formes normales en logique propositionnelle

Formes normales
Définition 1 : On appelle littéral toute variable prépositionnelle et toute formule
consistant en l'application du connecteur ¬ à une variable propositionnelle.
On appelle produit élémentaire toute conjonction de littéraux, somme élémentaire toute
disjonction de littéraux.
On appelle Forme Normale Disjonctive toute disjonction de produits élémentaires et
Forme Normale Conjonctive toute conjonction de sommes élémentaires.
Exemples :
(p ∧¬q ∧¬ r) v (p ∧¬q ∧r) v (¬p∧q ∧r) est une FND.
(pv ¬q v¬r) ∧ (p v ¬q v ¬r) est une FNC
p∧¬q ∧¬ r est à la fois une FND et une FNC. (C'est une FND contenant un seul membre
qui consiste en un produit élémentaire de trois littéraux, c'est une FNC contenant trois
membres consistant chacun en une somme élémentaire d' un seul membre).
F (le faux, ou 0) est une FND (disjonction vide, donc identique à l'élément neutre de la
disjonction, qui est 0).
de même V (ou 1) est une FNC.
Théorème : pour toute proposition A, il existe une FND A’ telle que A ≡ A’. On dit que
A’ est une forme normale disjonctive de A.
Idée de la démonstration : soit p1, …, pn les propositions élémentaires figurant dans A.
La table de vérité de A contient 2n lignes. Chaque ligne correspond à un produit
élémentaire : le produit élémentaire obtenu en prenant comme facteurs les propositions xi
avec : xi = pi si pi prend la valeur 1 à cette ligne et xi = ¬pi si pi prend la valeur 0.
Ensuite, on prend la disjonction des 2n produits élémentaires obtenus. Par construction,
on obtient une formule tautologiquement équivalente à A.
Corollaire : toute formule A admet une FNC.
Démonstration : partons de sa négation, ¬A. ¬A admet une FND. Prenons alors la
négation de cette FND : par suite des règles de de Morgan, elle devient une FNC, qui est
alors logiquement équivalente à A. Remarque : si A est une tautologie, on obtient A = V,
qui est admis comme FNC.
Remarque : la démonstration du théorème précédent permet de construire une FND
(resp. FNC) particulière, on l'appelle Forme Normale Disjonctive (resp. Conjonctive)
Canonique. La FNDC (resp. FNC) ainsi obtenue est unique par construction. Mais on
peut très bien obtenir d'autres FND (resp. FNC), simplement elles ne seront pas «
canoniques ».
Exemple : la formule A suivante : ((p v (q ∧ r)) => (¬(p v r))) est vraie pour et seulement
pour les assignations suivantes de valeurs données à p, q, r : (0, 1,0), (0, 0, 1) et (0, 0, 0).
Cela entraîne que sa FNDC est : (¬ p ∧ q ∧ ¬ r ) v (¬ p ∧ ¬ q ∧ r) v (¬ p ∧ ¬ q ∧ ¬ r).
Mais il est visible qu'on peut réduire cette FND (c'est-à-dire réduire son nombre de
termes) en remarquant qu'il est possible de factoriser (¬ p ∧ ¬ q) dans les deux derniers
membres, on obtient :
(¬ p ∧ ¬ q ∧ r) v (¬ p ∧ ¬ q ∧ ¬ r) ≡ (¬ p ∧ ¬ q) ∧ (r v ¬ r) ≡ (¬ p ∧ ¬ q) ∧ V ≡ (¬
p ∧ ¬ q)
d'où la nouvelle FND : (¬ p ∧ q ∧ ¬ r ) v (¬p ∧ ¬q)
En fait, on peut donner un « algorithme » pour obtenir une FND à partir d'une formule A,
il consiste à faire dans l'ordre :
1) Remplacer tous les =>, ⇔ ou ⊕ par des formules ne contenant que ∧, v et ¬ (en
utilisant des équivalences telles que :p=>q ≡ ¬ p v q;p ⇔ q ≡ (p=>q) ∧ (q=>p) etc.),
2) Appliquer les règles de De Morgan de manière à ne faire porter les négations que sur
les variables propositionnelles,
3) Appliquer les règles d'associativité, commutativité, d'absorption, de distributivité et
d'idempotence.
Exemple : reprenons la formule A ci-dessus, on a:
1) ((p v (q ∧ r)) => (¬(p v r))) ≡ ¬ (p v (q ∧ r)) v (¬ (p v r))
2) ¬ (p v (q ∧ r)) v (¬ (p v r)) ≡ (¬ p ∧ ¬ (q ∧ r)) v (¬ p ∧ ¬ r)
≡ (¬ p ∧ (¬q v ¬r)) v (¬ p∧ ¬ r)
3) (¬ p ∧ (¬ q v ¬ r)) v (¬ p ∧ ¬ r) ≡ (¬ p ∧ ¬ q) v (¬ p ∧ ¬ r) v (¬ p ∧ ¬ r)
qui donne, par idempotence de v : (¬ p ∧ ¬ q) v (¬ p ∧ ¬ r), ce qui est bien une FND.
Systèmes complets de connecteurs
On remarquera que le théorème précédent a permis d'établir que toute formule différente
de F pouvait s'écrire uniquement avec des ∧, des v et des ¬. On traduit cela en disant que
l'ensemble {∧ , v, ¬} est un système complet de connecteurs.
Définition 2 : on appelle système complet de connecteurs tout ensemble de connecteurs
propositionnels permettant d'engendrer par composition de ses éléments tous les
connecteurs propositionnels. De plus, un tel système est dit minimal si aucun de ses sousensembles stricts n'est complet.
Exemple : {∧ , v, ¬} est complet non minimal car {∧ , ¬} est complet (il suffit d'utiliser
les règles de de Morgan pour voir que v peut être éliminé de toute formule et remplacé
par la négation d'un ∧). {∧ , ¬} est complet et minimal car ni {¬} ni {∧} n'est complet.
Satisfaisabilité d'un ensemble de formules
Définition 3 : soit E et F deux ensembles de formules construites à partir de P. Soit A une
formule et w une assignation de valeurs de vérité à P.
E est satisfait par w ssi w rend vraies toutes les formules de E
E satisfaisable ssi il existe au moins une assignation w qui satisfait E
E est contradictoire ssi il n'est pas satisfaisable
A est une conséquence de E (on écrit : E |= A) ssi toute assignation de valeurs de vérité
qui satisfait E satisfait A
E et F sont équivalents ssi toute formule de E est conséquence de F et toute formule de F
conséquence de E.