TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT

TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT
I)
Conjecture :
Tracer les médiatrices des segments [AC] et [AB] des trois triangles rectangles suivant.
Tracer le cercle circonscrit de chacun des triangles rectangles suivant.
A
C
A
C
A
C
B
B
Questions
Que constatez-vous dans chacun des cas.
B
Il semble que le centre du cercle se situe au milieu de [BC]
II)
Démonstration :
ABC est un triangle rectangle en A et O est le milieu de l’hypoténuse [BC].
Construire le point A’, symétrique de A par rapport à O.
Données :
On sait que ABC est rectangle en A.
O est le milieu de [BC].
A’ est le symétrique de A par rapport à O.
Propriétés 1:
A’ et A sont symétriques par rapport à O, donc O est le milieu de [AA’].
Conclusion1 :
Comme les segments [BC] et [AA’] ont même milieu,
Alors ABA’C est un parallélogramme.
Propriété2 :
Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.
Conclusion2 :
[AA’] = [BC]
[OA] = [OA’] = [OB] =[OC]
On peut donc conclure que dans un triangle ABC rectangle en A, le milieu de son hypoténuse est le
centre de son cercle circonscrit.
TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT
III)
Propriétés :
1) Propriété 1 :
Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse.
Propriété 1
Le triangle ABC est rectangle en A
Le cercle circonscrit au triangle ABC a
pour diamètre l’hypoténuse [BC].
2) Conséquences :
Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a :
Pour centre, le milieu de l’hypoténuse,
Pour rayon, la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
3) Propriéte 2 :
Si un triangle est rectangle, alors la médiane relative à son hypoténuse a pour longueur la moitié
de celle de l’hypoténuse.
Médiane relative à
l’hypoténuse
Propriété 2
Le triangle ABC est rectangle en A
La médiane [AO] relative à l’hypoténuse
[BC] a pour longueur la moitié de celle de
4) Exercices
Exercices 8 ; 9 ; 14 page 243
l’hypoténuse
1


 OA = BC 
2


TRIANGLE INSCRIT ET TRIANGLE RECTANGLE
Propriétés réciproques
I) Conjecture
A l’aide du logiciel GeoGebra, tracer un cercle de centre O et de diamètre [BC].
Placer un point A sur ce cercle et tracer les segments [AB], et [AC]. Déplacer le point A sur le
cercle. Quelle semble être la nature du triangle ABC dans chaque cas ?
Le triangle ABC semble rectangle en A.
II) Démonstration :
C
Soit un cercle C de centre O et de diamètre [BC]
A est un point variable placé sur le cercle distint
de B et de C.
A’ est le symétrique de A par rapport à O.
Données :
On sait que le cercle de centre O a comme diamètre [BC].
A est un point du cercle
A’ est le symétrique de A par rapport à O.
Propriétés 1:
Si un segment est un diamètre d’un cercle, alors le centre du cercle est le milieu de ce segment.
Conclusion1 :
Comme O milieu de [BC], alors OB = OC
Propriété2 :
Comme les points A et B appartiennent au même cercle, alors ils sont équidistants du centre de ce
cercle.
Conclusion2 :
OB = OA
Propriété3 :
A et A’ sont symétriques par rapport au point O, donc O est le milieu de [AA’].
Conclusion3 :
Comme O milieu de[AA’], alors OA = OA’
Donc OA = OB = OC = OA’ et donc AA’ = BC
Conclusion :
Comme O est le milieu de [AA’] et de [BC], alors le quadrilatère ABA’C est un parallèlogramme
Or, on sait que AA’ = BC, donc ABA’C est un rectangle.
Donc le triangle ABC est rectangle en A.
TRIANGLE INSCRIT ET TRIANGLE RECTANGLE
Propriétés réciproques
III) Propriétés :
Propriété 3 :
Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle
est rectangle et son hypoténuse est ce côté.
Propriété 3
Le triangle ABC est inscrit dans le
cercle de diamètre [BC]
Le triangle ABC est rectangle en A
Propriéte 4 :
Si la médiane relative à un côté d’un triangle a pour longueur la moitié de celle de ce côté, alors
ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce côté.
Propriété 4
Dans le triangle ABC, la médiane
[OA] a pour longueur la moitié de
1


celle du côté [BC]  OA = BC  .
2


IV)
Exercices
Exercices 11 ; 12; 15, 16 page 243
Le triangle ABC est rectangle en A
I) Enoncer la propriété 1 sur le triangle rectangle et son cercle circonscrit.
(4pts)
II) Enoncer la propriété 2, relative à la médiane.
(4pts)
III) Tracer un triangle EFG rectangle en F, tel que EF=4cm ; FH=3cm ; EH=5cm. (12pts)
Tracer le cercle circonscrit de centre O à ce triangle. En déduire la longueur de la médiane FO.
I) Enoncer la propriété 1 sur le triangle rectangle et son cercle circonscrit.
(4pts)
II) Enoncer la propriété 2, relative à la médiane.
(4pts)
III) Tracer un triangle EFG rectangle en F, tel que EF=4cm ; FH=3cm ; EH=5cm. (12pts)
Tracer le cercle circonscrit de centre O à ce triangle. En déduire la longueur de la médiane FO.
I)
Enoncer la propriété 1 sur le triangle rectangle et son cercle circonscrit.
(4pts)
II) Enoncer la propriété 2, relative à la médiane.
(4pts)
III) Tracer un triangle EFG rectangle en F, tel que EF=4cm ; FH=3cm ; EH=5cm. (12pts)
Tracer le cercle circonscrit de centre O à ce triangle. En déduire la longueur de la médiane FO.
I) Enoncer la propriété 1 sur le triangle rectangle et son cercle circonscrit.
(4pts)
II) Enoncer la propriété 2, relative à la médiane.
(4pts)
III) Tracer un triangle EFG rectangle en F, tel que EF=4cm ; FH=3cm ; EH=5cm. (12pts)
Tracer le cercle circonscrit de centre O à ce triangle. En déduire la longueur de la médiane FO.
I) Enoncer la propriété 1 sur le triangle rectangle et son cercle circonscrit.
(4pts)
II) Enoncer la propriété 2, relative à la médiane.
(4pts)
III) Tracer un triangle EFG rectangle en F, tel que EF=4cm ; FH=3cm ; EH=5cm. (12pts)
Tracer le cercle circonscrit de centre O à ce triangle. En déduire la longueur de la médiane FO.
I) Enoncer la propriété 1 sur le triangle rectangle et son cercle circonscrit.
(4pts)
II) Enoncer la propriété 2, relative à la médiane.
(4pts)
III) Tracer un triangle EFG rectangle en F, tel que EF=4cm ; FH=3cm ; EH=5cm. (12pts)
Tracer le cercle circonscrit de centre O à ce triangle. En déduire la longueur de la médiane FO.
I) Enoncer la propriété 1 sur le triangle rectangle et son cercle circonscrit.
(4pts)
II) Enoncer la propriété 2, relative à la médiane.
(4pts)
III) Tracer un triangle EFG rectangle en F, tel que EF=4cm ; FH=3cm ; EH=5cm. (12pts)
Tracer le cercle circonscrit de centre O à ce triangle. En déduire la longueur de la médiane FO.
I)
Enoncer la propriété 1 sur le triangle rectangle et son cercle circonscrit.
(4pts)
II) Enoncer la propriété 2, relative à la médiane.
(4pts)
III) Tracer un triangle EFG rectangle en F, tel que EF=4cm ; FH=3cm ; EH=5cm. (12pts)
Tracer le cercle circonscrit de centre O à ce triangle. En déduire la longueur de la médiane FO.
I) Enoncer la propriété 1 sur le triangle rectangle et son cercle circonscrit.
(4pts)
II) Enoncer la propriété 2, relative à la médiane.
(4pts)
III) Tracer un triangle EFG rectangle en F, tel que EF=4cm ; FH=3cm ; EH=5cm. (12pts)
Tracer le cercle circonscrit de centre O à ce triangle. En déduire la longueur de la médiane FO.
A
A
C
A
C
C
B
B
B
A
C
A
C
A
C
B
B
B
A
C
A
C
A
C
B
B
B
A
C
A
C
A
C
B
B
B
A
C
A
C
A
B
B
B
C
Propriété 1
Le triangle ABC est rectangle en A
Le cercle circonscrit au triangle ABC a pour diamètre
l’hypoténuse [BC].