EC1 - Devoir 06 - Durée : 4h 1 Enigme à L`Asile 2 Une somme

EC1 - Devoir 06 - Durée : 4h
Professeur : Christian CYRILLE
Samedi 11 Octobre 2008
"Wir müssen wissen, Wir werden wissen"
"Nous devons savoir, nous saurons"
David HILBERT
La calculatrice n'est pas autorisée.
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Enigme à L'Asile
Dans un asile psychiatrique, Il y a deux modèles de fous :
ceux qui disent toujours la vérité et qui portent généralement un calot
bleu.
ceux qui mentent toujours et qui portent généralement un calot jaune.
Le directeur de cet asile aperçoit 3 fous sans calot. Il se trouve que l'un d'eux
est sourd-muet.
Aux deux autres, le directeur pose la question : "Quelle est la couleur du calot
que porte normalement le sourd-muet ?".
Après avoir questionné celui-ci à l'aide de signes appropriés, les deux compères
font les réponses suivantes :
Le premier arme au directeur :"le sourd-muet dit que son calot est bleu."
Le deuxième déclare au contraire :"Il dit que son calot est jaune"
Rééchissez et répondez aux 3 questions :
1. Qu'a répondu le sourd-muet par signes ? Justier.
2. Quel est alors la couleur du calot du premier fou ? Justier.
3. Quel est alors la couleur du calot du deuxième fou ? Justier.
2
Une somme partielle
Pour n ∈ N∗ soit Sn =
n
X
k
n2
k=0
1. Déterminer la valeur de Sn
2. Déterminer lim Sn
n7→+∞
1
3
Drôle de fonction ! ! !
Soit la fonction numérique d'une variable réelle f dénie sur R et vériant
les 4 propriétés suivantes :
1. ∀x ∈ R f (x) 6= −1
2. ∀x ∈ R f (x) 6= 0
3. ∀x ∈ R f (x) 6= 1
1 + f (x)
1 − f (x)
Soit x un nombre réel quelconque.
4. ∀x ∈ R f (x + 2) =
1. Exprimer le plus simplement possible en fonction de f (x)
le nombre f (x + 4)
2. Exprimer le plus simplement possible en fonction de f (x)
le nombre f (x + 6)
3. Exprimer le plus simplement possible en fonction de f (x)
le nombre f (x + 8)
Conclusion ?
4
Wooy ! ! ! Encore des parties entières ! ! !
1. (a) Dessiner la courbe de la fonction racine carrée sur [0; 9] dans un
premier repère orthonormé R1
p
(b) Soit la fonction f dénie par f (x) = x − [x] où [x] désigne la partie
entière de x.
Quel est l'ensemble de dénition de f ? Justier.
(c) Démontrer que f est une fonction périodique de période 1
(d) Dessiner la courbe de f sur [−2; 2[ dans un deuxième repère orthonormé R2
1
2. (a) Dessiner la courbe de la fonction inverse x 7→
dans un troisième
x
repère orthonormé R3
[x]
.
(b) Soit la fonction g dénie par g(x) =
x
Quel est l'ensemble de dénition de g
(c) Dessiner la courbe de g sur [−1; 3[ ∩ Dg
2
5
Miss belles courbes ! ! !
1. Dessiner sans justication dans un repère orthonormé R1 la courbe d'équax
tion y = f (x) où f (x) =
ainsi que ses aymptotes
x+1
2. Dessiner sans justication dans un deuxième repère orthonormé R2 la
x
courbe d'équation y = g(x) où g(x) =
ainsi que ses aymptotes
−x + 1
x
3. Soit la fonction numérique d'une variable réelle dénie par h(x) =
1 + |x|
(a) Quel est l'ensemble de dénition de h ?
(b) Donner une autre écriture de h(x) en fonction de x.
(c) Etudier la continuité de h sur Dh .
(d) Etudier la dérivabilité de h sur Dh
(e) En déduire que h est strictement croissante sur Dh
(f) Démontrer que h est une application bijective de Dh sur un intervalle
J à déterminer
(g) Dénir la bijection réciproque h−1
(h) Dessiner les courbes représentatives de h et de h−1 dans un troisième
repère orthonormé R3
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Une petite louche d'Edhec 2008
Pour tout entier naturel n non nul, on dénit la fonction fn par
∀x ∈ R fn (x) =
1
+ nx
1 + ex
.
On appelle (Cn ) la courbe représentative de fn .
1. (a) Déterminer, pour tout réel x, fn0 (x) et f ”n (x)
(b) En déduire que la fonction fn est strictement croissante sur R
2. (a) Calculer lim fn (x) ainsi que lim fn (x)
x7→−∞
x7→+∞
(b) Montrer que les droites (Dn ) et (Dn0 ) d'équations y = nx et y = nx+1
sont asymptotes de (Cn)
(c) On admet le théorème suivant : si la dérivée seconde s'annule en x0
et y change de signe,alors le point de coordonnées (x0 , f (x0 ) est un
point d'inexion. Déterminer alors le point d'inexion An de fn .
(d) Donner l'équation de la tangente (T1 ) à la courbe (C1 ) en A1 puis tracer dans un même reprère orthonormé d'unité 5cm les droites (D1 ),
(D10 ) et (T1 ) ainsi que l'allure de la courbe (C1 ).
3. (a) Montrer que l'équation fn (x) = 0 possède une seule solution sur R
notée un .
−1
(b) Montrer que ∀n ∈ N∗ , l'on a :
< un < 0
n
(c) En déduire lim un
n7→+∞
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