200812 - mai2 - bts blanc

décembre
2008
MAI 2
BTS BLANC de :
Durée : 2 H
Coefficient : 2
Mathématiques
La qualité de la rédaction ainsi que la clarté et la précision des raisonnements entreront
pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L’usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
EXERCICE I ( 5 points )
inspiration BTS Informatique de gestion 2003
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
PARTIE A
Pour tous les calculs de probabilités demandés dans cette partie, on donnera les résultats sous leur
forme approchée décimale arrondie à 10 -2 près.
Une entreprise a mis au point un circuit électronique formé essentiellement de deux composants
distincts Cl et C2 montés en parallèle de telle sorte que ce circuit ne peut tomber en panne que
lorsque les deux composants Cl et C2 sont simultanément en panne.
Au bout de 6000 heures d'utilisation du circuit électronique composé des éléments Cl et C2 ,
on considère les événements suivants :
A . « Le composant Cl n'a pas eu de panne » ;
B : « Le composant C2 n'a pas eu de panne ».
On considérera que les pannes des composants Cl et C2 sont indépendantes et que les probabilités
respectives des événements A et B sont : p(A) = 0, 22 et p(B) = 0, 05.
1°) On note A et B les événements contraires des événements A et B.
Calculer la probabilité de chacun des événements A et B .
2°) a. Calculer la probabilité que le circuit électronique tombe en panne au bout de 6000 heures.
b. En déduire la probabilité que le circuit électronique fonctionne sans panne au bout de 6000
heures.
PARTIE B
Le service qualité de l'entreprise, chargé de tester le temps de fonctionnement de ce circuit
électronique, vérifie d'abord le nombre d'heures de fonctionnement de chacun des composants Cl et
C2. Les résultats obtenus sont les suivants :
Les fonctions fl et f2 correspondant respectivement à la probabilité que les composants Cl et C2
fonctionnent sans panne au bout de t milliers d'heures d'utilisation, sont définies sur [ 0, +∞ [ par :
f 1 t = e −0,25 t et f 2 t = e −0,5 t
()
()
1°) Étude des fonctions.
Étudier le sens de variation de chacune des fonctions fl et f2.
2°) Lecture graphique
On a tracé ci-dessous les deux courbes représentatives Cl et C2 des fonctions fl et f2.
a. Déterminer, à l’aide du graphique, pour chaque composant, au bout de combien d'heures, on
aura une probabilité qu'il fonctionne sans panne égale à 0, 37.
b. En déduire, par lecture graphique, lequel des deux composants fonctionnera le plus
longtemps sans panne.
EXERCICE II ( 7 points )
inspiration BTS Informatique de gestion 2005
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Toutes les valeurs arrondies seront données à 10-3 près.
PARTIE A
En France, le nombre d’abonnements à l' Internet haut débit est donné, en millions, dans le tableau suivant
:
Période
1e trimestre 2e trimestre 3e trimestre 4e trimestre 1e trimestre
2003
2003
2003
2003
2004
x = rang de la période
1
2
3
4
5
y = nombre d'abonnements
en millions
2,236
2,450
2,790
3,524
4,406
source ART : Autorité de Régulation des Télécommunications.
1°) Recopier et compléter le tableau suivant, les résultats seront arrondis au millième.
x
1
2
3
4
5
z = ln y
2°) Donner le coefficient de corrélation r de z en x. Que peut-on en conclure ?
3°) Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de z en x.
Aucun calcul intermédiaire n'est exigé.
4°) En supposant la même progression de l'Internet haut débit, estimer le nombre d'abonnements
en millions au troisième trimestre 2004.
.
5°) Exprimer y en fonction de x sous la forme y = A eBx où A et B sont des réels arrondis au
millième.
PARTIE B
En janvier 2003, une enquête dans une université a montré que 7 % des étudiants disposaient personnellement de l'Internet haut débit.
On interroge 100 étudiants. On suppose que l'effectif de l'université est suffisamment important pour
que les interrogations soient considérées comme indépendantes.
Soit X la variable aléatoire qui mesure le nombre d'étudiants disposant de l'internet haut débit
1°) Quelle est la loi suivie par X ? Préciser les paramètres.
2°) Calculer la probabilité P( X = 5 ).
3°) On admet que X peut être approchée par une variable Y suivant une loi de Poisson.
a. Quel est le paramètre de cette loi de Poisson ?
b. Déterminer la probabilité P(Y = 5).
c. Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins 6 étudiants disposant de l'Internet haut débit.
EXERCICE III ( 8 points )
inspiration BTS Groupement D 2005
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
On décide de mesurer en fonction du temps la quantité de principe actif d'un médicament présent
dans le sang d'un groupe de patients en traitement dans un hôpital.
A l'instant t, exprimé en minutes, on note q(t) la quantité exprimée en milligrammes de ce principe
actif, contenu dans le sang d'un patient.
A] Résolution d’une équation différentielle
On considère l’équation différentielle ( E ) : 4 y ' + y = − 0 , 0 0 2 t + 2 , 9 9 2
où y désigne une fonction de la variable réelle t définie et dérivable sur [ 0 ; + ∞ [,
et y’ la fonction dérivée de y .
1°) Résoudre l’équation différentielle ( E 0 ) : 4 y ' + y = 0 .
2°) Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonction g définie sur [ 0 ; + ∞ [
par g (t) = a t + b soit une solution particulière de ( E ).
3°) En déduire l’ensemble des solutions de l’équation ( E ).
4°) Déterminer la solution q de l’équation ( E ) qui vérifie la condition initiale q ( 0 ) = 0.
B] Etude d’une fonction
On admet dans cette partie que, pour tout t de [ 0 ; 1440 ],
q(t ) = 3 − 0, 002t − 3 e −0,25 t
On rappelle que le temps t est exprimé en minutes.
1°) a. Calculer q'(t) pour tout t de [ 0; 1440].
b. Résoudre dans [ 0 ; 1440], l'inéquation q’(t) ≥ 0.
c. Soit t 0 = 4 ln ( 375) .
Donner la valeur approchée arrondie à 10 -2 près de q( t 0 ).
d. Déterminer le sens de variation de q sur [ 0; 1440].
Que représente q ( t 0 ) ?
3°) a. Démontrer que la valeur moyenne Vm de la fonction q sur [ 0; 1440] est
Vm =
(
1
2234, 4 + 12 e −360
1440
b. Donner la valeur approchée arrondie à 10 -2 près de Vm.
)
CORRIGE DU BTS BLANC
EXERCICE I ( 5 points )
inspiration BTS Informatique de gestion 2003
PARTIE A
0,05
1°) P ( A ) = 1 − P (A) = 1 − 0, 22
( )
P B = 1 − P(B) = 1 − 0, 05
A
donc P ( A ) = 0, 78
0,22
donc P ( B ) = 0,95
0,95
0,05
2°) a. La probabilité que le circuit électronique tombe
en panne au bout de 6000 heures :
p = P ( A ∩ B ) = P ( A ) × P ( B ) = 0, 78 × 0,95 = 0, 74
0,78
A
0,95
B
B
B
B
car les événements sont indépendants.
b. La probabilité que le circuit électronique fonctionne sans panne au bout de 6000 heures :
P = P (A ∪ B) = 1 − 0, 74 = 0, 26
PARTIE B
Les fonctions fl et f2 correspondant respectivement à la probabilité que les composants Cl et C2
fonctionnent sans panne au bout de t milliers d'heures d'utilisation, sont définies sur [ 0, +∞ [ par :
f 1 t = e −0,25 t et f 2 t = e −0,5 t
()
1°) Étude des fonctions.
f 1 ' ( t ) = −0, 25 e −0,25 t
f 2 ' ( t ) = −0,5 e −0,5 t
donc
donc
()
f 1 ' (t ) < 0
f 2 ' (t ) < 0
donc fl est strictement décroissante.
donc f2 est strictement décroissante.
2°) Lecture graphique
a. Pour le composant Cl , la probabilité qu'il fonctionne sans panne sera égale à 0, 37
au bout d’environ 4000 heures.
Pour le composant C2 , la probabilité qu'il fonctionne sans panne sera égale à 0, 37
au bout d’environ 2000 heures.
b. D’après le graphique, le premier composant Cl fonctionnera le plus longtemps sans panne.
EXERCICE II ( 7 points )
PARTIE A
1°)
x
z = ln y
inspiration BTS Informatique de gestion 2005
1
2
3
4
5
0,805
0,896
1,026
1,260
1,483
2°) Coefficient de corrélation : r = 0,983.
r est proche de 1, il y a donc une bonne corrélation entre x et z.
3°) z = 0,172 x + 0,578.
4°) x = 7. z = 1,782 ( en remplaçant dans l’équation ci-dessus ) et y = ez = 5,942
On estime le nombre d'abonnements au troisième trimestre 2004 à 5,942 millions.
5°) z = 0,172 x + 0,578 donc ln y = 0,172 x + 0,578 donc y = e 0,172 x + 0,578
y = e 0,172 x e 0,578 d’où
y = 1,782 e 0,172 x
PARTIE B
1°) Pour un étudiant interrogé, il y a deux possibilités :
• il a internet haut débit avec une probabilité p = 0,07
• ou il n’a pas internet haut débit avec une probabilité q = 0,93.
On répète cette situation 100 fois de manière identique et les interrogations soient considérées
comme indépendantes.
La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale B ( n , p ) avec n = 100 et p = 0,07.
k
100 − k
k
P( X = k ) = C100
( 0, 07 ) ( 0,93)
5
2°) P( X = 5 ) = C100
( 0, 07 ) ( 0,93) 0,128 .
5
95
3°) X peut être approchée par une variable Y suivant une loi de Poisson.
a. Le paramètre de cette loi de Poisson est λ = np ( égalité des espérances mathématiques )
λ = 100 × 0, 07 soit λ = 7
b. P(Y = 5) = 0,128 d’après la table
c. Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins 6 étudiants disposant de l'Internet haut débit.
et P(Y ≥ 6) = 1 – P(Y < 6) = 1 – P(Y ≤ 5)
=1–(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5))
= 1 – 0,30
P(Y ≥ 6 ) = 0,7
EXERCICE III ( 8 points )
inspiration BTS Groupement D 2005
A] Résolution d’une équation différentielle
On considère l’équation différentielle ( E ) : 4 y ' + y = − 0 , 0 0 2 t + 2 , 9 9 2
où y désigne une fonction de la variable réelle t définie et dérivable sur [ 0 ; + ∞ [,
et y’ la fonction dérivée de y .
1°) ( E 0 ) :
4 y '+ y = 0 .
b(t ) 1
1
= ; une primitive est G (t ) = t = 0, 25 t
a (t ) 4
4
Les solutions sont
y = k e − G ( t ) = ke −0,25t où k constante.
2°) g (t) = a t + b
g solution particulière de ( E ) ⇔ 4 g ' ( t ) + g ( t ) = − 0, 002 t + 2, 992
⇔ 4 a + at + b = − 0, 002 t + 2, 992
⇔ at + ( 4 a + b ) = − 0, 002 t + 2, 992
⎧ a = − 0, 002
⎧ a = − 0, 002
⇔ ⎨
⎩b=3
⎩ 4 a + b = 2, 992
⇔ ⎨
g (t) = - 0,002 t + 3
3°) Théorème :
La solution générale d’une équation différentielle est obtenue en ajoutant une solution particulière
à la solution générale de l’équation homogène associée
y = ke −0,25t − 0, 002t + 3
où k constante.
−0,25 t
− 0, 002t + 3
4°) q (t ) = ke
or q ( 0 ) = 0 d’où k +3 = 0 d’où k = -3
q (t ) = −3e −0,25 t − 0, 002t + 3
B] Etude d’une fonction
q(t ) = 3 − 0, 002t − 3 e −0,25 t
Pour tout t de [ 0 ; 1440 ],
1°) a. q'( t ) = − 0, 002 − 3 × ( − 0.25 ) e
− 0 ,25 t
= − 0, 002 + 0, 75 e − 0 ,25 t
b. q’(t) ≥ 0 ⇔ −0, 002 + 0, 75 e−0,25 t ≥ 0 ⇔ 0, 75 e−0,25 t ≥ 0, 002 ⇔ e −0,25 t ≥
1
375
ln ( 375 )
⎛ 1 ⎞
⇔ t ≤ 4 ln ( 375 )
⎟ ⇔ 0, 25 t ≤ ln ( 375 ) ⇔ t ≤
0, 25
⎝ 375 ⎠
⇔ −0, 25 t ≥ ln ⎜
c. Soit t 0 = 4 ln ( 375) .
q(t0 ) = 3 − 0, 002t0 − 3 e −0,25 t0 = 3 − 0, 008 ln(375) − 3 e − ln 375
= 3 − 0, 008 ln(375) − 3 e
= 3 − 0, 008 ln(375) − 3
ln
1
375
1
1
= 3 − 0, 008 ln(375) −
375
125
q(t0 ) 2,95
d. Sens de variation de q sur [ 0; 1440].
x
t0
0
f '( x )
+
1440
−
0
q ( t0 )
f
0
0,12
q ( t 0 ) représente le maximum.
1
3°) a. La valeur moyenne Vm de la fonction q sur [ 0; 1440] est : Vm =
1440
1
Vm =
1440
∫
1440
0
q (t ) d t
1440
∫
1440
0
3 − 0, 002 t − 3 e
− 0 ,25 t
⎤
1 ⎡
t2
3
dt =
e − 0 ,25 t ⎥
⎢ 3t − 0, 002 +
1440 ⎣
2 0, 25
⎦0
1440
1
⎡⎣ 3t − 0, 001 t 2 + 12 e − 0,25 t ⎤⎦
0
1440
1
3 × 1440 − 0, 001×1440 2 + 12 e − 0 ,25 ×1440 − (12
=
1440
=
((
)
Vm =
b. Vm ≈ 1,55
(
)) =
1
2234, 4 + 12 e −360
1440
)
(
1
2234, 4 + 12 e − 360
1440
)