Corrigé DM8 - Pagesperso

Seconde 1
Corrigé devoir maison n°8
A remettre le : mardi 12/04/2011
Exercice I : Alexandrie, Alexandra....
Pour 1/50 de la circonférence, on a 900 km, donc pour la circonférence totale on a :
50×900=45000 km . On a la relation : P=2×π×R Ou P est la périmètre et R le rayon du cercle.
45000
≃7162
Donc a : 2×π×R=45000 ⇒ R=
 2×π
Les mesures d'Érathostène, permettent d'obtenir 7162 km pour le rayon de la Terre.
Remarque : la vrai valeur étant de 6370 km, cela fait un pourcentage d'erreur de :
7162−6370
≃12,4 %. C'est donc une très bonne approximation, obtenue sans satellite,
6370
uniquement avec un raisonnement géométrique.
Exercice II :Belle île en mer...
On connaît la distance OS=63701,467=6371,467 et OP=6370 .
OP
6370

cos POG=
=
≃0,9997
OS 6371,467

En utilisant la touche cos−1 de la calculatrice on obtient : POG=0,0215
radians

Cela correspond à une distance de POG×R≃R×0,0215≃136,7
Le pêcheur pourra voir la Guadeloupe jusqu'à 136,7 km des côtes.
Le résultat semble correspondre à la réalité. La Martinique est à 169 km de la Guadeloupe, et on ne
voit pas la Guadeloupe de la Martinique. Ni l'inverse d'ailleurs.
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Seconde 1
Corrigé devoir maison n°8
A remettre le : mardi 12/04/2011
Problème : Théorème de Ptolémée
Partie A: la loi des sinus.
1-A et A' appartiennent au même arc de cercle définit par les points B et C donc :

 'C
BAC=
BA
2-B et A' étant diamétralement opposés, [BA'] est un diamètre du cercle, et BA'C est un triangle
côtéopposé BC a
=
=
rectangle en C. Dans ce triangle, sin BA ' C=
hypothénuse AB 2R
 BAC=

 ' C , on en déduit que :
Et comme A=
BA

sin A=
a
2R
3-On suit exactement la même méthode , pour l'angle B , on définit le point B' diamétralement
 C dans le triangle ACB' rectangle en C.
opposé au point A, et on considère le sinus de l'angle AB'
 'C= AC '= b et donc : sin b = 1 .
Et on obtient : sin AB
AB 2R
b
2R
sin c 1
=
De même, on démontre que
et considérant le triangle AA'B rectangle en A, et en
c
2R
 ' B= AB '= c
utilisant: sin c=sin AA
BA 2R
On a donc :
 sin B sin C

sin A
1
=
=
=
a
b
c
2R
Littéralement : dans un triangle le sinus d'un angle divisé par la longueur du côté opposé est
égal à l'inverse du diamètre.
Partie B: droite de Simson.
1-Les points B et P appartiennent aux deux arc de cercle définis par A et C, donc :
π
π



et PA1B=
, on en déduit que :C1 et A1
APC=π−
B . Par construction, BC1P=
2
2
appartiennent au cercle de diamètre [BP]. Sur ce cercle, les points B et P appartiennent aux deux arc

 .
de cercle opposés donc : C1PA1=π−
B


 et on a : C1PA1=π−
 , on en déduit que:
On a démontré que APC=π−B
B


APC=C1 P A1


 ⇒ C1PA=



2-On a C1PA1=
et
C1PA
APA1
C1PA1−
APA1









C1PA
APC= APA1 A1PC ⇒ A1PC=APC− APA1 . Et : APC=C1 P A1 ⇒ A1PC=
Donc A1P C=C1 P A
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Seconde 1
Corrigé devoir maison n°8
A remettre le : mardi 12/04/2011
3- Pour démontrer que des points sont alignés, on peut : montrer qu'ils sont sur une même droite,
utiliser la colinéarité de vecteurs, et aussi utiliser les angles. Les données du problème incite à


A1B1C
utiliser les angles. Démontrons que C1B1A=
π


AC1P=
PB1A=
donc les points C1 et B1 appartiennent au cercle de diamètre [AP]. Sur ce
2
cercle P et B1 appartiennent au même arc de cercle définit par les points A et C1 donc :


. On démontre de même que P, B1, A1 et C appartiennent au cercle de diamètre
C1B1A=
C1PA

 . On a donc : C1B1A=




[CP] et A1B1C= A1PC
et A1B1C=
et on a démontré au 2C1PA
A1PC




que A 1 P C=C1 P A , on en déduit que : C1B1A= A1B1C et comme A, B1 et C sont aligné alors
les points A1, B1 et C1 sont alignés.
Les points A1, B1 et C1 sont alignés.
Partie C: théorème de Ptolémée.




 Donc sin A=sin
1- B1AC1=π−
. On applique la loi des sinus au triangle
π− A=sin
B1AC1
A
AB1C1 inscrit dans le cercle de diamètre AP, et on obtient :
B1C1
a

 B1C1 et on a démontré que : sin A=

sin B1AC1=
et donc : sin A=
donc :
AP
AP
2R
a B1C1 B1C1 a
a×AP
=
⇒
=
⇒ B1C1=
2R
AP
AP
2R
2R
On a démontré que : B C = a×AP
1 1
2R
2-De même, en appliquant la loi des sinus au triangle BA1C1 inscrit dans le cercle de diamètre
 A1C1 et comme sin B=
 b alors b = A1C1 ⇒ A1C1= b×BP
[BP], on a : sin B=
BP
2R
2R
BP
2R
On applique la loi des sinus au triangle CA1B1 inscrit dans le cercle de diamètre [CP]:
 A1B1 et comme sin c = c alors : A1B1 = c ⇒ A1B1= c×CP
sin C=
CP
2R
CP
2R
2R
On a démontré que : B C = a×AP , A C = b×BP et A B = c×CP .
1 1
1 1
1 1
2R
2R
2R
3-Les points A1, B1 et C1 sont alignés dans cet ordre donc :
A1C1=A1B1+B1C1 et d'après la question précédente :
b×BP c×CP a ×AP
=

⇒ b×BP=c×CPa×AP et b=AC , c=AB et a=BC donc :
2R
2R
2R
AC×BP=AB×CPBC×AP
Théorème de Ptolémée : Dans un quadrilatère inscriptible dans un cercle, la somme des produits
des deux couples de côtés opposés est égale au produit des diagonales.
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Corrigé devoir maison n°8
A remettre le : mardi 12/04/2011
Partie D: cosinus d'une somme

1-C appartient au cercle de diamètre [AB] donc, le triangle ABC est rectangle en C et : cos A=


et AC=cos A
avec AB=1 donc : cos A=AC

On considère de même le triangle ADB rectangle en D, et on a: cos B=

BD=cos B

2- On a : sin A=
AC
AB
BD
et avec AB=1:
AB
BC
 et sin B=
 AD ⇒ AD=sin B On a: BC=sin A
 et AD=sin B
⇒ BC=sin A
AB
AB

 π et donc:

 DAC
 . Le triangle ABD est rectangle en D donc : BAD
3- BAD=
B=
A−
2
π
π
π
 DAC


 B=
 DAC


 B−

A−
B=
⇒ A
⇒ DAC=
A
2
2
2

 B−
 π . On admet que : sin x−90=−cos x  . On en déduit que:
A
On a démontré que : DAC=
2

 B−
 π =−cos  A
 B
 . Et sin DAC=−cos

 B

sin DAC=sin
A
 A
2
4-Appliquons la loi des sinus au triangle ADC inscrit dans le cercle de diamètre AB=1.
CD


 B
 . On a : CD=−cos A
 B

sin DAC=
⇒ CD=sin DAC=−cos
 A
AB
5-Appliquons le théorème de Ptolémée au quadrilatère inscriptible ABCD. On a le produit des
diagonales ( AD×BC )est égal à la somme des produits des côtés opposés ( AC×BDAB×CD ),
soit :
AD×BC=AC×BDAB×CD .
Et en remplaçant toutes les distances par les expressions trouvées dans les questions précédentes,
on obtient :


 B⇒









sin B×sin
A=cos
A×cos
B1×−cos
 A
cos A×cos
B=cos
A×cos
B−sin
B×sin
A
 B=cos





On a démontré que : cos  A
 A×cos
 B−sin
A×sin
B
Fin du corrigé
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