Fracture mechanics course - mms2-ensmp
Transcription
Fracture mechanics course - mms2-ensmp
Mécanique de la rupture H. Proudhon, G. Cailletaud MINES ParisTech, Centre des matériaux, CNRS UMR 7633 23 mai 2011 H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 1 / 30 Plan 1 Pourquoi étudier la rupture ? 2 Brève perspective historique 3 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy 4 État de contrainte en pointe de fissure 5 Propagation de fissures de fatigue H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 2 / 30 Pourquoi étudier la rupture ? Plan 1 Pourquoi étudier la rupture ? 2 Brève perspective historique 3 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy 4 État de contrainte en pointe de fissure 5 Propagation de fissures de fatigue H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 3 / 30 Pourquoi étudier la rupture ? Le titanic 15 Avril 1912 température de service au moment de la collision avec l’iceberg : -2°C H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 4 / 30 Pourquoi étudier la rupture ? Le titanic 15 Avril 1912 température de service au moment de la collision avec l’iceberg : -2°C Le croyant réellement insubmersible, beaucoup de passagers ne sont montés que tardivement à bord des canaux de sauvetage. Le titanic à coulé en 2h et 40 minutes, le naufrage à fait plus de 1500 morts. H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 4 / 30 Pourquoi étudier la rupture ? Les liberty ships Plus de 2700 navires sont construits entre fin 1941 et la fin de la guerre au rythme de 70 unités par jour. H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 5 / 30 Pourquoi étudier la rupture ? Les liberty ships Plus de 2700 navires sont construits entre fin 1941 et la fin de la guerre au rythme de 70 unités par jour. Au cours de l’année 1941, 30% des navires construits ont connus une rupture catastrophique ; 362 navires perdus + graves rumeurs au sein de la Navy américaine. H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics http://www.liberty-ship.com 23 mai 2011 5 / 30 Pourquoi étudier la rupture ? Les liberty ships Plus de 2700 navires sont construits entre fin 1941 et la fin de la guerre au rythme de 70 unités par jour. Au cours de l’année 1941, 30% des navires construits ont connus une rupture catastrophique ; 362 navires perdus + graves rumeurs au sein de la Navy américaine. http://www.liberty-ship.com Causes reconnues aujourd’hui : Structure soudée (propagation de fissure facilitée) Mauvaise qualité des soudures (criques et contraintes internes) Faible ténacité de l’acier et transition ductile/fragile proche de l’ambiante H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 5 / 30 Pourquoi étudier la rupture ? Fatigue des structures aéronautiques 28 April 1988 Flight 243 : Explosive decompression and structure failure at 24 000 feet from Hilo to Honolulu, Hawaı̈ 90 passengers and 5 crewmembers One flight attendant swept overload, 65 injured (8 seriously) Emergency descent and landing at Kahulai Airport (Island of Maui) H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 6 / 30 Pourquoi étudier la rupture ? Fatigue des structures aéronautiques 28 April 1988 Flight 243 : Explosive decompression and structure failure at 24 000 feet from Hilo to Honolulu, Hawaı̈ 90 passengers and 5 crewmembers One flight attendant swept overload, 65 injured (8 seriously) Emergency descent and landing at Kahulai Airport (Island of Maui) Significant disbonding and fatigue damage failure of lap joint and separation of the fuselage upper lobe Subsequent Safety issues and Engineering design (multiple site fatigue cracking) H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 6 / 30 Pourquoi étudier la rupture ? Étude statistique des accidents aériens Étude statistique sur l’évolution du trafic aérien et du nombre d’accidents (source MANHIRP, 2001) H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 7 / 30 Brève perspective historique Plan 1 Pourquoi étudier la rupture ? 2 Brève perspective historique 3 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy 4 État de contrainte en pointe de fissure 5 Propagation de fissures de fatigue H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 8 / 30 Brève perspective historique Quelques dates 1920 : Griffith rupture d’un milieu élastique-fragile, bilan énergétique 1956 : Irwin, singularité du champ de contraintes en pointe de fissure 1968 : intégrale de Rice-Cherepanov années 70 : développement des méthodes numériques, éléments finis années 70 : fissuration en fatigue, chargements complexes années 80 : aspects 3D, fissures courtes (K. Miller) année 90 : approche locale de la fissuration H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 9 / 30 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy Plan 1 Pourquoi étudier la rupture ? 2 Brève perspective historique 3 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy 4 État de contrainte en pointe de fissure 5 Propagation de fissures de fatigue H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 10 / 30 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy Le taux de restitution de l’énergie Hypothèse de base Toute structure contient un défaut (ex: une fissure) H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 11 / 30 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy Le taux de restitution de l’énergie Hypothèse de base Toute structure contient un défaut (ex: une fissure) Taux de restitution de l’énergie “La puissance mécanique disponible pour ouvrir une fissure de surface a est égale à la variation de l’énergie potentielle totale U, appelée taux de restitution d’énergie” (unité : joule/m2 ) : G =− H. Proudhon (MINES ParisTech) ∂U ∂a Fracture mechanics 23 mai 2011 11 / 30 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy Le taux de restitution de l’énergie Hypothèse de base Toute structure contient un défaut (ex: une fissure) Taux de restitution de l’énergie “La puissance mécanique disponible pour ouvrir une fissure de surface a est égale à la variation de l’énergie potentielle totale U, appelée taux de restitution d’énergie” (unité : joule/m2 ) : G =− ∂U ∂a Critère de rupture (fragile) de Griffith propagation si : G − 2γs ≥ 0 avec γs énergie spécifique de rupture par unité de surface H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 11 / 30 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy Évaluation du taux de restitution de l’énergie Forces de volume négligées, quasi-statique, solide élastique de volume V , force F d imposée sur S F , déplacement u d imposé sur S u : Z Z 1 U= σ : ε dV − F d .u dS 2 V∼ ∼ SF H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 12 / 30 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy Évaluation du taux de restitution de l’énergie Forces de volume négligées, quasi-statique, solide élastique de volume V , force F d imposée sur S F , déplacement u d imposé sur S u : Z Z 1 U= σ : ε dV − F d .u dS 2 V∼ ∼ SF Or d’après le théorème de la divergence : Z Z Z Z d .u dS = F dS + .u σ : ε dV = F ∼ ∼ V H. Proudhon (MINES ParisTech) S SF Fracture mechanics F .u d dS Su 23 mai 2011 12 / 30 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy Évaluation du taux de restitution de l’énergie Forces de volume négligées, quasi-statique, solide élastique de volume V , force F d imposée sur S F , déplacement u d imposé sur S u : Z Z 1 U= σ : ε dV − F d .u dS 2 V∼ ∼ SF Or d’après le théorème de la divergence : Z Z Z Z d .u dS = F dS + .u σ : ε dV = F ∼ ∼ V d’où SF S Z 1 U= 2 1 F .u dS − 2 Su Z 1 ∂u F . dS − ∂a 2 Z d F .u d dS Su F d .u dS SF et 1 G= 2 H. Proudhon (MINES ParisTech) Z SF d Fracture mechanics Su ∂F d .u dS ∂a 23 mai 2011 12 / 30 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy Cas d’une charge ponctuelle Avec R la raideur de la structure, C sa souplesse, F la force et u le déplacement : F = R u ou u = C F selon que la fissure avance à déplacement imposé ou à force imposée : La zone grisée indique l’énergie mise en jeu lors de l’avancée de fissure. H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 13 / 30 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy Cas d’une charge ponctuelle, expression de G à déplacement imposé, comme F = R u : Z 1 ∂F d G =− .u dS 2 S u ∂a 1 F 2 dR 1 dR d d G =− u .u = − 2 da 2 R 2 da H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 14 / 30 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy Cas d’une charge ponctuelle, expression de G à déplacement imposé, comme F = R u : Z 1 ∂F d G =− .u dS 2 S u ∂a 1 F 2 dR 1 dR d d G =− u .u = − 2 da 2 R 2 da à force imposée, comme u = C F d : Z 1 ∂u G= Fd. dS 2 SF ∂a 1 dC 1 d dC d G= F . F = F2 2 da 2 da H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 14 / 30 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy Quelques valeurs critiques de G matériau verre, céramiques résines fragiles composites verre-résine alliages d’aluminium aciers T > Ttrans métaux purs H. Proudhon (MINES ParisTech) valeur (J/m2 ) 10 100-500 7000 20000 100000 105 à 106 Fracture mechanics 23 mai 2011 15 / 30 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy Essai Charpy Georges Charpy (Professeur X/ENSMP) Une éprouvette entaillée est placée sur deux appuis. Le pendule est lâché d’une hauteur déterminée de façon à frapper l’éprouvette avec une vitesse entre 1 et 4 m/s. La hauteur de remontée du pendule après le choc permet de déterminer l’énergie nécessaire pour rompre l’éprouvette. Norme ASTM E23 : Standard test methods for notched bar impact testing of metallic materials H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 16 / 30 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy Essais Charpy sur l’acier du Titanic Acier du titanic Acier A36 actuel H. Proudhon (MINES ParisTech) Energie absorbée en fonction de la temp. Fracture mechanics 23 mai 2011 17 / 30 État de contrainte en pointe de fissure Plan 1 Pourquoi étudier la rupture ? 2 Brève perspective historique 3 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy 4 État de contrainte en pointe de fissure 5 Propagation de fissures de fatigue H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 18 / 30 État de contrainte en pointe de fissure Expression analytique de l’état de contrainte Matériau élastique isotrope contenant une fissure. Soient r la distance à la pointe de la fissure et θ l’angle par rapport au plan de la fissure σapp y x 2a pointe de la fissure σy τxy σx r θ La solution est obtenue par la méthode des fonctions d’Airy pour des hypothèses de contraintes ou déformations planes dans le cas d’une fissure en mode d’ouverture simple (ou mode I). KI fij (θ) σij = √ 2πr H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics i, j = x, y 23 mai 2011 19 / 30 État de contrainte en pointe de fissure Remarques √ L’unité de K est le N.m−3/2 , on utilise couramment le MPa. m L’énergie de déformation élastique reste finie en pointe de fissure : Z Z 1 1 1 √ √ rdrdθ σ : ∼ε dV ∝ We = ∼ 2 V r r V H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 20 / 30 État de contrainte en pointe de fissure Remarques √ L’unité de K est le N.m−3/2 , on utilise couramment le MPa. m L’énergie de déformation élastique reste finie en pointe de fissure : Z Z 1 1 1 √ √ rdrdθ σ : ∼ε dV ∝ We = ∼ 2 V r r V Dans le cas le plus courant où le chargement peut être décrit comme une contrainte appliquée à l’infini σ∞ , KI s’exprime comme : √ KI = Y σ∞ πa où a est la longueur de la fissure et Y un facteur (souvent tabulé) dépendant de la géométrie de la pièce étudiée. Le déplacement à proximité de la pointe de la fissure est donné par r KI r ui = gi (θ) i = x, y 2µ 2π H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 20 / 30 État de contrainte en pointe de fissure Les trois modes de rupture Mode d’ouverture Mode de cisaillement Mode de cisaillement antiplan H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 21 / 30 État de contrainte en pointe de fissure Solution analytique en mode I σxx σyy θ 3θ 1 − sin sin 2 2 θ θ 3θ KI cos 1 + sin sin =√ 2 2 2 2πr KI θ =√ cos 2 2πr θ 3θ KI θ σxy = √ cos sin sin 2 2 2 2πr H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 22 / 30 État de contrainte en pointe de fissure Solution analytique en mode I σxx σyy θ 3θ 1 − sin sin 2 2 θ θ 3θ KI cos 1 + sin sin =√ 2 2 2 2πr KI θ =√ cos 2 2πr θ 3θ KI θ σxy = √ cos sin sin 2 2 2 2πr r θ KI r 2 θ ux = cos κ − 1 + 2 sin 2µ 2π 2 2 r KI r θ 2 θ uy = cos κ + 1 + 2 cos 2µ 2π 2 2 avec : κ = 3 − 4ν en déformations planes et 3−ν en contraintes planes. κ = 1−ν H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 22 / 30 État de contrainte en pointe de fissure Solution analytique en mode II KII θ σxx = − √ sin 2 2πr 2 + cos θ 3θ cos 2 2 KII θ θ 3θ σyy = √ sin cos cos 2 2 2 2πr KII θ 3θ θ 1 − sin sin σxy = √ cos 2 2 2 2πr r KII r θ 2 θ ux = sin κ + 1 + 2 cos 2µ 2π 2 2 r KII r θ θ uy = cos κ − 1 − 2 sin2 2µ 2π 2 2 H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 23 / 30 État de contrainte en pointe de fissure Solution analytique en mode III θ KIII sin σxz = − √ 2 2πr θ KII σyz = √ cos 2 2πr r r θ 2KIII uz = sin µ 2π 2 H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 24 / 30 État de contrainte en pointe de fissure Relation entre K et G On calcule l’énergie nécessaire pour ouvrir (ou fermer) une fissure de longueur a d’un incrément infinitésimal da. La densité d’effort sur le segment considéré passe de σyy (fissure fermée) à 0 (fissure ouverte) pendant que l’ouverture passe de 0 à uy . On trouve avec les expressions précedentes en mode I : G = KI2 /E en contraintes planes G = (1 − ν 2 )KI2 /E en déformations planes En mode I, lorsque G = Gc , le facteur K est alors égal à KIc la ténacité du matériau (fracture toughness en anglais). H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 25 / 30 Propagation de fissures de fatigue Plan 1 Pourquoi étudier la rupture ? 2 Brève perspective historique 3 Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy 4 État de contrainte en pointe de fissure 5 Propagation de fissures de fatigue H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 26 / 30 Propagation de fissures de fatigue La fatigue : un fléau pour les structure en service 90% des défaillances d’origine mécanique sont dues à de la fatigue Amorçage et propagation insidieuse d’une fissure sous l’effet d’un chargement mécanique cyclique cycles de fatigue H. Proudhon (MINES ParisTech) courbe de Wöhler Fracture mechanics 23 mai 2011 27 / 30 Propagation de fissures de fatigue La loi de Paris-Erdogan (1960) Les prédictions de durée de vie en fatigue ont pu réellement commencer lorsque Paul Paris s’apperçu que les relevés de vitesse de propagation de fissures (da/dN) étaient reliés à l’amplitude du facteur d’intensité des contraintes (∆K = Kmax − Kmin ). En traçant da/dN = f (∆K ) en échelle log-log, il obtint des droites pour de nombreux matériaux : da log = m log(∆K ) + log (C ) dN ou encore sous la forme la plus connue : da/dN = C ∆K m √ En utilisant K = Y σ πa et en séparant les variables a et N on peut alors calculer la durée de vie restante Nf pour la structure : Z Nf Z af da dN = m ∆σ m (πa)m/2 CY 0 ai H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 28 / 30 Propagation de fissures de fatigue Limites de la loi de Paris-Erdogan da dN Rupture finale : Kmax = Kc Mecanismes Discontinus Mecanismes Continus Forte influence : a) microstructure b) contrainte moyenne c) environnement Faible influence : a) microstructure b) contrainte moyenne c) environnement d) épaisseur mm/cycles 10−6 Mecanismes Statiques clivage, rupture intergranulaire 10−9 droite de Paris da dN = C × ∆K m Forte influence : a) microstructure b) contrainte moyenne a) épaisseur Faible influence : a) environnement √ log ∆K (MPa. mm) log ∆Ks H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics 23 mai 2011 29 / 30 Propagation de fissures de fatigue Valeurs limites ∆Ks et KIc Matériau acier haute résistance (ex : 35NCD16) acier moyenne résistance (ex : 15MND6). . . . . . (basse température) . . . (T > Ttrans ) alliages d’aluminium (ex : 7075) alliages de titane (ex : TA6V) composite verre-résine polyéthylène polystyrène résine époxyde verre H. Proudhon (MINES ParisTech) Fracture mechanics KIc √ (MPa. m) 60 ∆Ks √ (MPa. m) 1 à 4 40 200 30 80 7 6,5 0,4 0,1 0,01 3 8 1,5 à 4 2 à 8 23 mai 2011 30 / 30