1 Contraintes et déformations en polaire 1°) Considérons le

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Contraintes et déformations en polaire
−
1°) Considérons le problème plan en coordonnées polaires r, θ. Au point A le déplacement vaut →
u A.
A l’extrémité des deux segments perpendiculaires AB et AC les déplacements valent respectivement
→
−
−
u B et →
u C . Les longueurs des segments AB et BC sont respectivement :
AB = dr
AC = rdθ
Fig. 1 – A gauche déplacement radial et à droite déplacement circonférentiel
Pour un déplacement radial seul :
Les composantes des déplacements selon r et θ aux points A, B, C valent dans le repère initial r, θ du
point A :
Composantes selon r uAr = ur uBr = ur +
Composantes selon θ uAθ = 0 uBθ = 0
∂ur
∂r dr
uCr = (ur +
uCθ = (ur +
∂ur
∂θ dθ) cos dθ
∂ur
∂θ dθ) sin dθ
De la définition du gradient de déplacement il en résulte :
∂ur
dr
∂uθ
dr
∂ur
rdθ
∂uθ
rdθ
ε
rr
= ∂uθ
dr
u −u
Br Ar
= u AB
−u
εθθ BθAB Aθ
∂ur
rdθ
uCr −uAr
AC
uCθ −uAθ
AC
∂ur
∂r
=
0
∂ur
1
rdθ [(ur + ∂θ dθ) cos dθ − ur ]
∂ur
1
rdθ (ur + ∂θ dθ) sin dθ
∂ur
∂r
≈
0
1 ∂ur
r ∂θ
ur
r
dans la limite des petites déformations pour lesquelles on ne conserve que les termes du premier ordre
en dr et dθ avec cos dθ ≈ 1 et sin dθ ≈ dθ.
Pour un déplacement circonférentiel seul :
Les composantes des déplacements selon r et θ aux points A, B, C valent dans le repère initial r, θ du
point A :
Composantes selon r uAr = 0 uBr = 0
Composantes selon θ uAθ = uθ uBθ = uθ +
∂uθ
∂r dr
θ
uCr = −(uθ + ∂u
∂θ dθ) sin dθ
∂uθ
uCθ = (uθ + ∂θ dθ) cos dθ
De la définition du gradient de déplacement il en résulte :
∂ur
dr
∂uθ
dr
∂ur
rdθ
∂uθ
rdθ
u −u
B r Ar
= uBθAB
−uAθ
AB
uCr −uAr
AC
uCθ −uAθ
AC
0
= 1
∂u
θ
dr [(uθ + ∂r dr) − uθ ]
1
θ
(uθ + ∂u
− rdθ
∂θ dθ) sin dθ
∂uθ
1
rdθ [(uθ + ∂θ dθ) cos dθ − uθ ]
0
≈ ∂uθ
∂r
dans la limite des petites déformations pour lesquelles on ne conserve que les termes du premier ordre
en dr et dθ avec cos dθ ≈ 1 et sin dθ ≈ dθ.
Le tenseur des déformations étant la partie symétrique du gradient de déplacement, en additionnant
composante par composante les deux résultats ci-dessus on obtient finalement :
ε
ε(r, θ) = rr
εrθ
εrθ
εθθ
∂ur
= 1 1 ∂ur ∂r∂uθ
uθ
{
2 r ∂θ + ∂r − r }
∂uθ
uθ
1 1 ∂ur
2 { r ∂θ + ∂r − r }
ur
1 ∂uθ
r ∂θ + r
− urθ 1 ∂uθ
r dθ
2
Lors d’un déplacement radial seul, le terme εθθ = urr correspond à l’effet géométrique propre à tout
système à symétrie de révolution qui impose une variation de périmètre associée à toute variation de
rayon. Lors d’un accroissement ur du rayon r, le périmètre P = 2πr s’accroı̂t de dP = 2πur et induit
ur
une déformation circonférentielle εθθ = dP
P = r .
Lors d’un déplacement circonférentiel seul, si le point A subit un déplacement tangentiel AA0 ,
la droite OAB devient en l’absence de toute déformation la droite OA0 B 0 et le glissement vrai du
segment AB doit se mesurer non pas à partir de AB mais à partir de A0 B 0 déduit de AB par une
0
uA
rotation de corps rigide d’amplitude AA
OA = r . Le déplacement relatif du point B par rapport au
point A responsable du glissement du segment AB doit se mesurer à partir du point d’intersection B 0
du vecteur uB avec la droite (en pointillé) issue de l’origine et passant par l’extrémité A0 du vecteur
0
r+dr
uA . En effet, BB 00 se décompose en BB 0 = AA
rotation de corps rigide n’induisant pas
OA OB = uθ r
0
00
de déformation et du terme de glissement B B .
2°) Equation de l’équilibre.
Facette
Facette
Facette
Facette
Facette
Force normale
Force tangentielle
AD
−[σrr ]2rdθ
−[σrθ ]2rdθ
∂σθθ
rθ
DC
[σθθ + ∂θ dθ]dr
[σrθ + ∂σ
∂θ dθ]dr
∂σrθ
∂σrr
CB [σrr + ∂r dr]2(r + dr)dθ [σrθ + ∂r dr]2(r + dr)dθ
θθ
rθ
BA
−[σθθ − ∂σ
−[σrθ − ∂σ
∂θ dθ]dr
∂θ dθ]dr
Projetons sur les axes r et θ en statique et en l’absence de forces de volume :
Projection sur r [Fn (AD) + Fn (CB)] + [Ft (DC) + Ft (BA)] cos(dθ) + [−Fn (DC) + Fn (BA)] sin(dθ) = 0
Projection sur θ [Ft (AD) + Ft (CB)] + [Ft (DC) − Ft (BA)] sin(dθ) + [Fn (DC) + Fn (BA)] cos(dθ) = 0
Comme, en se limitant aux termes du premier ordre en dr et dθ avec cos(dθ) ≈ 1 et sin(dθ) ≈ dθ :
∂σrr
rr
Fn (CB) + Fn (AD) = [σrr + ∂σ
∂r dr]2(r + dr)dθ − [σrr ]2rdθ ≈ [σrr + r ∂r ]2drdθ
∂σrθ
∂σrθ
rθ
(Ft (DC) + Ft (BA)) cos(dθ) = {[σrθ + ∂σ
∂θ dθ]dr − [σrθ − ∂θ dθ]dr} cos(dθ) ≈ ∂θ 2drdθ
∂σθθ
∂σθθ
(−Fn (DC) + Fn (BA)) sin(dθ) = {−[σθθ + ∂θ dθ]dr − [σθθ − ∂θ dθ]dr} sin(dθ) ≈ −σθθ 2drdθ
Ft (CB) + Ft (AD) = [σrθ + ∂σ∂rrθ dr]2(r + dr)dθ − [σrθ ]2rdθ ≈ [σrθ + r ∂σ∂rrθ ]2drdθ
∂σrθ
rθ
(Ft (DC) − Ft (BA)) sin(dθ) = {[σrθ + ∂σ
∂θ dθ]dr + [σrθ − ∂θ dθ]dr} sin(dθ) ≈ σrθ 2drdθ
∂σθθ
∂σθθ
θθ
(Fn (DC) + Fn (BA)) cos(dθ) = {[σθθ + ∂σ
∂θ dθ]dr − [σθθ − ∂θ dθ]dr} cos(dθ) ≈ ∂θ 2drdθ
Il en résulte :
Projection sur r
Projection sur θ
∂σrr
∂r
∂σrθ
∂r
+
+
1 ∂σrθ
r ∂θ
1 ∂σθθ
r ∂θ
θθ
+ σrr −σ
=0
r
σrθ
+2 r =0
3°) Lorsque la géométrie et le chargement présentent une symétrie cylindrique l’invariance par
rotation implique que les grandeurs physiques ne peuvent pas dépendre de la variable θ. La seule
composante de déplacement est la composante radiale ur . Pour la même raison, il ne peut y avoir
3
de composante de déformation εrθ mais la symétrie n’interdit pas l’existence d’une composante εθθ
non nulle ne dépendant que de la variable r. Il en sera de même pour les composantes du tenseur
des contraintes. L’application de ces règles de symétrie conduit, dans le cas d’un matériau élastique
linéaire isotrope σij = λεkk δij + 2µεij aux simplifications suivantes :
ε
ε = rr
εrθ
εrθ
εθθ
∂ur
∂r
=
0
0 ur
r
σ
σ = rr
0
0
σθθ
λ( ∂ur + ur ) + 2µ ∂ur
∂r
r
∂r
=
0
∂ur
ur
ur λ( ∂r + r ) + 2µ r
0
L’équation de l’équilibre est automatiquement satisfaite en projection sur l’axe θ et sa projection sur
l’axe r se réduit à :
∂σrr
σrr − σθθ
+
=0
∂r
r
1 ∂ur
∂σrr
∂ 2 ur
ur
= (λ + 2µ) 2 + λ (
− )
∂r
∂r
r ∂r
r
σrr − σθθ
1 ∂ur
ur
= 2µ (
− )
r
r ∂r
r
conduisant à l’équation différentielle ordinaire :
u
d2 u 1 du
+
− 2 =0
dr2
r dr
r
dans laquelle u désigne pour des raisons de simplification d’écriture, la composante radiale ur seule
composante du champ de déplacement.
Du fait de la symétrie radiale de la géométrie et du chargement on s’attend à ce que le déplacement u
soit proportionnel à r, le coefficient de proportionnalité pouvant lui même être une fonction de r d’où
le changement de variable u = f r qui conduit à :
du
df
= f +r
dr
dr
d2 u
d2 f
df
=
r
+3
dr2
dr2
dr
f 00
3
=−
f0
r
Ln(
f0
) = −3Lnr
C
f0 =
C
r3
f=
D
+F
r2
u=
D
+F r
r
Il en résulte immédiatement :
F− D
r2
=
0
0
F+
D 2
r
2(λ + µ)F − 2µ D
r2
σ=
0
(
avec
0
2(λ + µ)F + 2µ rD2
B = 2(λ + µ)F
A = 2µD
B− A
r2
=
0
0
B+
A 2
r