Correction de l`exercice 3.3 : « Les faiseurs de pluie

Correction de l’exercice 3.3 : « Les faiseurs de pluie »
Les faiseurs de pluie
Des relevés effectués pendant de nombreuses années ont permis d’établir que le niveau naturel des pluies dans
la Beauce en millimètres par an est représenté par une variable aléatoire X qui suit une loi normale d’espérance
µ = 600 et d’écart-type σ = 100.
Soit (X1 , . . . , X9 ) un échantillon de variables aléatoires i.i.d. suivant une loi normale d’espérance µ = 600 et d’écarttype σ = 100.
+ Question 1 : Tracer la densité de la variable aléatoire X.
f(x)
900
800
700
600
500
400
300
0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
Densité de X
x
+ Question 2 : Quelle est la loi de la moyenne empirique de l’échantillon, définie par :
X=
X1 + · · · + X9
9
X1 + · · · + X9
, est une fonction de 9 variables suivant une loi normale,
9
donc est une loi normale. Donner la loi de X revient à calculer son espérance (sa moyenne) et sa variance (ou son
écart-type) :
La moyenne empirique de l’échantillon, X =
E(X) = E
X1 + · · · + X9
9
= × E(X) = 600
9
9
car E(Xi ) = E(X) = 600.
D’après les propriétés de la variance :
V(X) = V
X1 + · · · + X9
1
9 × 1002 1002
= 2 × V(X1 + · · · + X9 ) =
=
9
9
9
92
car V(X1 + · · · + X9 ) = V(X1 ) + · · · + V(X9 ) (les variables sont indépendantes) et V(Xi ) = V(X) = 1002 .
100
Donc X suit une loi normale de moyenne 600 et d’écart-type √ .
9
/ Il faut retenir que la moyenne empirique d’un échantillon de n variables (X1 , . . . , Xn ) suivant chacune
une loi normale de moyenne µ et d’écart-type σ , définie par
X=
X1 + · · · + Xn
n
σ
suit une loi normale de moyenne µ et d’écart-type √
n
1
Des entrepreneurs, surnommés « faiseurs de pluie », prétendaient pouvoir augmenter de 50 mm par an le niveau
moyen de pluie, ceci par insémination des nuages au moyen d’iodure d’argent. Leur procédé fut mis à l’essai entre
2001 et 2009 et on releva les hauteurs de pluie suivantes :
Année
Hauteur de pluie
2001
510
2002
614
2003
780
2004
512
2005
501
2006
534
2007
603
2008
788
2009
650
+ Question 3 : Proposer un test permettant de vérifier les affirmations des faiseurs de pluie, et donner l’hypothèse
nulle et l’hypothèse alternative.
On propose de tester :
— « H0 : m = 600 millimètres » ;
— contre « H1 : m = 650 millimètres » ;
+ Question 4 : Calculer la moyenne m et l’écart-type σ̂ de ces observations.
La moyenne des observations est donnée par :
510 + 614 + 780 + 512 + 501 + 534 + 603 + 788 + 650
= 610, 22
9
L’écart-type des observations est donné par :
m=
s
σ̂ =
P9
i=1 (xi
− 610, 22)2
9
C’est-à-dire :
r
σ̂ =
(510 − 610, 22)2 + (614 − 610, 22)2 + · · · + (603 − 610, 22)2 + (788 − 610, 22)2 + (650 − 610, 22)2
= 105, 1505
9
+ Question 5 : Si on fait l’hypothèse que la moyenne empirique de l’échantillon suit une loi normale de paramètre
µ = 600 et σ = 100/3, quelle est la probabilité pour que les observations fournissent une moyenne supérieure à
650 ? Interpréter cette valeur.
On suppose que X suit une loi normale de moyenne µ = 600 et d’écart-type σ = 100/3. On cherche donc P([X >
650]). Pour trouver cette valeur à l’aide de la table de la loi normale centrée réduite, on centre et on réduit la
variable X.
X − 600
suit une loi normale centrée réduite.
100/3
Par conséquent :
On sait que
"
P([X > 650]) = P
X − 600 650 − 600
>
100/3
100/3
#!
"
=P
#!
"
#!
X − 600
X − 600
> 1, 5 = 1 − P
6 1, 5 = 0, 067
100/3
100/3
Il y a donc 6,7 % de chance pour qu’une observation issue d’un échantillon de loi normale de moyenne µ = 600 et
d’écart-type σ = 100/3 (donc qui respecte l’hypothèse H0 ) fournisse une moyenne supérieure à 650.
+ Question 6 : Même question pour une moyenne supérieure au m obtenu dans la question 4.
De même, on cherche P([X > 610, 22]). On a :
"
P([X > 610, 22]) = P
X − 600 610, 22 − 600
>
100/3
100/3
#!
"
=P
#!
X − 600
> 0, 3066 = 0, 38
100/3
Ainsi, il y a 38 % de chance pour qu’une observation issue d’un échantillon de loi normale de moyenne µ = 600 et
d’écart-type σ = 100/3 (donc qui respecte l’hypothèse H0 ) fournisse une moyenne supérieure à 610,22 (la moyenne
observée des données).
Remarque : cette valeur correspond à la p-value.
+ Question 7 : Calculer la valeur t0,05 telle que P([X > t0,05 ]) = 0, 05. Interpréter cette valeur.
2
On cherche le quantile 0,95 d’une loi normale normale de moyenne µ = 600 et d’écart-type σ = 100/3, c’est-à-dire
la valeur t0,05 telle que P([X < t0,05 ]) = 0, 95 et P([X > t0,05 ]) = 0, 05.
Pour trouver cette valeur d’après la table des quantiles de la loi normale centrée réduite, on centre et on réduit la
variable X. On cherche toujours t0,05
"
P([X > t0,05 ]) = P
X − 600 t0,05 − 600
>
100/3
100/3
#!
= 0, 05
t0,05 − 600
X − 600
suit une loi normale centrée-réduite, donc
est le quantile 0,95 d’une loi normale
100/3
100/3
centrée réduite, soit 1,64 (comme on le voit sur la table).
Donc :
On sait que
t0,05 − 600
= 1, 64
100/3
⇔
t0,05 = 1, 64 ×
100
+ 600 = 654, 67
3
654,67 est la valeur au-delà de laquelle on retrouve les échantillons les 5 % les plus extrêmes (les plus éloignés de
la moyenne) respectant quand même une loi normale de moyenne µ = 600 et d’écart-type σ = 100/3.
Autrement dit, il y a seulement 5 % de possibilité pour qu’une estimation issue d’un échantillon de loi normale de
moyenne µ = 600 et d’écart-type σ = 100/3 ait une moyenne au delà de 654,67.
3