exercices corriges sur le cosinus
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EXERCICES CORRIGES SUR LE COSINUS Exercice 1. Dans le triangle EFG, rectangle en G, on donne Ê = 30° et EG = 5 cm. Calculer EF, on arrondira le résultat au millimètre près. Solution. Le triangle EFG étant rectangle en G, on a : EG cos(Ê) = EF EF × cos(Ê) = EG EG EF = cos Ê EF ≈ 5,8 cm. Exercice 2. Dans le triangle GHI, rectangle en H, on sait que IH = 4 cm et IG = 5 cm. Calculer l'angle Î, on arrondira le résultat au dixième de degré près. Solution. Le triangle GHI étant rectangle en H, on a : IH cos(Î) = IG 4 cos(Î) = 5 Î ≈ 37°. Exercice 3. Un avion décolle avec un angle de 40°. A quelle altitude se trouve-t-il lorsqu’il survole la première ville située à 3,5 km de son point de décollage ? Solution. Représentons la situation par un triangle ABC rectangle en B : AB D'une part on a cos(Â) = AC AC × cos(Â) = AB CB d'autre part on a cos(Ĉ) = AC AC × cos(Ĉ) = CB CB cos Ĉ Donc = AB cos  cos Ĉ CB = AB cos  CB ≈ 2,9 km. Remarque. On peut résoudre l'exercice en calculant AC à l'aide du cosinus de l'angle  ; puis en calculant BC à l'aide du théorème de Pythagore. On peut aussi trouver plus rapidement BC à l'aide de la tangente de Ĉ. Exercice 4. Une échelle est appuyée contre un mur. Elle mesure 4,5 m de long et son pied est à 80 cm du mur. Quel angle fait-elle avec le sol (réponse à donner à 0,1° près) ? Solution. Le triangle ABC étant rectangle en B, on a : BC cos(Ĉ) = AC 0,8 cos(Ĉ) = 4,5 Ĉ ≈ 79,8°. Exercice 5. Tracer un segment [AC] qui mesure 8 cm. Construire le cercle (C ) de diamètre [AC]. Placer un point B sur (C ) tel que AB = 7 cm. Montrer que le triangle ABC est rectangle. Calculer les mesures des angles BÂC et AĈB arrondies au degré. Solution. Le cercle (C ) est circonscrit au triangle ABC et [AC] est un diamètre du cercle, donc ABC est rectangle en B. On a par suite : AB cos(Â) = AC 7 cos(Â) = 8  ≈ 29°. Les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires, donc Ĉ = 90° −  ≈ 61°. Exercice 6. Un bassin carré a 12 mètres de côté. Au centre se trouve un jet d’eau, dont l’extrémité vue de l’un des sommets du carré, apparaît sous un angle d’élévation de 50°. Quelle est la hauteur de jet d’eau ? On donnera cette hauteur au mètre près. Solution. Première étape : calcul de AD. Le bassin étant carré, le triangle ABC est donc rectangle et isocèle en B. D'après le théorème de Pythagore, on a : AC² = AB² + BC² AC² = 144 + 144 AC = 288 . Les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu, donc : AD = AC ÷ 2 AD ≈ 8,49 m. Deuxième étape : calcul de DE. Dans le triangle ADE rectangle en D, d'une part on a : AD cos(Â) = AE AE × cos(Â) = AD. ED D'autre part on a cos(Ê) = AE AE × cos(Ê) = ED. ED cos Ê Donc = AD cos  cos Ê ED = AD cos  ED ≈ 10 m. Exercice 7. Quelle est la hauteur d’une tour qui donne 36 mètres d’ombre lorsque le soleil est élevé de 37,5° au-dessus de l’horizon ? On donnera cette hauteur au mètre près. Solution. Dans le triangle ABC rectangle en B : AB d'une part on a cos(Â) = AC AC × cos(Â) = AB ; BC d'autre part on a cos(Ĉ) = AC AC × cos(Ĉ) = BC. AB cos  Donc = BC cos Ĉ cos  AB = BC cos Ĉ AB ≈ 28 m. Exercice 8. Sur les berges de la rivière, deux points remarquables A et B se font face. En partant de B, perpendiculairement à (AB), on parcourt 50 m et on arrive ainsi au point C. De là, on voit le segment [AB] sous un angle AĈB de 21°. Calculer la largeur AB de la rivière, à 1 m près. Solution. Dans le triangle ABC rectangle en B : AB d'une part on a cos(Â) = AC AC × cos(Â) = AB ; BC d'autre part on a cos(Ĉ) = AC AC × cos(Ĉ) = BC. AB cos  Donc = BC cos Ĉ cos  AB = BC cos Ĉ AB ≈ 19 m. •