calcul financier

TD : Initiation au calcul financier.
Pour en savoir plus : voir le manuel d’Alain Planche, Mathématiques pour économistes – Analyse, DUNOD
1 – Quelques précisions de vocabulaire.
Définition : L'intérêt est un revenu ; c'est la rémunération du service qu'un prêteur rend à un emprunteur en lui prêtant
une somme d'argent, appelée capital, pour une certaine durée. Cette rémunération versée par le débiteur (celui qui a une
dette envers son créancier) représente un pourcentage du capital prêté appelé taux d'intérêt.
Jean-Yves Capul, Olivier Garnier, Dictionnaire d'économie et de sciences sociales, Hatier, 1996.
Autrement dit, on distinguera :
- le capital qui est la somme prêtée ou placée ;
- l'intérêt qui est la somme reçue comme rémunération du prêt ;
- le taux d'intérêt qui est la valeur relative (en %) de cette somme (l’intérêt) par rapport au capital.
Exemple, si M. Dupont place 150 € sur son livret d’épargne (rémunéré à 2,5 %) pendant un an, on a :
Capital
Taux d’intérêt
Intérêts
=
=
=
On remarque, par ailleurs, qu’il n’existe pas un, mais plusieurs taux d’intérêt (voir le cours Monnaie et financement de
l’économie). L’intérêt reçu par le prêteur est un intérêt créditeur tandis que celui versé par l’emprunteur est débiteur.
2 – Méthodes de calcul des intérêts.
L’exemple du placement de M. Dupont évoqué ci-dessus est un cas simple. Souvent, les placements ne durent
pas une mais plusieurs années. Deux cas sont alors possibles :
- les intérêts ne sont capitalisés qu’au terme du placement : on parlera alors d’intérêts simples ;
- les intérêts sont capitalisés à la fin de chaque unité de temps : on parlera alors d’intérêts composés.
Généralement, c’est le deuxième mode de calcul qui est retenu pour les placements et crédits, et l’intérêt est calculé
annuellement.
2.1 - La méthode des intérêts simples.
La première méthode consiste à calculer, à la fin de chaque période, les intérêts sur le capital initial. Par
exemple, si la somme de 15 000 € est placée sur un livret pendant 4 ans au taux de 5 %, on a :
- Intérêts produits chaque année : 15 000 x 0,05 = 750 €
- Intérêts totaux : 750 x 4 = 3 000 €
- Le capital final sera donc : 15 000 + 3 000 = 18 000 €
Si C représente le capital prêté ou placé,
On a, selon la méthode des intérêts simples :
Co, le capital initial
Cn = Co ( 1 + nt )
Cn, le capital d’arrivée
(c’est-à-dire le capital initial augmenté des intérêts)
Pour notre exemple :
t le taux d'intérêt
18 000 = 15 000 [ 1 + (4x0,05)]
n la durée du prêt
Exercice : M. Dupont place 150 € sur son livret rémunéré à 2,5 %, mais cette fois, pour une durée de 3 ans. Calculez
sont capital d’arrivée (Cn) selon la méthode des intérêts simples.
2.2 - La méthode des intérêts composés.
Il s'agit ici d'ajouter à la fin de chaque période (généralement, l’année) l'intérêt simple de la période au capital (on
dit que les intérêts sont capitalisés annuellement, c’est-à-dire, intégrés au capital). A la période suivante, l'intérêt simple
est alors calculé sur le capital augmenté des intérêts des périodes antérieures.
Prenons l'exemple d'un capital de 15 000 € placé pendant 4 ans au taux de 5 %.
La valeur du placement à la fin de la première année est alors de 15 000 + 750 soit 15 750 €.
La deuxième année, le capital aura une valeur de : (15 750 x 0,05) + 15 750 = 16 537,50 €
La troisième année, le capital aura une valeur de : (16 537,50 x 0,05) + 16 537,50 = 17 364,38 €
La quatrième année, le capital aura une valeur de : (17 364,38 x 0,05) + 17 364,38 = 18 232,60 €
L'intérêt total est donc de 18 232,60 - 15 000 = 3 232,60 €.
On a, selon la méthode des intérêts composés :
Cn = Co ( 1 + t )n
etc.
15 000 X 1,05 X 1,05 X 1,05 X 1,05 X 1,05
}
Si C représente le capital prêté ou placé,
Co, le capital initial
Cn, le capital d’arrivée
(c’est-à-dire le capital initial augmenté des intérêts)
t le taux d'intérêt
n la durée du prêt
Valeur du capital
à la fin de la
deuxième année
}
Comme vous pouvez le constater, la méthode de calcul
retenue est fastidieuse. Mais on remarque qu’une
simplification est possible. Chaque année, le capital
augmente de 5%, ce qui correspond à un coefficient
multiplicateur de 1,05.
On a donc : (schéma ci-contre)
Valeur du capital
à la fin de la
première année
Pour notre exemple :
4
18 000 = 15 000 ( 1 + 0,05 )
Exercice : M. Dupont place toujours 150 € sur son livret rémunéré à 2,5 %, pour une durée de 3 ans. Calculez sont
capital d’arrivée (Cn) selon la méthode des intérêts composés. Comparez le résultat obtenu avec celui du précédent
exercice. Que remarque-t-on ? Pourquoi ?
3 – Exercices d’application.
1) M. Robert hésite entre deux placements. Calculez pour lui le capital acquis dans les deux cas suivants :
Il place un capital de 12 000 € bloqué pendant 7 ans au taux de 6 % selon la méthode des intérêts simples ;
Il place 12 000 € pendant 6 ans au taux de 5,5 % selon la méthode des intérêts composés.
Vous présenterez vos calculs et résultats dans un tableau.
2) Le capital peut être placé pendant quelques mois et non une ou plusieurs années entières. Dans ce cas, il suffit de
multiplier l'intérêt annuel par le nombre de mois durant lesquels le capital est resté placé. Par exemple, si une somme de
5 000 € est restée placée 10 mois à un taux de 5 %, l'intérêt que rapportera ce placement sera :
(5 000 x 0,05) x 10/12 = 208,33 €
Calculez en deux temps ce que rapportera un placement de 1 400 € sur un livret d’épargne rémunéré à 2,5 % pendant
une durée de 4 ans et 8 mois.
3) Pour un crédit, la méthode est comparable au placement. Par commodité, les sociétés financières construisent un
tableau retraçant le capital à rembourser, le capital déjà remboursé, le montant des annuités, et les intérêts.
Prenons un exemple simple en précisant que tous les ans, l’emprunteur paie des intérêts sur le capital qu’il reste à payer
en début d’année.
Exercice : tableau de remboursement d’un crédit pour l’achat d’une automobile d’une valeur de 18 000 € sur 5 ans au
taux d’intérêt de 9 % à l’aide du modèle ci-dessous :
Année de
remboursement
Capital restant
à payer en
début d’année
Capital
remboursé dans
l’année
Remboursement
cumulé du capital
1
2
3
4
5
Total :
Selon vous, si la durée du crédit augmente,
- comment évolue le montant des annuités ?
- comment évolue le coût du crédit ?
Intérêts annuels
Annuités