9 Janv. 2014

L3-Math
Analyse Numérique
Institut Galilée
Année 2013-2014
Examen du 9 janvier 2014
durée : 3h.
, une feuille (recto seul) manuscrite de notes personnelles est
autorisée. Tous les calculs doivent être justiés et rédigés avec soin.
Sans document ni appareil électronique
Vous devez choisir et rendre les exercices parmi l'une des trois possibilités suivantes:
choix A
choix B
choix C
:
:
:
Exercices 1, 2 et 3
Exercices 1, 3 et 4
Exercices 2 et 4
Exercice 1
2
Aα α
Soit Aα la matrice dénie par
0
(4 pts)
α
2
α
0
α
2
Q. 1
Pour quelles valeurs de α la méthode itérative de Jacobi converge-t-elle ?
Q. 2
Pour quelles valeurs de α la méthode itérative de Gauss-Seidel converge-t-elle ?
Exercice 2
(10 pts)
Soient n ¥ 3 un entier et a x0 x1 . . . xn1 xn b une discrétisation régulière de l'intervalle ra, bs.
On note h xk 1 xk . Une fonction s dénie sur ra; bs à valeurs réelles s'appelle spline cubique si elle est
deux fois continûment diérentiable et si, sur chaque intervalle rxk1 ; xk s, elle est polynomiale de degré inférieur
ou égal à 3.
Soit f P C 2 pra; bs, Rq et s une spline cubique vériant
spxi q f pxi q fi ,
Q. 1
Montrer que si
a
Indications :
(2.1)
s2 pbqpf 1 pbq s1 pbqq s2 paqpf 1 paq s1 paqq
»b
alors
@i P v0, nw.
ps2 pxqq2 dx ¤
»b
a
(2.2)
pf 2 pxqq2 dx.
Poser r f s et montrer par intégrations par parties que
(2.3)
³b s2pxqr2pxqdx 0.
a
Soient k P v1, nw et Sk un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 vériant
$ Sk pxk1q
'
'
& Sk pxk q
2
'
' S2k pxk1q
%
Sk pxk q
Q. 2
fk1
fk
m k 1
mk .
(2.4a)
(2.4b)
(2.4c)
(2.4d)
1. Montrer l'existence et l'unicité du polynôme Sk .
2. Montrer que polynôme Sk peut s'écrire sous la forme
Sk pxq ak pxk xq
βk px xk1 q
(2.5)
en explicitant les coecients pak , bk , αk , βk q en fonction de pfk1 , fk , mk1 , mk q et h.
3
bk px xk1 q3
αk pxk xq
On note g la fonction dont la restriction à chaque intervalle rxk1 ; xk s, k P v1, nw, est Sk .
1
Q. 3
1. Vérier que g est bien dénie sur ra; bs.
2. Montrer que g est une spline cubique si et seulement si, @k P v1, n 1w,
mk
Q. 4
4mk
1
mk1
h62 pfk 1 2fk
fk1 q.
(2.6)
1. Montrer qu'une condition nécessaire et susante pour que g soit une spline cubique et vérie g 2 paq 0, g 2 pbq 0, est que le vecteur M P Rn 1 pm0 , m1 , . . . , mn qt soit solution d'un système linéaire de la
forme
M b
AM
(2.7)
que l'on précisera.
2. Montrer que la matrice A est inversible.
Exercice 3
Soient f
P C 5 pR, Rq, x P R et H un réel strictement positif et h Ps0, H s. On note Dh l'opérateur déni par
Dh f pxq f px h{2q f px h{2q.
(3.1)
Q. 1
Montrer que l'opérateur Dh est linéaire.
Q. 2
Montrer qu'il existe ξ
P rx, x h{2s, ξ P rx h{2, xs tels que
p3q
p5q
Dh f pxq
f 1 pxq f pxq h2 f pξ q
h
Q. 3
(6 pts)
f p5q pξ q
5!25
24
(3.2)
h4 .
1. En déduire l'expression de f 1 pxq en fonction de Dh{2 f pxq et Dh f pxq avec un reste qui s'écrit sous
la forme Ch h4 où Ch dépend de la dérivée cinquième de f.
2. Montrer que l'on a
f 1pxq 8f px
h{4q 8f px h{4q f px
3h
h{2q
f px h{2q
¤ Ch4
(3.3)
où C dépend uniquement de la dérivée cinquième de f, de x et de H.
Exercice 4
Q. 1
(10 pts)
1. Déterminer α, β et γ pour que la formule de quadrature
»1
1
f pxqdx αf p1q
βf p0q
γf p1q
(4.1)
soit au moins d'ordre 2.
2. Montrer que cette formule est au plus d'ordre 3.
On suppose que f
Q. 2
P C 4 pr1, 1s, Rq, et on note µ f 1 p0q.
1. Etablir qu'il existe un unique polynôme P de degré 3 tel que P p1q f p1q, P p0q f p0q, P p1q f p1q et P 1 p0q µ.
2. Montrer que quelque soit x P r1; 1s il existe ξx Ps 1; 1r tel que
f pxq P pxq
Indication :
px
1qx2 px 1q p4q
f pξx q.
4!
On peut étudier les zéros de la fonction ϕ : t ÞÝÑ pf ptq P ptqqpf pxq P pxqq
2
(4.2)
pt
px
1qt2 pt 1q
.
1qx2 px 1q
3. En déduire qu'il existe une constante M dépendant de f p4q telle que
|
Q. 3
»1
1
f pxqdx pαf p1q
Soient c P R, h ¡ 0 et g P C 4 prc, c
βf p0q
hs, Rq.
1. Déduire de (4.1) une formule de quadrature pour le calcul de
γf p1qq| ¤
»c
c
2. Montrer que l'erreur de quadrature est majorée par
Q. 4
composite
2. Calculer son erreur de quadrature.
0
(4.3)
g ptqdt.
où l'on determinera la constante M.
Soit pxk qkPv0,nw une discrétisation régulière1 de l'intervalle ra, bs. Soit v P C 4 pra, bs, Rq.
1. A partir de (4.1), expliciter la formule
la discrétisation pxk qkPv0,nw .
1x
M 5
2880 h
h
M
.
90
a, xn b et xk 1 xk
associée permettant d'approcher
³b vpsqds et utilisant
a
h avec h pas constant
3