Equation de la parabole - Notes de cours

ENSEIGNEMENT DE PROMOTION SOCIALE
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Cours de
MATHEMATIQUES
- Equation de la parabole ——————————————————————
VERSION PROVISOIRE
H. Schyns
Juin 2011
Equation de la parabole
Sommaire
Sommaire
1.
INTRODUCTION
2.
LA PARABOLE
2.1. Forme simple
2.2. Ouverture de la parabole
2.3. Altitude de la parabole
2.4. Décalage latéral la parabole
2.5. Equation canonique
3.
EXERCICES
3.1. Exercice 1
3.2. Exercice 2
4.
SOURCES
H. Schyns
S.1
Equation de la parabole
1.
1 - Introduction
Introduction
Nous rencontrons des paraboles tous les jours de notre vie…
H. Schyns
1.1
Equation de la parabole
1 - Introduction
(à développer…)
H. Schyns
1.2
Equation de la parabole
2.
2 - La parabole
La parabole
2.1.
Forme simple
La parabole la plus simple est définie par la fonction
y = x2
C'est une fonction quadratique car la variable [ x ] est au carré. On dit aussi que
c'est une fonction du deuxième degré car l'exposant de [ x ] est 2.
Pour tracer son graphe, on procède exactement comme dans le cas de la droite : on
crée un tableau dans lequel on choisit les valeurs de [ x ] (variable indépendante) et
on calcule les valeurs de [ y ] (variable dépendante)
x
y=x2
0
1/2
0
1/4
1
3/2
1
9/4
2
4
3
4
9
16
-1/2
-1
-3/2
1/4
1
9/4
-2
-3
4
9
-4
16
fig. 2.1 La parabole la plus simple : y=x
2
Ce graphe appelle quelques commentaires :
-
2.2.
les valeurs sont toujours positives. Elles occupent le premier et le deuxième
quadrant.
Le graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. On dit que cette
fonction est paire.
la concavité est orientée vers le haut (parabole ouverte en haut)
le graphe passe par un minimum en (0,0). Il n'est pas "pointu" en ce point, la
tangente est horizontale
les segments entre les points ne sont pas des droites.
Ouverture de la parabole
Nous pouvons jouer sur l'ouverture ou la fermeture de la parabole en multipliant le
2
terme en [ x ] par un facteur [ a ] :
H. Schyns
2.1
Equation de la parabole
2 - La parabole
y = a×x 2
x
y=
1 2 y = 2x 2
x
2
0
0
1/2
1
1/8
1/2
1/2
2
3/2
9/8
9/2
2
3
4
2
9/2
8
8
18
32
-1/2
1/8
1/2
-1
1/2
2
-3/2
-2
9/8
2
9/2
8
-3
9/2
18
-4
8
32
fig. 2.2 Le coefficient [ a ] contrôle l'ouverture de la parabole: y=ax2
Lorsque le coefficient [ a ] diminue tout en restant positif, la parabole s'ouvre et se
rapproche de l'axe horizontal mais ses valeurs restent positives (Ier et IIème quadrant)
(fig. 2.2).
Par contre, lorsque le coefficient [ a ] augmente, la parabole se resserre et se
rapproche de l'axe vertical. Toutefois, autour du minimum, la tangente reste
horizontale.
Si nous changeons le signe du coefficient [ a ], les coordonnées [ y ] de tous les
points changent de signe. Cela signifie que chaque point de la parabole passe de
l'autre côté de l'axe des abscisses (fig. 2.3).
x
y=x
2
y = -x
0
0
0
1/2
1
1/4
1
-1/4
-1
3/2
9/4
-9/4
2
3
4
9
-4
-9
4
-1/2
16
1/4
-16
-1/4
-1
1
-1
-3/2
9/4
-9/4
-2
4
-4
-3
9
-9
-4
16
-16
H. Schyns
2
2.2
Equation de la parabole
2 - La parabole
fig. 2.3 Le signe de [ a ]
contrôle l'orientation de la parabole
Les paraboles d'équation
y = ax 2 et
y = - ax 2
sont l'image symétrique l'une de l'autre par rapport à l'axe des abscisses.
Nous en déduisons que
Si a > 0 la concavité est orientée vers le haut (positive)
Si a < 0 la concavité est orientée vers le bas (négative)
2.3.
Altitude de la parabole
Nous pouvons jouer sur l'altitude de la parabole en ajoutant un terme indépendant
[ c ] à l'équation :
y = a×x 2 +c
2
2
x
y = x +5 y = x -5
0
1/2
1
5
21/4
6
0
-19/4
-4
3/2
2
29/4
9
-11/4
-1
3
4
-1/2
14
21
21/4
4
11
-19/4
-1
-3/2
6
29/4
-4
-11/4
-2
9
-1
-3
14
4
-4
21
11
fig. 2.4 La valeur de [ c ] contrôle l'altitude de la parabole
Ceci signifie qu'à chaque valeur de [ y ] de la parabole de base, on ajoute une
certaine quantité [ c ]. Si [ c ] est positif, la parabole est décalée vers le haut ; si [ c ]
est négatif, la parabole est décalée vers le bas (fig. 2.4).
Notons que
-
-
H. Schyns
si [ a ] est positif et [ c ] négatif, la parabole est orientée vers le haut
(concavité positive) mais son sommet est situé en dessous de l'axe des
abscisses. Le graphe de la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points
appelés racines (fig. 2.5).
si [ c ] augmente, la parabole s'élève peu à peu et les deux racines se
rapprochent l'une de l'autre. Pour une certaine valeur de [ c ] la parabole est
tangente à l'axe des abscisses et elle ne présente plus qu'une seule racine (on
2.3
Equation de la parabole
-
2 - La parabole
dit alors que les deux racines sont confondues, ou qu'il s'agit d'une racine
double).
si [ c ] augmente encore, la parabole "décolle" de l'axe des abscisses et ne le
coupe plus. La parabole n'a pas de racines.
fig. 2.5 Le nombre de racine varie avec l'"altitude" de la parabole.
2.4.
Décalage latéral la parabole
Pour décaler latéralement la parabole (1) il suffit de remplacer dans l'équation
xàx+m
(vers la gauche)
xàx–m
(vers la droite)
Si nous partons de l'équation la plus simple
y = x2
dans laquelle nous remplaçons [ x ] par [ x + m ], nous obtenons
y = ( x + m) 2
y = x 2 + 2m × x + m 2
ce qui fait apparaître un terme du premier degré.
Dès que l'équation d'une parabole contient un terme du premier degré, son axe de
symétrie ne coïncide plus avec l'axe des ordonnées.
Vérifions cela en ajoutant un terme du premier degré [ b·x ] à l'équation :
y = a×x 2 +b×x
1 Ceci vaut aussi pourle graphe de n'importe quelle fonction.
H. Schyns
2.4
Equation de la parabole
2
x
2 - La parabole
2
y = x +4x y = x -4x
0
1/2
0
9/4
0
-7/4
1
5
-3
3/2
33/4
-15/4
2
12
-4
3
4
-1/2
21
32
9/4
-3
0
-7/4
-1
-3/2
-3
-15/4
5
33/4
-2
-4
12
-3
-3
21
-4
0
32
fig. 2.6 La valeur de [ b ] contrôle le décalage la parabole à g. ou à dr.
Nous voyons que la parabole se décale effectivement vers la gauche ou vers la
droite (fig. 2.6) mais aussi vers le bas (c'est normal).
2.5.
Equation canonique
Ceci nous conduit à l'équation canonique ou équation complète de la parabole :
y = a×x 2 +b× x +c
Cette expression est appelée trinôme complet du second degré :
-
trinôme car il y a trois termes
second degré car le terme de plus haut degré est [ x2 ]
complet car il y a tous les termes intermédiaires : en [ x2 ], en [ x1 ] et en [ x0 ] (le
terme indépendant)
Les trois coefficients ou paramètres [ a ], [ b ], [ c ] nous permettent de placer la
parabole où nous le désirons dans le plan (fig. 2.7)
H. Schyns
2.5
Equation de la parabole
2 - La parabole
fig. 2.7 Trois paraboles dans le plan
H. Schyns
2.6
Equation de la parabole
3.
3 - Exercices
Exercices
3.1.
Exercice 1
……
3.2.
Exercice 2
……
H. Schyns
3.1
Equation de la parabole
4.
4 - Sources
Sources
- Elementary and Intermediate Algebra for College Students
Allen R. Angel
Prentice Hall
ISBN : 0-13-013980-7
H. Schyns
4.1