Modélisation d`une corde vibrante

Applications des mathématiques:
Modélisation d’une corde vibrante
Mathématiques
Appliquées et
Génie Industriel
Résumé
Dans cet exemple, on étudie le phénomène ondulatoire d’une corde
vibrante. La seconde loi de Newton, ainsi que de la trigonométrie
de base, nous permettent d’obtenir l’équation aux dérivées partielles
qui décrit le déplacement vertical de la corde.
Domaines du génie
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Notions mathématiques
Équation d’onde en une dimension
Cours pertinents
Équations Différentielles
Auteur(es)
M. Laforest, A. Saucier, E. Chan-Tave
Sommaire
1 Introduction
2
2 Modélisation
2
3 Conclusion
3
Références
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Modélisation d’une corde vibrante
1
MAGI
Introduction
Dans la nature, les phénomènes ondulatoires se manifestent sous plusieurs formes. On retrouve, par
exemple, les vagues sur un lac, les ondes électromagnétiques (ondes radio, lumière), les tremblements
de terre, les ondes sonores, la vibration des cordes sur un instrument de musique, la vibration d’une
membrane sur un tambour, etc... L’archétype des équations gouvernant ces phénomènes est l’équation
d’onde. Dans cet exemple, nous verrons que les déplacements verticaux d’une corde vibrante sont décrits
par les solutions de cette équation.
2
Modélisation
On peut établir l’équation de la corde vibrante à partir des lois de Newton. Considérons un petit segment
de corde entre x1 et x2 . Le graphique ci-dessous représente les forces agissant sur ce segment.
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Figure 1: Forces agissant sur un segment de corde
Sur la figure 1, u est le déplacement vertical de la corde par rapport à sa position d’équilibre horizontale
tandis que Hi et Vi sont les composantes horizontale et verticale de la tension dans la corde au point
xi .
Si le segment de corde ne se déplace pas horizontalement, alors :
H1 = H2 ≡ H.
Au point xi , on peut représenter la situation comme suit :
Vi
!i
Hi = H
2
MAGI
Modélisation d’une corde vibrante
Aux extrémités, on a :
tan θi =
Vi
.
H
(1)
La pente de la corde satisfait :
tan θi =
∂u
(xi , t),
∂x
i = 1, 2.
(2)
À l’aide des équations (1) et (2), on obtient les deux identités :
Vi = H
∂u
(xi , t),
∂x
i = 1, 2.
Si ρ est la masse par unité de longueur de la corde, alors la deuxième loi de Newton appliquée à la
composante verticale nous permet de conclure que :
F
⇒
= ma
V2 − V1 = ρ∆x
⇒ H
∂2u
∂t2
∂u
∂u
∂2u
(x2 , t) −
(x1 , t)
= ρ∆x 2
∂x
∂x
∂t
⇒
H
∂2u
∂2u
∆x
=
ρ∆x
.
∂x2
∂t2
Si on divise par ∆x des deux côtés, alors on obtient :
H
∂2u
∂2u
=ρ 2.
2
∂x
∂t
L’équation d’onde normalisée est :
2
∂2u
2∂ u
−
c
= 0,
∂t2
∂x2
où c =
3
q
H
ρ
est la vitesse de l’onde.
Conclusion
Dans cet exemple, nous avons modélisé l’onde traversant une corde vibrante à l’aide d’une équation aux
dérivées partielles d’ordre 2. Cependant, nous n’avons pas parlé des conditions aux frontières que l’on
peut imposer et qui ont un impact important sur le type de comportement que l’on obtiendrait.
3
Modélisation d’une corde vibrante
MAGI
Références
[1] BOYLE, W.E., DI PRIMA, R.C., Équations Différentielles, Chenelière/McGraw-Hill, 2004, QA 372
B74214 2002.
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