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Dérivation - exercice corrigé
Dérivée de polynômes
Premières S et ES
5mn
1 Enoncé
.
EO
ID
-V
2 Enoncé et correction
1
Enoncé
1
2
n
e
-
Dans chaque cas, la fonction f est définie sur D.
S
Justifier que f est dérivable sur D et calculer f 0 (x).
MATHS-en-VIDEO.FR –Chapitre Dérivation-dérivée d’un quotient
FR
H
AT
3x
et D = R
1. f (x) = 2
x +2
5−x
2. f (x) =
et D = R \ {2}
2x − 4
x2 + x + 2
3. f (x) =
et D = R \ {3}
3−x
.M
W
W
W
R
F
.
EO
ID
-V
en
S
H
AT
.M
W
W
W
Second degré
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MATHS-en-VIDEO.FR –Chapitre Dérivation-dérivée d’un quotient
Table des matières
Dérivation - exercice corrigé
2
Premières S et ES
Enoncé et correction
Dans chaque cas, la fonction f est définie sur D.
1. f (x) =
3x
et D = R
+2
R
F
.
x2
EO
ID
On pose u(x) = 3x et v(x) = x + 2 définies et dérivables sur R.
V
avec v(x) 6= 0 sur R
n
e
u
donc f = est dérivable sur R
S
v
H
On a u (x) = 3 et v (x) = 2x + 0 = 2x
T
A
u (x)v(x) − u(x)v (x)
f (x) =
.M
(v(x))
W
(3)(x + 2) − (3x)(2x)
W
=
(x + 2) W
* Solution:
2
0
0
0
0
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0
2
2
2
=
3x2 + 6 − 6x2
(x2 + 2)2
=
−3x2 + 6
(x2 + 2)2
2
R
F
.
f est dérivable sur R et f 0 (x) =
en
S
−3x2 + 6
(x2 + 2)2
Penser à contrôler avec la calculatrice
Remarque
EO
ID
-V
H
AT
.M
W
On ne développe pas le dénumérateur en vue d’étudier le signe de f 0 (x).
W
W
On a alors (x2 + 2)2 > 0 sur R donc f 0 (x) est du même signe que son numérateur −3x2 + 6.
Second degré
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Justifier que f est dérivable sur D et calculer f 0 (x).
Dérivation - exercice corrigé
2. f (x) =
Premières S et ES
5−x
et D = R \ {2}
2x − 4
* Solution:
R
F
.
avec v(x) 6= 0 sur D
u
donc f = est dérivable sur D
v
0
On a u (x) = 0 − 1 = −1 et v 0 (x) = 2 − 0 = 2
f 0 (x) =
u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x)
(v(x))2
n
e
-
S
H
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(−1)(2x − 4) − (5 − x)(2)
=
(2x − 4)2
=
AT
.M
−2x + 4 − 10 + 2x
2x − 4)2
W
W
−6
=
(2x − 4)2
W
f est dérivable sur D et f 0 (x) =
3. f (x) =
EO
ID
-V
R
F
.
−6
(2x − 4)2
EO
ID
-V
x2 + x + 2
et D = R \ {3}
3−x
en
S
* Solution:
H
On pose u(x) = x2 + x + 2 et v(x) = 3 − x définies et dérivables sur D.
AT
avec v(x) 6= 0 sur D
u
donc f = est dérivable sur D
v
0
On a u (x) = 2x + 1 + 0 = 2x + 1 et v 0 (x) = 0 − 1 = −1
.M
W
W
u (x)v(x) − u(x)v
(x)
W
f (x) =
(v(x))
0
0
0
2
=
Second degré
(2x + 1)(3 − x) − (x2 + x + 2)(−1)
(3 − x)2
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On pose u(x) = 5 − x et v(x) = 2x − 4 définies et dérivables sur D.
Dérivation - exercice corrigé
6x − 2x2 + 3 − x + x2 + x + 2
(3 − x)2
=
−x2 + 6x + 5
(3 − x)2
R
F
.
−x2 + 6x + 5
f est dérivable sur D et f 0 (x) =
(3 − x)2
EO
ID
-V
n
e
-
S
H
AT
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.M
W
W
W
R
F
.
EO
ID
-V
en
S
H
AT
.M
W
W
W
Second degré
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=
Premières S et ES