droit, fait l'angle Alpha avec celle d'ordre 3, et
l'angle Bêta avec celle d'ordre 2. La tangente de l'angle (Alpha + Bêta) est -1.
Troisième constat : deux des trois angles basiques, divisés par deux, ont des
tangentes également remarquables. Tg(Alpha/2) = 1/Phi et Tg(Gamma/2) = √2-1
Ces constats vont déboucher sur une découverte particulièrement intéressante au
paragraphe suivant. Comment construire un rectangle doré sur un quadrillage !
21 on 43
2 - Les rapports géométriques des valeurs Phi et 2
Le calcul et le tracé
Les rapports du 2 et de Phi se constatent de façon subtile en Algèbre, en
Trigonométrie. Ces disciplines sont très utiles à constater ce que la Géométrie
pratique depuis l'Égypte, mais à l'époque celle-ci ne dispose que de versions
primitives des outils d'analyse. Le calcul, au sens noble, permet aujourd'hui des
développements surprenants qui donnent à l'équation initiale "Phi 2=Phi+1" une
dimension véritablement spirituelle.
En revanche, dans l'état actuel des choses, l'Algèbre ne peut pas tout, et l'a-priori du
progrès porte préjudice à la vérité. Prenons une image : si l'ordinateur permet de
composer d'une autre façon la musique, il ne remplace pas pour autant le piano et
ses possibilités. De la même façon, les Géomètres du Sacré approchent les rapports
entre les "notes", notamment le 2 et le Nombre d'Or, d'une façon que le calcul arrive
à constater mais sans en rendre compte complètement. Au fond des choses, à terme,
les systèmes mathématiques, numériques et géométriques, se rejoignent en un tout.
L'histoire ne les sépare pas : elle les attend tour à tour (chacun apportant sa pierre).
Les nombres et les formes sont deux expressions qui se rapportent à un même
univers dont on soupçonne qu'il est cohérent...
Voici une série d'exemples concrets qui illustrent ce propos. À chaque fois le calcul
est utile à vérifer le bien fondé des fgures, mais le sens de ces lignes ne peut pas se
réduire au résultats du calcul.
Premier exemple : les diagonales du rectangle doré
C'est une des fgures majeures d'Albrecht Durer. Elle se révèle
dans sa gravure « Melencolia I ». Quand on place une des
diagonales d'un rectangle d'or à l'horizontale, l'autre diagonale
devient la diagonale d'un double carré vertical. Cette fgure
réunit les rectangles de Phi et de 2 par leurs diagonales.
22 on 43
Deuxième exemple : les diagonales du rectangle doré et du double carré
Cette fois, ce sont les diagonales des deux rectangles qui se
trouvent liées. Le petit angle de la diagonale du rectangle doré
fait la moitié du grand angle de la diagonale du double carré.
Comme dans la fgure précédente, l'angle Alpha a pour tangente
2, et sa moitié 1/Phi (= Phi - 1).
Troisième exemple : le rectangle doré du Triangle Sacré et le double carré
Cette fgure est très riche.
L'angle Alpha nous ramène à la structure interne du Triangle
Sacré. Le double-carré et le rectangle doré prennent le grand
angle et sa moitié par leurs diagonales.
Quatrième exemple : confrontation des leçons sur les angles
L'angle Alpha est l'angle aigu que forment les deux diagonales au
centre
du
rectangle
doré
(quel
que
soit
sa
taille),
et
(Gamma+Bêta) est la mesure de l'angle obtus de ces diagonales.
Cette fgure est une véritable révélation... Supprimons le triangle
et les annotations pour ne garder que le fameux quadrillage...
Nous avons vu que le Triangle Sacré porte la proportion dorée par la mesure de 2.Phi
sur sa bissectrice dorée. Ce n'est donc pas tout : nous découvrons que les autres
bissectrices portent les angles d'un rectangle doré !
23 on 43
Comment construire un rectangle doré sur un quadrillage
Il suft d'un carrelage de quatre carreaux sur six.
Plaçons deux droites qui se croisent au centre en prenant pour
origine le point situé à un carreau à partir de l'angle du
quadrillage (deux fois selon le sens). Et voilà nos deux diagonales
dorées placées. Un cercle centré décide de la taille du rectangle.
Voilà une parfaite explication du rôle du quadrillage dans la Géométrie Sacrée.
Construire, comprendre, démontrer et retenir avec un moindre efort et un maximum
de clarté. Une préfguration de la Science ?
Cinquième exemple : le Nombre d'or sur le cercle
Cette autre fgure réunit les nombres 2 et Phi sur un schéma
simple. Chronologiquement, c'est la toute première qui se soit
révélée, comme le symbole de la diférence entre Algèbre et
Géométrie. L'Algèbre permet d'expliquer la fgure et de la
démontrer. La Géométrie montre ici sa diférence, sa capacité à
dialoguer avec l'espace. Maintenant, historiquement, les deux
fnissent toujours par se retrouver et à s'unir...
Rappelons les équations, qui se rappèlent de la logique du Pentagramme :
π/5 = angle de la pointe du Pentagramme
cos(π/5) = Phi/2
sin(π/5) = √(3-Phi)/2
NB : Les trois points sur le cercle forment un triangle rectangle
—> En conséquence le petit coté du triangle, en haut, fait √(3-Phi)
Les relations entre le cercle et le Pentagramme sont plus "sophistiquées" ...
24 on 43
3 - Cinq fgures complémentaires
Voici une autre façon de présenter l'insondable complexité du Triangle Sacré : objet
d'éternelle découvertes et de méditation symbolique. Les démonstrarions sont toutes
accessibles avec "le matériel égyptien".
Première étape / Propriété
Les trois bissectrices du Triangle Sacré sont les diagonales d'un
simple, d'un double et d'un triple-carré. La divine proportion est
sur la bissectrice dite "dorée".
Nous allons retrouver cette proportion à travers une présentation
plus complète. La première étape consiste à diviser le carré du
cercle intime selon Phi et de tracer une diagonale du rectangle.
Deuxième étape / Propriété
Un rectangle de largeur 2, comme le cercle intime, et de hauteur
2.Phi, se place à cheval sur la bissectrice dorée venant du
sommet du triangle, et prend la première diagonale comme la
sienne.
25 on 43
Troisième étape / Propriété
Considérons le petit rectangle doré inscrit au rectangle incliné. Sa
Diagonale croise la première à angle droit, caractéristique des
divisions dorées, en un point appelé Point d'Or. Ce point est
également sur le segment 3 du Triangle, à la hauteur 2, à 1 unité
du sommet.
Quatrième étape / Propriété
Le carré du Pape, de largeur 2.Phi, s'accorde avec le rectangle
incliné. Les coïncidences vont plus loin.
Posé au niveau de la base du triangle, le carré du pape est l'objet
d'une autre coïncidence : la diagonale du carré passe par le point
de séparation du petit rectangle doré et de son carré associé. Ce
qui porte à trois le nombre de points remarquables.
Cinquième étape / Propriété
Enfn, le cercle du pape, de rayon Phi (de même largeur que le
carré), se pose sur l'axe du Ciel de façon précise. Il est sur la
droite qui sépare le petit rectangle doré de son carré. La distance
au bord du rectangle est Phi, la distance à la Terre aussi.
26 on 43
◊ Chapitre VI
Les deux grandes écoles de l'Antiquité
1 - Les deux étapes de l'approche du Nombre d'Or
L'Antiquité a vécu deux étapes dans l'approche du Nombre d'Or. La plus connue, et
même la seule dans les faits révélés par l'écrit (l'Histoire ne se réfère qu'à lui,
particulièrement quand il s'agit de Peinture et de Mathématiques), est l'école
grecque. Comme tout ce qui la préoccupe, le Nombre d'Or est le résultat d'un calcul,
d'une équation. Évaluer, mesurer, comparer à l'unité, sont ses obsessions. Cette
école prend l'irrationalité des nombres pour une provocation !
Pour les Grecs, l'expression la plus puissante du Nombre d'Or est le
Pentagramme, et ses projections en trois dimensions : les solides de Platon.
Pythagore le prend pour signe de ralliement. C'est son mandala, son viatique, la
question éternelle attisant ses instincts de pugiliste et d'homme dressé.
- La version cachée du Nombre d'Or est égyptienne. Les Égyptiens inventent la
Géométrie "juste avec les yeux", sur un quadrillage grâce auquel ils peuvent tout
construire et tout démontrer (sans calcul et sans irrationnel). Leur fgure de référence
est le Triangle Sacré, qui sert soit-disant (?) à l'arpentage dans les civilisations
avoisinantes (Sumériens, Babyloniens etc). Les Égyptiens identifent la proportion
dorée du Triangle, et ils en comprennent le rôle autant que l'intérêt. Bien après les
Pyramides, Pythagore va à cette école. Il découvre le « ∆ du Nil » désignant la
diagonale du double carré (révélation du Soleil de LouxOr), et émet une option : et si
∆ = √5 ? Tout s'éclaire alors ! Il dispose de deux exemples désormais avec les
triangles 1-2-√5 et 3-4-5. Son célèbre théorème est né.
NB : Le Pentagramme est connu de toutes les civilisations antiques. Son rôle n'est
cependant pas le même. La Géométrie Comparée établit le statut exact des fgures,
leur rôle et leur rapport avec les autres à l'intérieur des systèmes de Composition. Le
Triangle Sacré est selon les cas, une simple corde à treize noeuds pour tracer des
angles droits ou la fgure de Base d'une Géométrie Sacrée à la complexité
époustoufante... Le Pentagramme est, de même, sujet à diférents statuts dans
l'antiquité et c'est Pythagore qui en développe le premier les aspects miraculeux...
27 on 43
2 - Une belle conclusion
Parallèlement à ces développements, géométriques et algébriques de l'antiquité,
deux expressions plus modernes résument les deux stades par la Trigonométrie :
Triangle Sacré
tg(Alpha) = 2
Alpha = grand angle du double-carré
Alpha = Angle aigu des diagonales dorées
tg(Alpha/2)=1/Phi
Alpha/2 = petit angle du rectangle doré
- En outre, l'on peut construire simplement un rectangle doré
sur un quadrillage de quatre carreaux sur six (par ses diagonales).
Pentagramme
sin(π/5) = √(3-Phi)/2
cos(π/5) = Phi/2
(π/5 = angle de pointe du Pentagramme)
28 on 43
◊ Chapitre VII - Exemples de l'Art Égyptien
Ces exemples sont une introduction à la Géométrie de Construction égyptienne. Bien
évidemment, cet Art ne saurait se résumer en quelques pages. Le but de celles-ci
est de montrer d'une part l'évidence des fgures qui sous-tendent les bas-reliefs.
Ces propositions sont inédites, en dépit des nombreuses tentatives de la part des
archéologues. D'autre part, ces quelques exemples établissent se façon indiscutable
la pratique COMPLÈTE du nombre d'or, id est avec les lignes internes et les
développements en croix du rectangle sur un quadrillage de MESURE. Cette façon de
procéder n'a rien à voir avec la philosophie de canons auquels beaucoup s'attendent.
Il ne suft pas d'enfermer un sujet dans un rectangle doré pour qu'il se change en or,
et les cordes de la composition ne sont ni des étagères, ni des barreaux ce prison.
Premier exemple - Le souverain Benia
18e dynastie, autour de 1500 ans avant notre ère
(bien avant pythagore et bien après les pyramides)
Placement du cadre doré et identifcation du quadrillage
- En bas : les pieds du souverain
- À gauche : le fl vertical des inscriptions
- En haut : le bas des hiéroglyphes et la tête de Benia
- Enfn, ceux-ci sont six en largeur qui fxent le bord droit
Ensuite, les diagonales du rectangle coupent les bissectrices à
45° en deux points qui sont ancrés dans la réalité du sujet
(coude et ligne de l'abdomen).
Enfn, détail important, un trait que l'on pourrait prendre pour l'index de sa majesté
souligne la diagonale dorée. C'est une marque de composition. L'étude ne soufre
pas trop de la relative vétusté du sujet ni de la déformation optique de la photo.
29 on 43
En revanche, il ne faut pas chercher la précision à laquelle parviennent les artistes de
la fn du Moyen-Age et de la Renaissance dans leur Art, de l'ordre de 4‰ de carreau.
En cela l'on peut comprendre la part que les Grecs, Pythagore le premier, apportent à
cette Culture collective (pour ne pas dire universelle).
Si l'on prend la largeur du rectangle doré comme égal à 2, selon
les "habitudes habituelles", les hiéroglyphes s'inscrivent dans un
carré de coté 1/3. C'est la mesure de toute la frise.
Les points indiqués sont des intersections des lignes internes au
rectangle doré et à son développement en croix grecque.
Le calque de composition développé
La croix grecque est un motif persistant en Géométrie Sacrée.
On la connaît à propos des églises, beaucoup moins en peinture
et sculpture (pour ne pas dire pas du tout).
Le centre des compositions est 'dans le vide'. Ce fait est courant.
Il fait penser au pendule de Foucault, dont le référentiel refuse
tout objet connu ou identifé (Soleil, pulsars et autres galaxies...). L'intuition des
Anciens est d'ordre "prophétique"... Dans la pratique, les traits de composition
évitent les points matérialisés du dessin, et ils cherchent le bord des sujets. Par
exemple le bord d'un cercle plutôt que son milieu.
Enfn, les quelques haubans de la croix grecque se marient aux hiéroglyphes. Il est
permis de penser que la géométrie permettra de poursuivre le travail de
Champollion. L'écriture Égyptienne est née de l'Art, et pas de la comptabilité comme
tant d'autres. Ce principe de bon sens devrait inspirer l'étude...
30 on 43
Second exemple - Slab stellae de la princesse Néfertiabet
Soeur de Khéops - 4e dynastie (≈ -2500 ≈ Pyramides)
Calcaire peint - Giza, musée du Louvre
Un second exemple de Croix Grecque
Les cercles inscrits aux rectangles sont valorisés.
- Celui du haut dessine la chevelure
- Celui de gauche enveloppe le bras
- Celui de droite esquisse le décolleté
- Celui du bas pointe l'arrière du trône et la main (motif)
La suite de cette étude sera l'objet d'un article complet. Celui-ci ne peut s'étendre
d'avantage, d'autant qu'il s'adresse avant tout à des mathématiciens.
La Géométrie Égyptienne démontre à l'époque des Pyramides une grande maturité. Il
est difcile de croire que son développement soit "spontané". Manifestement, l'on
doit chercher son origine très loin dans l'histoire. Plusieurs millénaires sont
nécessaire à atteindre un tel niveau de complexité. La Civilisation de Nagada est
dans l'état actuel des prospectives l'origine la plus probable...
31 on 43
Annexes
1 - La diagonale du double-carré
2 - Les Grecs en Égypte - I
3 - Les Grecs en Égypte - II
4 - RÉSUMÉ DE L'ARTICLE
32 on 43
◊ Annexe 1 - La diagonale du double-carré
Cinq étapes, cinq statuts successifs :
Étape 1 - Le quadrillage
Tant d'éléments historiques en témoignent : le quadrillage est une pratique très
ancienne. La première géométrie s'est faite à l'aide d'une corde tendue et de son
empreinte sur le sable. Cette corde prendra treize noeuds au fl du temps, dont la
meilleure illustration est la fgure du triangle 3-4-5. Son angle droit, plus le besoin
de constituer une longueur supérieure d'une unité aux cotés qui le portent, induit
naturellement la construction d'un quadrillage.
Étape 2 - La diagonale du double carré comme ligne majeure
Le solstice de Louxor met en évidence la diagonale d'un double-carré. Ce fait
interpelle, car le vulgaire triangle 3-4-5, outil de l'arpenteur et du maçon dans
toutes les civilisations antiques, devient Triangle Sacré dans cette région du Monde.
La civilisation Égyptienne produira des oeuvres d'Art et d'architecture qui
développent les propriétés étonnantes de ce triangle, particulièrement sa proportion
dorée. Le culte solaire des Égyptiens pourrait alors se décliner comme suit :
« Le soleil confa aux Égyptiens les secrets de la proportion dorée,
et cette lumière leur parut divine. »
Étape 3 - La diagonale du double carré comme entité de mesure
La Géométrie de quadrillage est la seule pratique qui permette l'étude des fgures,
sans (comme avant) la stratégie hypothético-déductive des Grecs. Les Égyptiens
poussent l'étude du Triangle jusqu'à l'établissement de ses propriétés majeures :
mensurations du cercle inscrit, proportion et logique dorée internes au Triangle. Les
"démonstrations" de cette "géométrie avec les yeux" ne réclament pas la résolution
algébrique de la diagonale du double-carré. Il suft de poser une convention du type
∆= diagonale du double-carré, pour résoudre.
33 on 43
Étape 4 - L'option de Pythagore : ∆ = √5
Comme le rappelle l'article de Wikipedia, la diagonale du carré n'est pas forcément la
première valeur que l'algèbre cherche à résoudre. La proportion dorée, dès lors que
l'on sait qu'elle est à la portée des Égyptiens, en tant que propriété inscrite au
Triangle Sacré, prend naturellement la première place dans la préoccupation des
géomètres. La mesure de la diagonale du double-carré, provisoirement notée avec
tendresse "∆ du Nil", prend évidemment une importance capitale.
La racine d'un nombre n'est qu'une convention, et √5 n'est rien d'autre que le
nombre qui retrouve 5 par multiplication de lui-même. Rien ne nous permet
d'afrmer que ce vocable soit ou non au catalogue des Égyptiens. Particulièrement en
réponse à des problèmes de mesure, dont celle du double-carré. De même, la
fameuse tablette babylonienne (Tablette YBC 7289 -
2ème millénaire avant JC)
produit la valeur de la diagonale d'un carré avec 6 décimales exactes. Mais était-ce
√2 dans l'esprit des scribes ?
Pythagore initie son fameux théorème sur des bases qui ne sont pas forcément
celles de sa démonstration (par les surfaces). L'on peut admettre que, comme
souvent, le procédé de démonstration se diférencie du processus de construction et
de recherche d'une propriété. En d'autres termes, Pythagore pourrait dans un
premier temps poser √5 comme solution algébrique du double-carré, puis chercher
un moyen de verrouiller cette assertion, et aboutir ainsi à son théorème. Sur le bon
vieux quadrillage égyptien, la démonstration de √5 par le principe des surfaces est
particulièrement accessible et évidente, comme en témoigne le visuel :
Pythagore aurait ainsi disposé de la fgure initiale, mettant
en avant la proportion dorée du Triangle Sacré. Il aurait
posé √5 comme solution à la diagonale du double-carré,
puis démontré par les surfaces la validité de cette
proposition.
Ensuite,
disposant
de
deux
exemples
pratiques avec celui du triangle 3-4-5, il aurait généralisé
le procédé qui fonde son théorème...
34 on 43
Étape 5 - L'irrationalité de √5
Comme le souligne l'introduction de ce court article, l'irrationalité des nombres est
une afaire d'état pour les Grecs. Ils se fent dans un premier temps à leur bon sens
et "découpent" l'infni en autant de fbres qu'ils décèlent sur leur corde néolithique.
Ce besoin de rationalité se solde par une grande surprise, assortie d'un grand
vertige : ils découvrent l'absurdité (au sens strict) de leur approche. En efet, la
démonstration de l'irrationalité, de √2 notamment, se fait par l'absurde à partir de
l'hypothèse de sa fraction par des entiers naturels.
Manifestement, les Pythagoriciens apportent une contribution essentielle à la quête
de la vérité en ce domaine, et leur émoi est tel qu'ils respectent une sorte de "secret
militaire", toute entrave étant passible de mort, à cette découverte sulfureuse !
Si cette cinquième étape concerne Pythagore, en réponse à ses interrogations comme
à ses enseignements, en revanche l'on peut considérer ce débat sur l'irrationalité des
nombres comme postérieur au sujet qui nous occupe en priorité : la révélation du
Triangle 3-4-5 par ses propriétés géométriques. En efet, il n'est pas nécessaire de
défnir la nature profonde de √5 pour construire avec Phi. Les calculs sont au service
d'une Géométrie de Construction, ils ne concernent pas l'Algèbre générale et ses
équations sophistiquées.
Sans doute, dans les profondeurs théoriques des défnitions, les spécialistes serontils capables d'établir un lien entre cette irrationalité et les prouesses de virtuosité
géométriques dont la proportion dorée est capable. Néanmoins, l'on peut admettre
que ce coté particulier de la logique dorée échappe aux bâtisseurs du Sacré, du
moins à l'origine de ses développements.
Le Sacré se préoccupe d'absolu plus que d'exactitude.
Ce sont les deux pendants de la notion d'infni.
35 on 43
◊ Annexe 2 - Les Grecs en Égypte - I
Les preuves de l'infuence de l'école égyptienne sur les mathématiciens grecs sont
explicites dans les textes helléniques. Le professeur Théophile Obenga, de
l'Université de Montpellier, reconstitue cet aspect essentiel de l'histoire :
—•> Aristote et l'Égypte Ancienne, par le Pr Obenga
Extraits de l'article
« C'est dans un ouvrage aussi important que la Métaphysique qu'Aristote écrit :
Aussi l'Égypte a-t-elle été le berceau des arts mathématiques »
« [...] Pour le Stargirite, la "caste" sacerdotale égyptienne jouissant de beaucoup de
temps libre, de loisirs, avaient par conséquent la disponibilité et la tranquillité pour
se consacrer à la recherche scientifque, à l'étude de la nature et de la société. C'est
ainsi qu'elle a donné naissance aux sciences mathématiques. Donc pour Aristote, la
mathématique égyptienne n'est pas née de l'arpentage (que ne pratiquait pas les
prêtres) mais de l'étude proprement dite ( que pratiquait les prêtres disposant de
beaucoup de temps libres pour cela). »
« Au demeurant, le seul grand texte historique que l'Antiquité grecque nous ait
légué au sujet de l'histoire des mathématiques pures est le prologue de Proclus aux
Éléments d'Euclide. Proclus écrit au VIème siècle de notre ère mais il transmet un
texte de l'histoire des mathématiques dû à un disciple d'Aristote , Eudème, au IV
ème siècle avant notre ère. Dans ce texte, la position de la mathématique égyptienne
est toujours une position initiale : Nous dirons que, suivant la tradition générale, ce
sont les Égyptiens qui ont les premiers inventé la géométrie. (...) Thalès, le premier
ayant été en Égypte, en rapporta cette théorie dans l'Hellade »
Un autre article du Pr Obenga est accessible sur Internet :
—•> L’EGYPTE PHARAONIQUE TUTRICE DE LA GRECE DE THALES A ARISTOTE
36 on 43
Extraits de l'article
VIII. PYTHAGORE de Samos
Samos, île grecque de la mer Egée, située à proximité de l’Asie Mineure, est la patrie
de PYTHAGORE (vers 572 - 497 av. notre ère). Le temple d’Héra, déesse du Mariage,
épouse de Zeus, à Samos, fut l’un des plus grands de la Grèce.
PYTHAGORE se rendit en Egypte vers 550 ou 540 avant notre ère et y séjourna
jusqu’en 525,c’est-à-dire avant la mort de Polycrate, tyran de Samos de 533 à 522,
qui le recommanda à Amasis, roi d’Egypte qui régna de 570 à 526 avant notre ère.
Ce philosophe et mathématicien grec doit à l’Egypte : (a) plusieurs détails relatifs à
l’organisation de sa secte, le pythagorisme ; (b) la notion de l’immortalité de l’âme
humaine ; (c) l’idée de la toute-puissance du nombre, des mathématiques.
(a) cérémonies pythagoriques et égyptiennes
Voici un passage d’HERODOTE qui laisse deviner une certaine infuence de l’Egypte
sur l’ensemble des conceptions attribuées à la société secrète pythagoricienne : les
cérémonies égyptiennes et les pythagoriques sont les mêmes [33].
En réalité, HERODOTE rapproche étroitement les cérémonies orphiques et les
pythagoriques des cérémonies égyptiennes. Il met sur le même plan ces trois sortes
de cérémonies et va jusqu’à les identifer les unes aux autres. Il y a en efet une
identité de rites, de pratiques, de prescriptions ou d’interdits qui, d’après l’historien
grec, trahirait une origine commune.
Chronologiquement, l’Egypte est la mère. Cependant, à dire vrai, plusieurs sources
diverses ont dû concourir à la formation des mystères et des doctrines de l’orphisme
qui est bien né en Grèce : en partie des infuences originaires de Thrace, en partie
originaires de Crète, où l’orphisme a subi l’apport des doctrines égyptiennes [34].
Il est certain que la société pythagoricienne présente les plus grandes analogies avec
les corporations sacerdotales d’Héliopolis, de Memphis, de Thèbes, de Saïs, etc., qui
étaient de véritables instituts philosophiques, religieux et scientifques, voués à la
recherche de la Connaissance générale, la Maât. PYTHAGORE devait être frappé par
le comportement spirituel des prêtres égyptiens : la tempérance, la discipline
austère, la pureté rituelle, le port d’habitats de lin, l’abstinence de certains aliments,
la défense de porter dans les temples les vêtements de laine et de se faire ensevelir
avec ces vêtements, la circoncision rituelle, etc.
37 on 43
◊ Annexe 3 - Les Grecs en Égypte - II
Aperçu historique - L'Égypte façon Houellebecq
Pythagore en Égypte
XXVIe dynastie
—> Pythagore
—> Amasis
(-664 à -525)
(-580 à -497)
(-571 à -526)
Général d'origine libyenne (berbère), Amasis bat Apriès, passé à l'ennemi babylonien
Nabuchodonosor II après qu'il l'ait déchu, en -567. Personnage haut en couleurs
d'origine plébéienne, Amasis est un souverain novateur et réformateur. Il reconquiert
le Proche Orient jusqu'à Chypre, qui lui assure une fotte commerciale considérable.
Son long règne est propice à une intense activité architecturale. Saïs, Naucratis,
Memphis, Abydos, Karnak, Philæ, Siwa... Jusqu'en -545, la renaissance saïte (de saïs,
ville du premier pharaon unifcateur Ménès) est à son apogée. Allié de Cyrène, de
Crésus de Lydie, de Polycrate de Samos, et de Delphes, il noue de nombreux
contacts avec les cités grecques et accueille de nouveaux contingents ioniens et
cariens. Il invite à la cour de grands penseurs, philosophes ou mathématiciens grecs
tels Thalès de Milet et Pythagore (sur la recommandation de Polycrate, tyran de
Samos). Pour fnancer cette politique, il lève des impôts, prélevant même une part
des revenus du clergé qui lui valent une certaine impopularité.
Les Égyptiens (Amasis), les Lydiens (Crésus) et les Babyloniens (Nabonide) s'allient en
vain contre le fondateur de l'empire perse : Cyrus le Grand. Après sa conquête de la
Lydie, puis la prise de Babylone, Cyrus publie une déclaration, inscrite sur un
cylindre d'argile connu sous le nom de « Cylindre de Cyrus », contenant une
description de ses victoires, une documentation de sa lignée royale et actes
compatissants. Il est souvent mentionné comme étant la « première charte des droits
de l'homme », et décrète les thèmes normaux de la règle persane : tolérance
religieuse, abolition de l'esclavage, liberté du choix de profession et expansion de
l'empire. Puis il vainc Amasis en -526, ainsi que son successeur un an plus tard.
38 on 43
Les diférentes Civilisations en présence
Égyptiens
Page suivante : Trame de l'Égypte Antique.
Sumériens
Civilisation du sud de l'Irak, en Mésopotamie. Le terme sumérien s'applique à tous
les locuteurs de la langue sumérienne. Elle constitue la première civilisation
véritablement urbaine et marque la fn de la Préhistoire au Moyen-Orient. Sumer a
duré de la première colonie d'Eridu dans la période d'Obeïd (fn du VIe millénaire av.
J.-C.) en passant de la période d'Uruk (IVe millénaire av. J.-C.) et les périodes
dynastiques (IIIe millénaire av. J.-C.) jusqu'à la montée de Babylone au début du IIe
millénaire av. J.-C..
Babyloniens (-1894, -539, -330)
La dynastie amorrite de Babylone est fondée vers -1894, et la ville perd son
indépendance par la domination des Perses (Cyrus II le grand, -539). Cela ne signife
pas le déclin de la métropole mésopotamienne, qui vivra dans cet Empire
achéménide jusqu'à la conquête d'Alexandre le Grand, en -330.
Perses - Achéménides (-688, -330)
Iraniens (sont aux Arabes ce que les Grecs sont aux Romains, 1er millénaire)
Confrontation chronologique des Civilisations
- L'Égypte prédynastique (Nagada) jusqu'à la XIème dynastie du Moyen Empire
correspond à la Civilisation Sumérienne (Irak).
- De la XIIème dynastie jusqu'à la période macédonienne de l'Égypte (Alexandre le
Grand) correspond Babylone (-1894, -330), héritière de Sumer.
- Les Perses (Iran, -688, -330) viennent jouer les trouble-fêtes et mettent tout le
monde d'accord en -539, jusqu'à ce qu'Alexandre en fasse autant à son tour.
39 on 43
La trame de l'Égypte Antique
L'origine profonde de la Géométrie Sacrée est quelque part sur cette trame de
chifres, un peu "abstraite" sous cette forme. Il faut garder à l'esprit que la révélation
de la Géométrie se fait par étapes, depuis l'instinctive pratique des tribus qui
adoptent des schémas de façon inconsciente (cette manifestation est de loin la
meilleure défnition de l'inconscient collectif), jusqu'à la révélation des mêmes
formes à la corde sur le sable et leur étude consciente.
Égypte prédynastique - La Culture de Nagada (ou Naqada)
Héritière du Badarien (chalcolithique)
—> Trois époques, de -3800 à #-3150
Période archaïque ou thinite
—> de -3150 à -2700
Ire dynastie
(-3140 à v.2850)
—> v-3185 Narmer (ou Ménès) unife les deux Égyptes
IIe dynastie
(-2850 à -2647)
Ancien empire
—> de -2700 à -2200
IIIe dynastie
(-2700 à -2620)
IVe dynastie
(-2620 à -2508)
—> Pyramides de Gizeh
Ve dynastie
(-2508 à -2350)
VIe dynastie
(-2350 à -2200)
Première période intermédiaire
—> de -2180/-2150/-2140 à -2022
VIIe à la Xe dynastie
Moyen Empire
—> de -2033 à -1786
XIe dynastie
(-2106 à -1963)
XIIe dynastie
(-1963 à -1786).
40 on 43
Deuxième période intermédiaire
—> -1786 à -1500
XIIIe à XVIIe dynastie
Nouvel Empire
—> de -1500 à -1000
XVIIIe dynastie
(-1552 à -1292)
XIXe dynastie
(-1292 à -1186)
XXe dynastie
(-1186 à -1069)
Troisième période intermédiaire
—> de -1069 à -712
XXIe dynastie
(-1069 à -945)
XXIIe dynastie
(-945 à -715)
XXIIIe dynastie
(-845 à -715)
XXIVe dynastie
(-727 à -712)
Basse époque
—> -750 à
XXVe dynastie
(-775 à -656)
XXVIe dynastie
(-664 à -525)
—> Amasis
(-571 à -526)
—> Pythagore
(-580 à -497)
XXVIIe dynastie
(-525 à -404)
XXVIIIe dynastie
(-404 à -398)
XXIXe dynastie
(-398 à -378)
XXXe dynastie
(-380 à -341)
XXXIe dynastie
(-341 à -332)
Période macédonienne (-332 à -305)
Dynastie des Ptolémées (-323 à -30)
Période romaine
—> de -30
L'édit de Thessalonique fut décrété par l'empereur romain Théodose Ier le 28 février
380. Par ce décret, le Christianisme devient religion ofcielle de l'empire romain.
41 on 43
◊ Annexe 4 - RÉSUMÉ DE L'ARTICLE
Pythagore a trouvé son théorème en résolvant la proportion dorée de la
géométrie égyptienne. (1)
La résolution algébrique du nombre d'or et le théorème de Pythagore ne font qu'un
historiquement (2) : ils procèdent tout deux de la même proposition, soit √5 comme
diagonale d'un double-carré - propos de l'article.
Il fallait la pratique de la Géométrie Sacrée, et redécouvrir les propriétés ignorées du
Triangle Sacré (3) pour s'en rendre compte. En outre, les Égyptiens connaissaient la
proportion dorée qu'ils développaient par un procédé purement géométrique (4). La
Géométrie avec les yeux.
---------------------------------------------
Ce que l'on sait (notoriété publique)
--------------------------------------------Réf. 1 - Le Triangle Sacré est connu sous le nom de Triangle Égyptien. Toutes les
valeurs comparables à ses 3-4-5 sont appelées triplets pythagoriciens, soulignant
l'origine du Théorème.
Réf. 2 - Thalès et Pythagore (VIème Siècle av J-C) font leurs classes en Égypte. Ils y
apprennent la Géométrie et la doctrine des Prêtres, soit : la Géométrie Sacrée.
—> Les Grecs et l'Égypte : voir aussi Annexe - Les Grecs en Égypte
• Thalès (-625, -547) étudie la géométrie en Egypte.
• Pythagore ( -580, -497) apprend la langue pharaonique en Egypte,
puis "les doctrines secrètes relatives aux dieux".
• Démocrite (-460, -370) apprend la géométrie en Egypte.
• Eudoxe (-406, -355) l'astronome, passe 15 mois avec les Prêtres Egyptiens.
• Platon (-428, -347) , suite à sa rencontre avec les Pythagoriciens,
séjourne en Egypte "chez les prêtres du haut clergé".
42 on 43
-------------------------------------
Ce que l'on ne sait pas
------------------------------------Réf. 3 - Les propriétés principales du Triangle Sacré :
Structure interne :
- Cercle inscrit de rayon 1
- Proportion dorée sur la bissectrice dorée
- Angles dorés des autres bissectrices
Capacité systémique complexe - équations picturales :
- Rublev :
La Sainte Trinité
(la nature divine)
- Botticelli :
La naissance de Vénus (la révélation esthétique)
- Durer :
Melencolia I et lesTarots (la représentation)
Réf. 4 - La pratique purement géométrique du Nombre d'Or, traduites par :
- L'apparition de Phi sur le cercle de 2, selon l'angle de π/5
- Les équations trigonométriques issues du Triangle Sacré
tg(Alpha) = 2
Alpha = grand angle du double-carré
Alpha = Angle aigu des diagonales dorées
tg(Alpha/2)=1/Phi
Alpha/2 = petit angle du rectangle doré
- En outre, l'on peut construire simplement un rectangle doré
sur un quadrillage de quatre carreaux sur six (diagonales).
// Pentagramme :
sin(π/5) = √(3-Phi)/2
cos(π/5) = Phi/2
π/5 = angle de pointe du Pentagramme
43 on 43

GÉOMÉTRIE - Art

Transcription

Documents pareils

Exercice n°1 ABC est un triangle rectangle isocèle tel que : AHMK

Fiche 14 (a) : Démontrer qu`un triangle est rectangle (Pythagore)

EXERCICE 15 On considère le rectangle ABCD tel

La géométrie dynamique pour tous

géométrie - Art

Comment démontrer qu`un triangle est rectangle

exercices sur le théorème de pythagore

Yvo JACQUIER - Short Biography

math ce1 2-2012 géométrie

Triangle rectangle. Trouver x pour que le triangle soit rectangle en B