Cours de Terminale S /Fonction exponentielle

Cours de Terminale S /Fonction exponentielle
E. Dostal
aout 2013
Table des matières
4 Fonction exponentielle
4.1 fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Fonction dérivable sur R telle que : f ′ = f avec f (0) = 1 . . . .
4.2 Problème différentiel : f ′ = k f avec k ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 fonctions exponentielles et relation fondamentale f (x + y) = f (x)f (y)
4.4 Une nouvelle notation ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Etude de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 limites aux bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Fonctions eu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
2
4
4
4
5
5
5
6
7
7
Chapitre 4
Fonction exponentielle
4.1
fonction exponentielle
4.1.1
introduction
De nombreux phénomènes physiques, biologiques, économiques ou autres sont modélisés par une
fonction qui est proportionnelle à sa dérivée . (Par exemple, le phénomène de désintégration de noyaux
radioactifs)
Nous allons ici nous intéresser à l’une des fonctions de ce type.
Plus particulièrement, que peut-on dire d’une fonction qui serait égale à sa dérivée ?
Histoire :
Au cours du XVIIe siècle les mathématiciens s’intéressent au problème des tangentes (comment tracer les tangentes à une courbe) et le problème inverse des tangentes (comment, connaissant une propriété sur les tangentes, reconstituer la courbe correspondante). La
résolution de ces deux problèmes va être grandement facilitée par la mise en place du calcul
différentiel chez Isaac Newton et Gottfried Leibniz principalement dans la seconde moitié du
siècle.
En 1638, Florimond de Beaune, qui travaille sur un problème de corde vibrante, demande à René
Descartes de déterminer la courbe dont la tangente vérifie une certaine propriété. En 1639, Descartes ramène le problème à la recherche d’une courbe dont la sous-tangente serait constante. La
sous-tangente est la distance qui sépare le projeté du point M sur l’axe des abscisses et l’intersection de la tangente en M avec ce même axe des abscisses.
Traduit en langage actuel, cela consiste à chercher la courbe d’équation y= f(x) sachant que
f′ = k f.
4.1.2
Fonction dérivable sur R telle que : f ′ = f avec f (0) = 1
On cherche, si il en existe, les fonctions dérivables sur R telles que :
∀x ∈ R, f ′ (x) = f (x)
f (0) = 1
Lemme 1 Si f est une fonction dérivable sur R telle que : f ′ = f avec f (0) = 1 alors pour
tout réel x :
f (−x)f (x) = 1 et f (x) 6= 0
démonstration :
2
E. Dostal - 2013
CHAPITRE 4. FONCTION EXPONENTIELLE
On pose pour tout réel x, ϕ(x) = f (x)f (−x)
f étant dérivable sur R, ϕ l’est aussi et pour tout réel x :
ϕ′ (x) = f ′ (x)f (−x) + f (x)(−f ′ (−x)) = f (x)f (−x) − f (x)f (−x) = 0 donc ϕ est constante sur R et
ϕ(0) = 1 donc ∀x ∈ R, ϕ(x) = 1 soit f (x)f (−x) = 1
La propriété est établie d’où pour tout réel x, f (x) 6= 0
Théorème 2
Le problème différentiel :
∀x ∈ R, f ′ (x) = f (x)
f (0) = 1
admet une unique solution sur R
démonstration :
On admettra l’existence (peut se prouver avec les suites mais c’est assez technique et nécessite le théorème
des suites adjacentes (hors programme))
Montrons l’unicité :
Supposons f et g solutions de ce problème différentiel.
Soit h la fonction définie par : pour tout réel x, h(x) = f (−x)g(x)
h est dérivable sur R et pour tout réel x h′ (x) = −f ′ (−x)g(x)+f (−x)g ′ (x) = −f (−x)g(x)+f (−x)g(x) =
0
donc h est constante sur R et h(0) = 1 donc
pour tout x réel , f (−x)g(x) = 1 ⇔ g(x) = f (x)
Définition 1
On appelle exponentielle l’unique fonction solution du problème différentiel :
∀x ∈ R, f ′ (x) = f (x)
f (0) = 1
on la note exp
Ainsi pour tout réel x exp′ (x) = exp(x) et exp(0) = 1
Proposition 3
Pour tout réel x :
• exp(x)exp(−x) = 1
• exp(x) 6= 0
• exp(x) > 0
• exp est strictement croissante sur R
démonstration :
Les deux premiers points découlent directement du lemme 1.
La fonction exp est dérivable donc continue sur R.
exp(0) = 1 ≥ 0 , supposons un x0 réel tel que exp(x0 ) ≤ 0, d’après le théorème des valeurs intermédiaires,
il existe c compris entre x0 et 0 tel que exp(c) = 0 , ce qui contredit les hypothèses.
donc pour tout réel x, exp(x) > 0
On a pour tout réel x, exp′ (x) = exp(x) et exp(x) ≥ 0 donc
exp est strictement croissante sur R.
3
E. Dostal - 2013
4.2
CHAPITRE 4. FONCTION EXPONENTIELLE
Problème différentiel : f ′ = k f avec k ∈ R
Théorème 4
Le problème différentiel :
∀x ∈ R, f ′ (x) = k f (x) (avec k ∈ R)
f (0) = y0 (avec y0 ∈ R)
admet une unique solution f sur R qui est définie par :
f (x) = y0 exp(kx)
démonstration de l’existence(vérifier que la fonction f proposée vérifie les conditions) et de l’unicité
(même méthode que dans la démonstration du théorème 2).
4.3
fonctions exponentielles et relation fondamentale f (x+y) = f (x)f (y)
Théorème 5 Soit f une fonction dérivable sur R telle que f (0) = 1. Les assertions suivantes
sont équivalentes :
1. il existe un réel a, tel que pour tout x, f (x) = exp(ax)
2. il existe un réel a tel que f ′ = af
3. Pour tous réel u et v : f (u + v) = f (u)f (v)
• L’équivalence (1) ⇔ (2) découle du théorème précédent en prenant y0 = 1
• Montrons que (2) ⇒ (3) , pour cela considérons pour u un réel quelconque, la fonction gu définie
sur R par gu (x) = f (u + x) − f (u)f (x)
1. Montrer alors que gu′ = a gu
2. Montrer que gu (0) = 0
3. En déduire que g = 0 sur R
4. Conclure
• Montrer que (3) ⇒ (2) , pour cela, utiliser la définition du nombre dérivé
Résumons l’importance de ce théorème :
• Si f est une fonction exponentielle (de la forme f (x) = exp(ax)) alors f transforme les sommes en
produits.
• Réciproquement toute fonction transformant les sommes en produits est une fonction exponentielle
du type f (x) = exp(ax) avec a ∈ R
Conséquence :
Proposition 6 La fonction exponentielle transforme les sommes en produits :
Pour tous réels u et v, exp(u + v) = exp(u) exp(v)
4.4
Une nouvelle notation ex
Théorème 7
Pour tout réel x et tout entier naturel n, on a :
exp(nx) = (exp(x))n
4
E. Dostal - 2013
CHAPITRE 4. FONCTION EXPONENTIELLE
(démonstration par récurrence)
Définition 2 Notation
On note e le nombre exp(1)
On a alors pour tout entier n : en = (exp(1))n = exp(n)
Comme l’exponentielle transforme les sommes en produits. On aura pour tous entiers relatifs m et n :
e(m+n) = em en
Définition 3 Notation
Par extension, on note pour tout x réel,
ex = exp(x)
Cette notation est légitime, elle ne fait que prolonger à tous les réels, une propriété constatée sur les
entiers relatifs.
Avec cette nouvelle notation, nous pouvons résumer les propriétés de l’exponentielle que nous connaissons :
Proposition 8 Pour tous x et y dans R et tout n dans Z
(ex )′ = ex
e0 = 1
e1 = e
ex e−x = 1
ex > 0
ex ey = ex+y
ex
ex−y = ex e−y = y
e
enx = (ex )n
4.5
Etude de la fonction exponentielle
4.5.1
variations
Nous avons déja montré que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
4.5.2
limites aux bornes
Proposition 9
lim ex = 0
x→−∞
lim ex = +∞
x→+∞
démonstration de la limite en +∞ :
Soit la fonction g définie sur [0; +∞[ par g(x) = ex − x
1. Montrer que g est croissante sur [0; +∞[.
2. En déduire que pour x ∈ [0; +∞[, ex ≥ x.
3. Conclure
5
E. Dostal - 2013
4.5.3
CHAPITRE 4. FONCTION EXPONENTIELLE
représentation graphique
Pour tracer, la représentation graphique de la fonction exponentielle, il est interessant de tracer les
tangentes aux points d’abscisses 0 et 1.
T ′ : y = 2.72x
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1
−1
T :y =x+1
6
2
3
4
5
6
7
E. Dostal - 2013
4.6
CHAPITRE 4. FONCTION EXPONENTIELLE
Croissances comparées
Les limites en +∞ des fonctions x → x et x → ex sont toutes les deux égales à +∞.
Donc lorsque x tends vers +∞, la limite du rapport
ex
est une forme indéterminé.
x
La proposition suivante permet de lever cette indétermination.
Proposition 10
ex
= +∞
x→+∞ x
ex
lim n = +∞
x→+∞ x
lim
pour tout entier naturel n
– démonstration de la première limite :
1
1. Soit la fonction g définie sur [0; +∞[ par g(x) = ex − x2 .
2
Etudier les variations de g. (Pour cela étudier d’abord les variations de g′ ).
2. En déduire que g est positive sur [0; +∞[.
3. Conclure
– démonstration de la deuxième limite :
Etablir que pour tout réel x et tout entier n naturel non nul
x
ex
1 en n
=( × x )
xn
n
n
Proposition 11
lim xex = 0
x→−∞
lim xn ex = 0
x→−∞
pour tout entier naturel n
7