Centre d`inertie, Opérateur d`inertie I CENTRE D`INERTIE
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Centre d`inertie, Opérateur d`inertie I CENTRE D`INERTIE
PSI Les Ulis Cours CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES Centre d’inertie, Opérateur d’inertie I CENTRE D’INERTIE Un point G est centre d’inertie du système matériel Σ s’il vérifie la relation : ∫ GPdm( P) = 0 P∈Σ avec dm( P) = µ (P )dv et µ (P ) la masse volumique au point P Position du centre d’inertie G : m(Σ )OG = ∫ OPdm(P) P∈Σ Avec O un point quelconque fixé Si Σ présente des éléments de symétrie matérielle (symétrie géométrique et de la distribution massique) alors le centre d’inertie appartient à ces éléments. II THEOREMES DE GULDIN Idée : ne pas passer par le calcul de l’intégrale afin de déterminer le centre d’inertie G dans certains cas particuliers Théorème 1 : La surface latérale engendrée par la rotation d’une ligne (plane) L autour d’un axe ∆ coplanaire à L et ne la coupant pas est égale au produit de la circonférence décrite par le centre d’inertie G de la ligne L et la longueur L de la ligne L. Remarque : La masse linéique de la ligne L doit être constante et est notée µl S latérale = 2π . yG .L y Démonstration : M L OG = ∫ OPµ L dl L : longueur (L) P∈L µ L . L . OG . y = µ L . L . yG = µ L ×G ∫ y p dl avec µL constante yG P∈L Or Slatérale = 2π . ∫ y P dl = 2π .yG .L P∈L O ∆ x Théorème 2 : Le volume engendré par la rotation de la surface plane S autour d’un axe ∆ coplanaire à S et ne la coupant pas est égale au produit de la circonférence décrite par le centre d’inertie G de la surface S et l’aire S de la surface S. Remarque : La masse surfacique de la surface S doit y être constante et est notée µ S S : aire (S) Vengendré = 2π . yG .S ×G Démonstration : M S OG = ∫ OPµ S ds yG O x ∆ P∈S Sciences Industrielles pour l’Ingénieur - Page 9 - PSI Les Ulis Cours µ S . S . OG . y = µ S . S . yG = µ S ∫y P CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES ds avec µS constante P∈S Or Vengendre = 2π . ∫ y P ds = 2π .yG .S P∈S III MOMENT D’INERTIE PAR RAPPORT A UN AXE Notons : ur ur • ∆(Q; δ ) , δ étant unitaire • H la projection de orthogonale de P sur ∆ On appelle moment d'inertie rapport à un axe la quantité IS/∆ = ∫ PH 2 ∆ P z y d'un solide S par H δ Q x dm( P ) P∈S Le moment d'inertie caractérise la manière dont la masse est répartie dans le solide S autour de l'axe ∆ et est lié à la facilité ou non de mettre en rotation S autour de ∆ : plus I S / ∆ est grand, plus S est difficilement mis en rotation autour de ∆ . L'unité d'un moment d'inertie est le kg.m2. IV OPERATEUR D’INERTIE D’UN SOLIDE Le moment d'inertie I S / ∆ = 2 ∫ PH dm( P) peut facilement être calculé en utilisant le fait P∈S 2 que PH = PH Donc I S / ∆ = 2 ( )( ) (( ) ) ∫ δ ⋅ ((QP ∧ δ )∧ QP )dm( P) = δ ⋅ ∫ ((QP ∧ δ )∧ QP )dm( P) = QP ∧ δ = QP ∧ δ ⋅ QP ∧ δ = δ ⋅ QP ∧ δ ∧ QP 2 ∫ PH dm( P) = P∈S P∈S P∈S r L’application linéaire qui a tout vecteur u fait correspondre uuur r uuur QP ∫ ∧ (u ∧ QP) dm( p ) est appelé opérateur d’inertie du solide (S) au point Q. S ( On a la relation I S / ∆ = δ . I (Q, S ) .δ le vecteur ) Cette application est linéaire (produit vectoriel + intégrales) et est représentable par une matrice symétrique dans une base donnée. a Calculons les termes de la matrice d’inertie : on pose u = b dans R(O, x, y, z ) . c Sciences Industrielles pour l’Ingénieur - Page 10 - PSI Les Ulis Cours ( x ) a CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES x x zb − yc y 2 a + z 2 a − xy.b − xz.c QP ∧ u ∧ QP = y ∧ b ∧ y = y ∧ xc − za = x 2b + z 2b − yz.c − xy.a z c z z ya − xb x 2 c + y 2 c − xz.a − yz.b En utilisant la notation matricielle, on remarque que ce terme peut s’écrire comme le produit de deux matrices : y2 + z2 − xy − xz a QP ∧ u ∧ QP = − xy x2 + z2 − yz .b . En intégrant sur S on obtient finalement en − xz − yz x 2 + y 2 c simplifiant par u : 2 2 ∫ ( y + z ).dm S I (Q, S ) = − ∫ xy.dm S − xz.dm ∫S • • − ∫ xy.dm ∫ S 2 ( x + z ).dm 2 S − ∫ yz.dm S S A − ∫ yz.dm = − F S − E 2 2 ( x + y ).dm − ∫ xz.dm ∫ S −F − E B − D − D C Q ,(x , y , z ) A, B, C sont appelés respectivement moments d’inertie par rapport aux axes (Q, x) , (Q, y ) , (Q, z ) . D, E, F sont appelés respectivement produits d’inertie par rapport aux plans (Q, y, z ) , (Q, x, z ) , (Q, x, y ) . La matrice est symétrique à valeurs réelles, il est donc possible de trouver une base orthonormée pour laquelle la matrice d’inertie est diagonale. Cette base est appelée base principale d’inertie du solide S. A r 1 [Ι(Q, S )] u = 0 0 0 B1 0 0 r 0 u C1 (Q , xr1 , uyr , rz1 ) 1 r ur r x1 , y 1 , z 1 sont les axes principaux d’inertie. A1, B1, C1 sont les moments principaux d’inertie. Le repère dont l’origine est le centre d’inertie G du solide S et dont les axes sont parallèles à ceux de la base principale d’inertie du solide S, est appelé repère central d’inertie. Sciences Industrielles pour l’Ingénieur - Page 11 - PSI Les Ulis Cours CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES V CAS DES SYMETRIES MATERIELLES But : Réduire les calculs (et donc les erreurs) en mettant en évidence des propriétés simplifiant la matrice d’inertie et en choisissant des bases d’expression particulières Symétrie matérielle=symétrie géométrique + symétrie au niveau de la répartition des masses. V.1 Solide possédant un plan de symétrie r ur r S possède un plan de symétrie ΠS passant par Q. Choisissons un repère RS (Q, x, y, z ) tel r ur que le plan (Q, x, y ) soit confondu avec ΠS. La symétrie associe à tout point P(x,y,z) le point P’(x,y,-z). La matrice d’inertie en Q dans la base considérée s’écrit alors : A r [Ι(Q, S )] u = − F 0 −F 0 r 0 u C ( Q , rx , uyr , rz ) B 0 Q Si z est la normale d’un plan de symétrie matérielle de S alors les produits d’inertie en z à savoir D = ∫ yz.dm( P) et E = ∫ xz.dm( P) sont nuls. S S V.2 Solide possédant deux plans de symétries Si S possède deux plans de symétrie perpendiculaires (ce qui est le cas s’il y en a deux), les produits d’inertie en Q sont nuls dans une base orthonormée dont les axes appartiennent aux plans de symétrie. La matrice est diagonale. A 0 0 r r u [Ι(Q, S )] u = 0 B 0 0 0 C r ur r (Q , x , y , z ) Q V.3 Solide de révolution r S présente une symétrie matérielle de révolution autour d’un axe (Q, z ) .La matrice r d’inertie en Q dans un base contenant l’axe z est. A 0 0 r r u [Ι(Q, S )] u = 0 A 0 0 0 C r ur r (Q , x , y , z ) Q avec 2 A = C + 2 ∫ z 2 dm( p ) S Sciences Industrielles pour l’Ingénieur - Page 12 - PSI Les Ulis VI Cours CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES THEOREME DE HUYGENS But : déterminer la matrice d’inertie de S en Q à partir de I(G,S) avec G, le centre d’inertie. r uuur r uuur [Ι(Q, S )] u = ∫ QP ∧ (u ∧ QP) dm( p ) S Q uuur uuur uuur QP = QG + GP r uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur r uuur Ι(Q, S ) u = ∫ (QG + GP) ∧ (u ∧ QP) dm( p ) = ∫ QG ∧ (u ∧ QP) dm( p ) + ∫ GP ∧ (u ∧ QP { ) dm( p ) uuur uuur S S S QG + GP r uuur r uuur uuur r uuur uuur r uuur [Ι(Q, S )] u = QG ∧ u ∧ ∫ QP dm( p ) + ∫ GP dm( p ) ∧ (u ∧ QG) + ∫ GP ∧ (u ∧ GP) dm( p ) S S S 14 144424443 4244 3 14 4244 3 r uuur r I (G , S ) u 0 mS QG r r uuur r uuur Ι(Q, S ) u = I (G, S ) u + mS QG ∧ (u ∧ QG ) Conclusion : La matrice d’inertie en Q de S s’exprime à partir de la matrice d’inertie de G en S et d’une matrice d’inertie I(Q,G m(s)). r r r [Ι(Q, S )] u = [ I (G, S )] u + I (Q, G m( S ) ) u x uuur G avec QG = yG zG yG2 + zG2 − xG yG on a I (Q, G m( S ) ) = m( S ) − xG yG xG2 + zG2 − xG zG − yG zG r r uuur r uuur [Ι(Q, S )] u = [ I (G, S )] u + mS QG ∧ (u ∧ QG) − xG zG − yG zG xG2 + yG2 Remarque : C’est par rapport à des axes passant par le centre d’inertie d’un solide que les moments d’inertie sont minimaux. Sciences Industrielles pour l’Ingénieur - Page 13 - PSI Les Ulis Cours App2 CI8 – DYNAMIQUE DES SYSTEMES VII APPLICATIONS VII.1 Cylindre plein et creux On considère un cylindre plein de rayon R et de hauteur h, de masse volumique µ uniforme. r z • Déterminer la position du centre d’inertie. • Déterminer l’opérateur d’inertie en O • Déterminer l’opérateur d’inertie en G ur y r x • Déterminer la position du centre de gravité ainsi que l’opérateur d’inertie en G d’un cylindre creux de rayon extérieur R et de rayon intérieur r O Quelques opérateurs à connaître (par cœur) Sciences Industrielles pour l’Ingénieur - Page 2 -