THÉORÈME DE THALÈS EXERCICES

THÉORÈME DE THALÈS
EXERCICES
Exercice 1. Soient ABC un triangle, D un point de [AC] et E un point de [BC]. On donne AB = 12
cm, BE = 4 cm, EC = 5 cm, 
BAC = 65° et 
EDC = 65°. Calculer DE.
Solution. Montrons tout d'abord que les
droites (AB) et (DE) sont parallèles. Les droites
(AB) et (DE) coupées par la sécante (AC)
déterminent des angles correspondants

BAC et 
EDC ; ces angles sont de plus
égaux, donc les droites (AB) et (DE) sont
parallèles.
Dans le triangle ABC :
● D appartient à [AC] ;
● E appartient à [BC] ;
● (AB) est parallèle à (DE).
Donc, d'après le théorème de Thalès, on a :
CE
CD
DE
=
=
;
CB
CA
AB
5
CD
DE
d'où
=
=
;
9
CA
12
5×12
20
ainsi
DE =
=
cm.
9
3
Exercice 2. Soient ABC un triangle avec AB = 7 cm, AC = 6 cm, BC = 4 cm, et D un point du
segment [AB] situé à 5 cm du point A. La droite parallèle à (BC), passant par D, coupe [AC] en E.
Calculer le périmètre du triangle ADE.
Solution. Dans le triangle ABC :
● D appartient à [AB] ;
● E appartient à [AC] ;
● (BC) est parallèle à (DE).
Donc, d'après le théorème de Thalès, on a :
AD
AE
DE
=
=
;
AB
AC
BC
5
AE
DE
d'où
=
=
.
7
6
4
5×4
20
D'une part on a DE =
=
cm.
7
7
5×6
30
Et d'autre part AE =
=
cm.
7
7
Finalement le périmètre du triangle ADE est :
20
30
35
20
30
85
AD + DE + AE = 5 +
+
=
+
+
=
cm.
7
7
7
7
7
7
Exercice 3. On souhaite mesurer la profondeur
d'un puits vide, de 2 m de diamètre et dont les
parois sont verticales. Pour ce faire, on plante
verticalement un bâton de façon que : le sommet
A, situé 1,5 m du sol, le point B au bord et le
point C au fond du puits soient alignés (voir
figure ci-contre). De plus, la distance entre le
pied du bâton D et le bord du puits B est égale à
0,5 m. Calculer la profondeur de ce puits.
Solution. Dans le triangle ACE :
● B appartient à [AC] ;
● D appartient à [AE] ;
● (BD) est parallèle à (CE), car par hypothèse ces deux droites sont perpendiculaires à la même
droite "verticale" (AE).
Donc, d'après le théorème de Thalès, on a :
AD
AB
BD
=
=
;
AE
AC
CE
1,5
AB
0,5
d'où
=
=
.
AE
AC
20,5
1,5×2,5
Ainsi AE =
= 7,5 m.
0,5
Finalement la profondeur du puits est DE = AE − AD = 7,5 − 1,5 = 6 m.
Exercice 4. Dans le triangle ABC isocèle de sommet principal A, l'angle au sommet est égal à 80°.
Les points D et E sont situés respectivement sur les segments [AB] et [AC] et à égale distance de A.
Démontrer que si AD =  AB alors DE =  BC.
Solution. Démontrons que les droites (DE)
et (BC) sont parallèles. Dans le triangle ADE
isocèle en A, les angles à la base 
ADE et

AED sont égaux ; de plus les angles du
triangle sont supplémentaires, donc :

ADE = (180° − 80°) ÷ 2 = 50°.
On montre de même dans le triangle isocèle
ABC que 
ABC =50°. Les droites (DE) et
(BC), coupées par la sécante (AB), déterminent
des angles correspondants et égaux, donc (DE)
est parallèle à (BC).
Dans le triangle ABC :
● D appartient à [AB] ;
● E appartient à [AC] ;
● (DE) est parallèle à (BC).
Donc, d'après le théorème de Thalès, on a :
AD
AE
DE
=
=
.
AB
AC
BC
AD
1
AD
DE
Sachant que AD =  AB, on en déduit que
=
. D'autre part on a
=
et donc
AB
3
AB
BC
DE
1
=
d'où l'égalité à prouver DE =  BC.
BC
3
Exercice 5. Nicolas Chuquet, mathématicien français du XVe siècle, propose la méthode suivante
pour calculer une hauteur : « Ayes ung baston de telle longueur que vouldras et le plante droit en terre
assez prés de la chose a mesurer, et soit le lieu ou il sera planté .b. ; puis esloigne toy assez d'icellui baston, et
mets ton oeil au plus prés de terre, et en cloyant l'aultre esloigne toy ou aproche du baston en telle maniere que
le ray visual en passant par la syme du baston qui est .c. voyse a la summité de lachose a mesurer qui est .d. ;
et le pyé d'icelle soit .e. Puis advise combien il y a de .a. jusques a .b. , et de .b. jusques a .c. , […] l'on
pourroit multiplier .a.e. par .b.c. , et puis partir † par .a.b. et l'on trouveroit .e.d. »
Faire une figure et prouver la formule de Chuquet : .e.d.= (.a.e. × .b.c.) ÷ .a.b.
Solution. Dans le triangle .a.d.e. :
● .b. appartient à [.a.e.] ;
● .c. appartient à [.a.d.] ;
● (.b.c.) est parallèle à (.e.d.), en effet ces deux
droites sont perpendiculaires au sol (.a.e.).
Donc, d'après le théorème de Thalès, on a :
. a.b.
. a.c.
. b.c.
=
=
.
. a.e.
. a.d.
. e.d.
Donc .a.b. × .e.d. = .a.e. × .b.c.
Et ainsi .e.d.= (.a.e. × .b.c.) ÷ .a.b.
Exercice 6. Dans le triangle ABC, on
sait que 
BAC = 30°, 
AED = 95°,

EDC = 125°, E appartient à [AB] et
(DE) est parallèle à (BC). Peut-on
dans ces conditions appliquer le
théorème de Thalès ? Justifier.
Solution. Pour appliquer le théorème de Thalès dans le triangle ABC, il faut trois conditions :
● E appartient à [AB] ;
● D appartient à [AC] ;
● (DE) est parallèle à (BC).
La première condition et la troisième sont vraies par hypothèse. Reste à vérifier la seconde condition.
Dans le triangle AED, les angles sont supplémentaires, donc :

ADE = 180° − 95° − 30° = 55°.

Ainsi on a
ADC = 
ADE + 
EDC = 55° + 125° = 180°.
Autrement dit le point D appartient à [AC]. Nous pouvons donc appliquer le théorème de Thalès
dans la configuration formée par ces cinq points.
† Partir est un terme d'ancien français qui signifie diviser.
Exercice 7. Dans le triangle ABC, on
sait que 
ADE = 28°,
BAC = 85°, 

DEC = 116°, D appartient à [AB] et
(DE) est parallèle à (BC). Peut-on
dans ces conditions appliquer le
théorème de Thalès ? Justifier.
Solution. Pour appliquer le théorème de Thalès dans le triangle ABC, il faut trois conditions :
● E appartient à [AC] ;
● D appartient à [AB] ;
● (DE) est parallèle à (BC).
La seconde condition et la troisième sont vraies par hypothèse. Reste à vérifier la première condition.
Dans le triangle AED, les angles sont supplémentaires, donc :

AED = 180° − 85° − 28° = 67°.

Ainsi on a
AEC = 
AED + 
DEC = 67° + 116° = 183°.
Autrement dit le point E n'appartient pas à [AC]. Nous ne pouvons donc pas appliquer le théorème
de Thalès dans la configuration formée par ces cinq points.
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