Diffusion d`un liquide dans un tuyau poreux
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Diffusion d`un liquide dans un tuyau poreux
Projet de simulation MAP311 Lucas Gerin : [email protected] Diffusion d'un liquide dans un tuyau poreux Mots-clés : Graphes, Modélisation, Probabilités conditionnelles, ... Le but de ce mini-projet est d'étudier dans des questions théoriques (T) et expérimentales (E) la vitesse de diusion d'un liquide dans un tuyau poreux, que nous modéliserons par un graphe très simple. 1 Construction et simulation du modèle On considère le graphe inni N × {0, 1} en forme d'"échelle", c'est-à-dire que l'on met une arête entre les points (k, 1) ↔ (k + 1, 1) et (k, 0) ↔ (k + 1, 0) pour tout k ∈ N (les arêtes horizontales ), (k, 0) ↔ (k, 1) pour tout k ∈ N (les arêtes verticales ). On modélise de façon aléatoire la porosité du tuyau de la façon suivante. Soit p ∈ [0, 1], on se donne une famille de variables aléatoires i.i.d. (Hk,δ )k∈Z,δ∈{0,1} telles que : Hk,δ ( 2 = 1 avec probabilité p, avec probabilité 1 − p. La variable Hk,δ est interprétée comme le temps que met le liquide pour aller du point (k, δ) à (k + 1, δ). On suppose pour simplier que la porosité des arêtes verticales n'est pas aléatoire : le liquide met toujours un temps 1 pour aller de (k, δ) à (k, 1 − δ). On suppose que l'on injecte en continu du liquide aux points (0, 0) et (0, 1), on cherche à étudier le temps que met le liquide à atteindre le point (n, 0), pour n grand. (0,1) liquide (k,1) H(k,1) 1 (0,0) (k,0) H(k,0) Pour k ∈ Z, δ ∈ {0, 1}, on note Tk,δ ∈ N le temps que met le liquide à atteindre (k, δ). 1. (T) On a par dénition T0,0 = T0,1 = 0 , justier que pour k ≥ 1 Tk,δ = min { Tk−1,δ + Hk−1,δ , Tk,1−δ + 1 } . Solution: Lorsque le liquide arrive en (k, δ), soit il vient de (k −1, δ), soit de (k, 1−δ). 2. (E) En xant p, simuler et tracer plusieurs trajectoires de k 7→ Tk,0 . 2 Calcul de la vitesse asymptotique On a bien sûr pour tout n, par dénition du modèle, n ≤ Tn,0 ≤ 2n, on s'attend à ce que Tn,0 /n converge vers une constante, dans un sens à préciser. Dans un premier temps, on se limite à la convergence de l'espérance. On cherche à calculer et montrer l'existence de la limite E[Tn,0 ] µp = lim . n→+∞ n Pour cela on pose, pour k ≥ 0, ∆k = Tk,0 − Tk,1 ∈ {−1, 0, 1}. Remarquons que ∆k est indépendante de Hk,0 et Hk,1 . 3. (T) Justier que pour tout k on a P(∆k = 1) = P(∆k = −1). Solution: On a une symétrie parfaite du problème (condition initiale comprise) et du coup : loi {Tk,δ }k,δ = {Tk,1−δ }k,δ . En particulier loi Tk,0 − Tk,1 = Tk,1 − Tk,0 . 4. (T) Calculer P(∆k+1 = 1|∆k = 0) et P(∆k+1 = 0|∆k = 1), en déduire l'expression exacte de P(∆k = 1). Conclure que pour tout ε ∈ {−1, 0, 1} P(∆k = ε) k→+∞ → 1/3. Solution: Supposons que ∆k = 0. On xe Tk,1 = Tk,0 = t, les 4 cas sont dans le dessin suivant : t t 2 2 t+2 t t+2 t 1 2 t+1 t t+2 t 2 1 t+2 t t+1 t 1 1 t+1 t+1 On voit que P(∆k+1 = 1|∆k = 0) = p(1 − p) (deuxième cas ci-dessus). Si on suppose que ∆k = 1, les cas sont : t t+1 2 2 t+2 t t+3 t+1 1 2 t+1 t t+2 t+1 2 1 t+2 t t+2 t+1 1 1 t+1 t+2 et P(∆k+1 = 0|∆k = 1) = p(1 − p) (troisième cas). On a ainsi P(∆k+1 = 0) = P(∆k+1 = 1|∆k = 1)P(∆k = 1) + P(∆k+1 = 1|∆k = 0)P(∆k = 0) xk+1 = (1 − p(1 − p)) xk + p(1 − p)(1 − 2xk ), où l'on a noté xk = P(∆k = 1) et utilisé la symétrie vue au-dessus : 2P(∆k = 1) + P(∆k = 0) = 1. La suite (xk ) est donc une suite arithmético-géométrique, on la résout facilement : 1 1 P(∆k = 1) = P(∆k = −1) = xk = − (1 − 3p(1 − p))k . 3 3 5. (T) Vérier que, pour tout k , Tk+1,0 = Tk,0 + Hk,0 − 1∆k =1,Hk,0 =2,Hk,1 =1 . Solution: Dans les 8 cas dessinés à la question précédente, on peut vérier que l'on a toujours Tk+1,0 = Tk,0 + Hk,0 , sauf sans le deuxième cas en bas. On a alors Tk+1,0 = Tk,0 + Hk,0 − 1. 6. (T) En passant à l'espérance dans la formule précédente, démontrer que la limite µp existe et que 2p + p2 µp = 1 + . 3 Solution: n−1 1X 1 E[Tn,0 ] = E[Hk,0 ] − P ∆k = 1, Hk,0 = 2, Hk,1 = 1 n n = 1 n k=0 n−1 X 1 + p − P(∆k = 1)p(1 − p) k=0 n−1 = 1 + p − p(1 − p) 1X n→+∞ P(∆k = 1) → 1 + p − p(1 − p)/3 n k=0 en utilisant Césaro (rappelons que ∆k est indépendante de Hk,0 et Hk,1 ). 7. (E) On cherche à vérier expérimentalement la formule précédente. Pour chaque p = 1/10, 2/10, . . . , 9/10, simuler s fois la variable aléatoire Tn,0 /n (on prendra s de l'ordre de quelques dizaines et n de l'ordre de quelques centaines). Tracer la courbe obtenue en fonction de p et comparer avec la courbe théorique. 3 Étude expérimentale des uctuations Il est possible de démontrer, mais cela dépasse le cadre de ce cours, que la suite Tn,0 , bien que n'étant pas une somme de variables i.i.d., vérie une Loi des grands nombres et un Théorème central limite. Précisément, il existe σp > 0 tel que Tn,0 − nµp (loi) √ → N (0, σp2 ). n Nous allons vérier expérimentalement cette dernière armation. 8. (E) Fixer n (de l'ordre de la centaine) et simuler un grand nombre de fois la variable Tn,0 . √ Tracer l'histogramme des valeurs de (Tn,0 − nµp )/ n obtenues par cette simulation et, sur le même graphique, tracer la courbe correspondant à la gaussienne de même variance. Interpréter graphiquement le résultat. 9. (T)-(E) Comment faire pour obtenir une estimation de σp ? (Pour cette question il n'est pas demandé une preuve rigoureuse.) Pour p = 1/2, quelle estimation obtenez-vous ? Solution: Notons Zn = Tn,0 −nµp √ . n On a (pour n grand) Zn ≈ N (0, σp2 ). On s'attend donc à ce que (c'est réellement le cas) E[Zn2 ] → E[N (0, σp2 )2 ] = σp2 . On simule donc pour n grand et plein de fois des variables aléatoires Zn2 et on estime σp2 par la moyenne empirique. (Avec 30000 simulations de T300 , je trouve σ1/2 ≈ 0.4196 puis σ1/2 ≈ 0.4171.)