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DYNAMIQUE DU SOLIDE
1. INTRODUCTION
La dynamique est la partie de la mécanique qui étudie les relations entre les déplacements des solides et
leurs causes, c’est à dire les actions mécaniques extérieures qui agissent sur eux.
2. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE
Dans un repère galiléen, un système matériel (S) soumis à des Actions Mécaniques extérieures quelconques
modélisables par :
r
r
 R (S / S)≠ 0 


{τ S /S } =  Mr (S / S ) ≠ 0r 
 A
 A
r
r
r
 R ( ) = ∑ m γM = M γ

a un mouvement tel que:  r
r
r
 M A ( ) = ∑ ( AM ∧ m γM )
S /S
i*
(S )
S /S
i
*
i
où:
mi représente la masse du volume
élémentaire lié au point Mi .
(G)
i*
γ(G) est l’accélération du Centre
i
de Gravité.
(S)
Remarques:
La première équation vectorielle s’appelle : Equation de la résultante dynamique.
La deuxième équation vectorielle s’appelle : Equation des moments dynamiques.
3. SOLIDES EN MOUVEMENT DE TRANSLATION RECTILIGNE :
3.1. Cas du Mouvement Rectiligne Uniforme :
Dans ce cas, γMi =
0 ∀ i donc, γG = 0, on en déduit que :
r
r
R ( S / S ) = 0 


r
r
τ
=
{ S /S }  M ( S / S ) = 0 
 G
 G
On retrouve l’expression du P.F.S. qui est donc valable aussi lorsque le système isolé a un
mouvement rectiligne uniforme.
3.2. Cas du Mouvement rectiligne Uniformément Varié :
Dans ce cas, γMi = Cte ∀ i donc,
γG = Cte, on montre que :
r
r
 R ( S / S ) = m* γ ( G ) 


{τ S /S } =  Mr ( S / S) = 0r 
 G
 G
Le plus souvent, seule l’équation de la résultante dynamique est utilisée.
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4. SOLIDES EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE DE SYMETRIE
Mouvement de rotation / à un axe fixe ⇒ en tout point I de l’axe de rotation : V(I) = 0 et γ(I) = 0
Mouvement de rotation / à un axe de symétrie ⇒ G ∈ à l’axe de rotation donc γ(G) = 0
r
r

R ( S / S) = 0


On montre que dans ce cas le principe s’écrit: {τ S /S } =  r
r
( S / S ) = IGZ *&&
z
M
θ
 G
 G
I Gz
où:
z
S
G
est le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe ( G, z ).
&&
θ est l’accélération angulaire du solide autour de l’axe ( G, z ).
z est l’axe de rotation.
4.1. Notion de moment d’inertie : (unité : kg.m2)
Dans le cas général, le calcul d’un moment d’inertie est complexe car il s’exprime par une intégrale
triple sur le volume.
L’expression générale pour le calcul d’un moment d’inertie par rapport à un axe (G, z ) est :
IGzr = ∫ r 2 * dm
où: r est la distance du point M considéré à l’axe (G, z )
V
dm est l’élément de masse élémentaire liée au point M.
4.2. Exemple de calcul:
z
Calcul du moment d’inertie d’un cylindre plein par rapport à son axe de
symétrie de révolution.
- Choix de l’élément de volume:
h
R
G
- Calcul de l’élément de volume:
- Calcul du moment d’inertie :
4.3. Formulaire sur les moments d’inertie des principaux volumes :
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m : masse du cylindre plein
Cylindre plein
de diamètre 2r
et de longueur 2l
V = π.r².2l :Volume
mr²
2
mr² ml²
IGy = IGz =
+
4
3
mr² 4ml²
IOy1 = IOz1 =
+
4
3
IGx = IOx =
m : masse du cylindre creux
Cylindre creux
de diamètre
extérieur 2R,
de diamètre
intérieur 2r et de
longueur 2l
V = π.(R² - r²).2l :Volume
m(R²+r²)
2
m(R²+r²) ml²
IGy = IGz =
+
4
3
m(R²+r²) 4ml²
IOy1 = IOz1 =
+
4
3
IGx = IOx =
m : masse de la tige pleine
Tige pleine
de diamètre
négligeable et de
longueur 2l
Sphère de
Rayon r
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IGx = IOx = 0
ml²
IGy = IGz =
3
4ml²
IOy1 = IOz1 =
3
m : masse de la sphère
4πr3
V=
: Volume
3
IGx = IGy = IGz =
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2mr²
5
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m : masse du cône plein
Cône plein
de diamètre 2r
et de hauteur h
πr²h
:Volume
3
3mr²
IGx = IOx =
10
3mr² 3mh²
IGy = IGz =
+
20
5
3mr² mh²
IOy1 = IOz1 =
+
20
10
V=
m : masse du parallélépipède
Parallélépipède
rectangle de
largeur b, de
hauteur h et de
longueur 2l
V = b.h.2l : Volume
m
IGx = IOx =
(b²+h²)
12
m
m
IGy =
(h²+4l²) IGz =
(b²+4l²)
12
12
mh² 4ml²
IOy1 =
+
12
3
mb² 4ml²
IOz1 =
+
12
3
m : masse du tore
Tore
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V = 2π²R r² : Volume
m
IGx = (4R²+3r²)
4
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5. SOLIDES EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE (G n’appartenant pas à cet axe):
Le P.F.D. a pour expression :
r
 R ( S / S ) = m * γr ( G ) 


{τ S /S } =  Mr ( S / S ) = IAZ *&&θrz
 A
 A
z
S (masse M)
A
r
avec: IAz = IGz + M*r2
G
Relation tirée du théorème de HUYGHENS
6. NOTION DE FORCE D’INERTIE: PRINCIPE D’ALEMBERT
r
r
r
R ( S / S ) = m * γ ( G ) = − Fi
où : Fi est appelée force d’inertie.
Cette force Fi est opposée à l’accélération.
Dans le cas d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe différent de l’axe de symétrie de révolution,
la force centrifuge (comme l’accélération) en G peut être décomposée suivant deux directions principales:
- la normale à la trajectoire du point G: Fin = - m* γn = -m* [AG]* ω * n
2
- la tangente à la trajectoire du point G:
Fit = - m* γt = -m* [AG]* dω/dt * t
Fin
t
G
n
ω
Fit
dω/dt
L’intérêt d’utiliser la notion de force d’inertie, est d’assimiler l’effet d’inertie à une force extérieure et de
pouvoir résoudre le problème comme un problème de statique. Dans ce cas, toutes les méthodes et
théorèmes abordés en statique sont utilisables.
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7. EXERCICES D’APPLICATION
7.1. Moments d’inertie
Déterminer les moments d’inertie suivants :
Caractéristiques :
Masse
ponctuelle
Moment d’inertie Ioz
z
Masse : M = 10 kg
Distance de l’axe : OM =0.2m
o
M
Cylindre
plein
Masse volumique : ρ =7800 kg/m3
Rayon : R = 0.5 m
Hauteur : h = 2 m
Cylindre
creux
Masse : M = 35 kg
Rayon extérieur : R = 0,5m
Rayon intérieur : r = 0.4 m
Cylindre
creux
Masse : M = 2 kg
Diamètre extérieur : D = 0.1 m
Epaisseur négligeable
z
o
z
o
z
o
z
Cylindre
creux
Masse : M = 2 kg
Diamètre extérieur : D = 0.1 m
Epaisseur négligeable
Excentration : e = 0,5 m
e
o
7.2. Solide sur plan incliné
Soit un solide (S) de masse M, en appui sur un plan incliné d’un
angle α par rapport à l’horizontale.
→
Y
Hypothèse :
- On néglige les frottements de l’air.
Déterminer son accélération sous forme littérale dans les deux cas
suivants:
- On néglige les frottements au niveau du contact.
G
→
X
→
P
- On prend en compte le frottement entre le solide et le plan
(coefficient f)
α
Application numérique: M= 200 kg, α = 25° , f = 0,3
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7.3. Démarrage à vide d’un moteur électrique
On étudie le couple de démarrage à vide d’un moteur électrique dont le rotor a une inertie autour de son axe de
→
rotation équivalente à celle d’un cylindre de rayon r = 60 mm et de masse M = 3 kg. L’axe de rotation est noté z
.
Le temps nécessaire pour que le moteur atteigne sa vitesse nominale de 150 rd/s est de 0,75 s.
En supposant le mouvement uniformément varié, déterminer son accélération puis le couple de démarrage à vide.
7.4. Vibreur
y
Le système vibrant étudié, est constitué d’un
arbre en liaison pivot par rapport au bâti. La
vibration est engendrée par l’excentricité d’une
masselotte cylindrique liée complètement à
l’arbre.
y
u
A
C
G
B
C
x
α
z
Données numériques:
Vitesse de rotation de l’arbre : Nm = 2000 tr/mn
Temps d’accélération pour atteindre la vitesse nominale: ta = 1,2 s
Masse de la masselotte : Mm = 1,2 kg
Diamètre de la masselotte: D = 140 mm
Inertie et masse de l’arbre négligeables devant la masselotte.
Longueurs:
AC = CB = 40 mm
CG = 10 mm
Déterminer le couple moteur nécessaire en phase d’accélération, en supposant le mouvement uniformément varié.
Déterminer les actions dans les liaisons lorsque le mouvement est uniforme.
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