Cours MS 204 Dynamique des systèmes

Transcription

Introduction
La corde vibrante
Milieux continus non-dispersifs
Conclusion
ENSTA - C OURS MS 204
DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES :
O NDES ET VIBRATIONS
Amphi 1
ENSTA – MS 204 – 2015/2016
Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Dynamique des systèmes mécaniques – Amphi 1
Exemples introductifs
Hypothèses générales et plan du cours
E QUIPE PÉDAGOGIQUE
I
Cours :
Cyril Touzé
I
Petites classes :
Jean Boisson
Arnaud Malher
Cyril Touzé
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
O BJECTIFS DU COURS
I
I
Introduction de la dimension temps dans l’analyse des
systèmes mécaniques décrits par des milieux continus.
les milieux vont vibrer, osciller, sous l’effet de conditions
initiales et/ou de forces externes.
Apparition de nouveaux phénomènes :
I
I
I
I
Propagations d’ondes.
Vibrations des systèmes mécaniques, modes propres.
Au niveau mathématique : résolution d’EDP.
Objectifs du cours
I
I
Donner les principaux outils d’analyse.
Donner des exemples de milieux continus que l’on pourra analyser:
• En mécanique des solides :
Milieux élastiques, cordes, poutres, plaques.
• En mécanique des fluides :
Acoustique, ondes de surface, ballottement.
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
ONDES/VIBRATION
I
Jet d’un caillou dans l’eau
propagation d’une onde de déformation à
la surface.
I
Onde : phénomène propagatif.
I
A l’échelle de la Terre...
Tsunami du 26 décembre 2004
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
ONDES/VIBRATION
I
Présence d’obstacles, de limites :
réflexions de l’onde incidente,
localement la dynamique se
complexifie.
I
Sommes d’ondes se propageant dans
des directions opposées:
onde stationnaire
I
On a alors affaire à des vibrations :
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
ONDES/VIBRATION
I
Milieu infini:
• lorsque les conditions aux limites sont "loins".
• lorsque le rapport entre le temps d’observation et le temps de propagation est
petit devant 1.
approche locale
Le milieu est modélisé par une EDP.
formalisme des ondes.
cours 1 et 2.
I
Lorsque le milieu est fini:
approche globale
Le milieu est modélisé par une EDP
assortie de conditions aux limites
formalisme des modes.
cours 3, 4 et 5.
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
DISPERSIF / NON-DISPERSIF
I
Lorsque le paquet d’onde ne
se déforme pas pendant la
propagation:
La propagation est
non-dispersive.
cours 1
I
Lorsque le paquet d’onde se
déforme :
La propagation est
dispersive.
cours 2
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
STATIQUE/DYNAMIQUE
I
Dimensionnement "statique" d’une structure
On connaît a priori l’amplitude maximale des efforts
s’exerçant sur une structure
Dimensionnement statique afin que le déplacement reste
inférieur à une valeur donnée
I
Modèle équivalent :
I
Dimensionnement statique : x < xmax =
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Fext
k
Introduction
La corde vibrante
Conclusion
R ÉPONSE VIBRATOIRE D ’ UN OSCILLATEUR
I
Force ≡ Créneau d’amplitude égale à la force critique
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
R ÉPONSE VIBRATOIRE D ’ UN OSCILLATEUR
I
Force ≡ Créneau d’amplitude égale à la force critique
Résultat :
I
Réponse 2× supérieure à la réponse statique!
I
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
I
Forçage harmonique :
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
I
Forçage harmonique :
I
Réponse 100× supérieure à la réponse statique!
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
M ILLENNIUM B RIDGE (L ONDRES )
Un exemple de forçage harmonique aux conséquences gênantes...
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES
I
Milieux continus + cadre général des H.P.P. :
∂2w
+ L(w) = fext (x, t)
∂t2
I
Milieu infini (chapitre 2)
I
I
I
Milieu fini (chapitre 3)
I
I
Approche modale.
cours 3
Systèmes discrets (chapitre 4)
I
I
I
Ondes non-dispersives : milieux élastiques 3D et acoustique.
cours 1
Ondes dispersives : poutre en flexion et ondes de surface.
cours 2
solutions temporelles : oscillateur 1D et ND.
cours 4
Résolution numérique et analyse modale expérimentale.
cours 5
Effets non-linéaires (chapitre 5)
cours 6
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Ondes non-dispersives
Ondes dispersives
La corde vibrante
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Ondes dispersives
L A CORDE VIBRANTE
I
Tension T (x)
I
Masse linéique ml = ρA
I
Déplacement vertical d’un élément de corde : ξ(x, t) = w(x, t)ey
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
I
Ondes dispersives
Équilibre des forces au 1er ordre :
∂w
∂w
∂2w
(x + dx, t) − T (x)
(x, t).
ml dx 2 = T (x + dx)
∂t
∂x
∂x
I
I
dx → 0 :
∂2w
∂
ml 2 =
∂t
∂x
∂w
T (x)
∂x
T = Cte :
∂2w
∂2w
ml 2 = T
∂t
∂x2
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
I
Ondes dispersives
L’équation peut se mettre sous la forme :
2
∂2w
2∂ w
− c
=0
∂t2
∂x2
I
avec :
r
c=
I
T
.
ml
Équation locale
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Ondes dispersives
S OLUTION DE D ’A LEMBERT (1747)
I
En posant α = x + ct et β = x − ct,
l’équation d’onde devient,
Jean le Rond d’Alembert
∂2w
=0
∂α∂β
I
(1717-1783)
Solution de la forme :
w(x, t) = F (x + c t) + G(x − c t)
| {z } | {z }
←−
I
−→
variable x ± ct : clé de la solution !
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Ondes dispersives
R ÉPONSE À UNE CONDITION INITIALE
I
I
I
Condition initiale : w(x, 0) = w0 (x) , ∂w
∂t (x, 0) = 0
Solution de d’Alembert :
F (x) + G(x) = w0 (x) , F 0 (x) − G0 (x) = 0
Solution : w(x, t) = 12 w0 (x + ct) + 12 w0 (x − ct)
1
1
w
0.8
0.6
(a)
w 0 (x)
t=0
0.8
w
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
1
1
(c)
w
0.8
0.6
0.8
t2
w
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.2
0.4
0.6
x
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0.8
1
Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Ondes dispersives
O NDE HARMONIQUE
I
Solution harmonique :
w(x, t)
=
a cos[k(x − ct) + φ]
=
a cos(kx − ωt + φ)
avec c = ω/k
I
k ≡ Nombre d’onde
I
Longueur d’onde : λ = 2π/k
I
ω ≡ Pulsation
I
Période : T = 2π/ω
I
Fréquence : F = 1/T = ω/2π
I
φ ≡ Phase
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Ondes dispersives
O NDES RÉELLES , ONDES COMPLEXES
I
Onde complexe :
w(x, t) = Aei(kx−ωt) ,
A∈C
−iω
I
Commodité de calcul : ∂/∂x
I
A ∈ C → |A| ≡ Amplitude , arg(A) ≡ phase
I
Solution physique : Re Aei(kx−ωt)
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ik, ∂/∂t
Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Ondes dispersives
R ELATION DE DISPERSION
EDP locale
Relation de dispersion
Corde vibrante
2
∂2w
2∂ w
−c
=0
∂t2
∂x2
ω 2 − c2 k 2 = 0
←→
Cas général
∂2w
+ L(w) = 0
∂t2
←→
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
D(k, ω) = 0
Ondes dispersives
N OTION DE DISPERSIVITÉ
I
ω
Équation de corde :ω 2 − c2 k 2 = 0
k = cte
La vitesse des ondes est constante → non-dispersif.
I
Cas général : D(k, ω) = 0 et ωk = f (k) 6= cte
Si l’on souhaite faire apparaître une solution type
"d’Alembert":
ω
w(x, t) = A exp ik(x − t),
k
La vitesse de propagation qui apparait
est dépendante de la longueur d’onde.
→ le milieu est dispersif
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Ondes dispersives
U N EXEMPLE DE MILIEU DISPERSIF, LA CORDE SUR
FONDATION ÉLASTIQUE
Polycopié section 2.6 page 26.
2
∂2y
2∂ y
−
c
+ by = 0
∂t2
∂x2
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Ondes dispersives
O BTENTION DE LA RELATION DE DISPERSION
I
Solution de la forme : y(x, t) = A exp[i(kx − ωt)]
I
Relation de dispersion :
c2 k 2 + b − ω 2 = 0
I
À un nombre d’onde k donné, 2 pulsations différentes :
p
ω± = ± c2 k 2 + b
I
Vitesse de propagation de l’onde :
√
ω
c2 k 2 + b
=±
k
k
I
ω/k dépend du nombre d’onde ⇒ Dispersion
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Ondes dispersives
I NTERPRÉTATION DE LA DISPERSIVITÉ ET NOTION DE
VITESSE DE GROUPE
I
Superposition de 2 ondes (ω − δω, k − δk) et (ω + δω, k + δk) :
w(x, t) = cos [(k + δk)x − (ω + δω)t]
+ cos [(k − δk)x − (ω − δω)t]
= 2 cos(δkx − δωt) cos(kx − ωt)
|
{z
}|
{z
}
enveloppe
onde (k, ω)
I
I
I
ω
−→ Vitesse de phase
k
δω
∂ω
Vitesse de l’enveloppe :
'
−→ Vitesse de groupe
δk
∂k
Interprétation de Stokes : propagation non-dispersive.
propagation dispersive
Vitesse de la modulation :
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Ondes dispersives
I NTERPRÉTATION DE LA DISPERSIVITÉ ET NOTION DE
VITESSE DE GROUPE
I
Animations : propagation d’un paquet d’ondes:
propagation non-dispersive.
propagation dispersive.
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Ondes dispersives
V ITESSES DE PHASE ET DE GROUPE POUR LA CORDE
TENDUE SUR FONDATION ÉLASTIQUE
r
ω
b
cφ = = c 1 + 2 2
k
c k
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
cg =
∂ω
c2 k
=√
∂k
c2 k 2 + b
Ondes dispersives
C AS GÉNÉRAL : ω ET k PEUVENT ÊTRE COMPLEXES
I
I
Si pour ω ∈ R donné,
Im(k) = 0
Onde propagative
Im(k) 6= 0
Onde évanescente
Si pour k ∈ R donné,
Im(ω) = 0
Mouvement non amorti
Im(ω) 6= 0
Mouvement amorti
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Elastodynamique
Acoustique
ENSTA – MS 204 – 2015/2016
Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Elastodynamique
Acoustique
É LASTODYNAMIQUE
I
Équilibre des efforts dans un solide (MS102) :
∂2ξ
∀x ∈ Ω : div σ + f = ρ 2
∂t
I
Relation contrainte-déformation pour un solide élastique,
isotrope, à température constante :
σ = λ(trε)1 + 2µε,
I
Tenseur des déformations :
ε=
1
2
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t
∇ξ + ∇ξ
Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Elastodynamique
Acoustique
É QUATION DE NAVIER
Équilibre dynamique exprimé uniquement en termes de
déplacement :
∂2ξ
ρ 2 = (λ + µ)grad (div ξ) + µdiv (grad ξ)
∂t
Claude Louis Marie Henri Navier (1785-1836)
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Elastodynamique
Acoustique
P REMIÈRE IDÉE D ’ ANALYSE
I
Onde harmonique pour le déplacement :

 

ξX (x, y, z, t)
A exp i(k.x − ω t)
ξ(x, y, z, t) =  ξY (x, y, z, t)  =  B exp i(k.x − ω t) 
ξZ (x, y, z, t)
C exp i(k.x − ω t)
I
Impossibilité d’obtenir une relation de dispersion
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Elastodynamique
Acoustique
O NDES LONGITUDINALES
I
Soit D la dilatation locale du milieu :
D = div(ξ),
I
Divergence de l’équation de Navier :
ρ
I
∂2D
= (λ + 2µ) ∆ D
∂t2
Mise en évidence d’ondes de dilatation (compression/détente)
non-dispersives se propageant au sein du milieu élastique.
Célérité de ces ondes :
s
λ + 2µ
cL =
ρ
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Elastodynamique
Acoustique
O NDES TRANSVERSES
I
Soit Ω la rotation locale :
Ω=
I
1
rot(ξ).
2
Rotationnel de l’équation de Navier :
∂2Ω
ρ 2 = µ ∆Ω
∂t
I
Mise en évidence d’ondes transverses non-dispersives
se propageant au sein du milieu élastique.
Célérité de ces ondes :
r
µ
cL =
ρ
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Elastodynamique
Acoustique
A PPROXIMATION EN ONDES PLANES
Loin de la source, on peut considérer que l’on a des ondes planes
Problème invariant dans le plan perpendiculaire au vecteur d’onde
ENSTA – MS 204 – 2015/2016
Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Elastodynamique
Acoustique
É QUATION DE NAVIER POUR UNE ONDE PLANE
I
Expression du déplacement dans le cas d’une onde plane de
vecteur d’onde k = k ex :


ξX (x, t)
ξ(x, y, z, t) =  ξY (x, t) 
ξZ (x, t)
I
L’équation de Navier devient :
∂ 2 ξX
ρ 2 =
∂t
∂ 2 ξY
ρ 2 =
∂t
∂ 2 ξZ
ρ 2 =
∂t
ENSTA – MS 204 – 2015/2016
(λ + 2µ)
µ
µ
∂ 2 ξX
,
∂x2
∂ 2 ξY
,
∂x2
∂ 2 ξZ
.
∂x2
Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Elastodynamique
Acoustique
O NDES DE COMPRESSION ( ONDES P)
∂ 2 ξX
∂ 2 ξX
ρ 2 = (λ + 2µ)
∂t
∂x2
⇒ c2L =
ENSTA – MS 204 – 2015/2016
Introduction
La corde vibrante
Conclusion
λ + 2µ
ρ
Elastodynamique
Acoustique
O NDES DE CISAILLEMENT ( ONDES S)
∂ 2 ξY
∂ 2 ξY
ρ 2 =µ
∂t
∂x2
⇒ c2T =
ENSTA – MS 204 – 2015/2016
µ
ρ
Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Elastodynamique
Acoustique
C OMPARAISON DES VITESSES DE PROPAGATION
I
I
λ + 2µ
E
1
=
ρ
ρ 2(1 + ν)
E
1−ν
µ
Ondes transverses : c2T = =
ρ
ρ (1 + ν)(1 − 2ν)
Ondes longitudinales : c2L =
I
c % si E % (raideur)
I
c & si ρ % (masse)
I
Quelques valeurs numériques :
cL
Acier 5700 m/s
Bois 5000 m/s
Craie 2500 m/s
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Introduction
La corde vibrante
Conclusion
cT
3000 m/s
2500 m/s
1200 m/s
Elastodynamique
Acoustique
A PPLICATION : O NDES SISMIQUES
Sismogramme
ENSTA – MS 204 – 2015/2016
Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Elastodynamique
Acoustique
L OCALISATION DE L’ ÉPICENTRE
La durée entre les 2 fronts
dépend de la distance
ENSTA – MS 204 – 2015/2016
Introduction
La corde vibrante
Conclusion
3 points d’enregistrement...
Elastodynamique
Acoustique
O NDES ACOUSTIQUES
I
Ondes de compression longitudinales dans un milieu fluide.
I
Pas d’ondes transversales.
I
Équations de départ : Équations générales de la mécanique des
fluides compressibles,
linéarisées autour d’un état d’équilibre.
I
Variables de champ : ρ(x, t), p(x, t), v(x, t)
ENSTA – MS 204 – 2015/2016
Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Elastodynamique
Acoustique
O NDES ACOUSTIQUES
I
On obtient l’équation des ondes en 3 dimensions:
∂ 2 p̃
− c2 ∆p̃ = 0
∂t2
I
Loi d’état pour une transformation adiabatique :
r
R0 T
c = γ
M
I
Valeurs typiques, à 20◦ C :
Eau
Air
Propagation non-dispersive.
I
ENSTA – MS 204 – 2015/2016
1500 m/s
340 m/s
Introduction
La corde vibrante
Conclusion
Conclusion
ENSTA – MS 204 – 2015/2016
Introduction
La corde vibrante
Conclusion
C ONCLUSION - A SPECTS IMPORTANTS À RETENIR
I
Équation dynamique locale de différents milieux
I
Approche en ondes harmoniques : w(x, t) = A exp[i(kx − ωt)]
I
Relation de dispersion D(k, ω) = 0
I
Vitesse de phase : cϕ =
ω
k
I
Vitesse de groupe : cg =
∂ω
∂k
I
Milieux non dispersifs : cϕ = Cte = cg
I
Milieux dispersifs : cϕ = f (k) , cg = g(k)
Deux exemples de milieux continus non-dispersifs:
I
I
I
Solide élastique isotrope.
fluide compressible (ondes acoustiques).
ENSTA – MS 204 – 2015/2016
Introduction
La corde vibrante
Conclusion
L A PROCHAINE FOIS ...
I
Deux exemples de milieux continus dispersifs:
I
I
Ondes de flexion dans les poutres.
ondes de surface.
I
Ajout de bords au domaine (conditions aux limites)
d’ondes
I
Systèmes de dimensions finies
ENSTA – MS 204 – 2015/2016
Réflexions
ondes stationnaires
modes
Introduction
La corde vibrante
Conclusion
S UPPORTS DE COURS
Les supports du cours en amphi (transparents)
sont accessibles au format pdf à l’adresse suivante:
http://www.ensta-paristech.fr/∼touze/MS204/
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Cours MS 204 Dynamique des systèmes

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