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GREQAM Groupement de Recherche en Economie Quantitative d'Aix-Marseille - UMR-CNRS 6579 Ecole des Hautes Etudes en Sciences Sociales Universités d'Aix-Marseille II et III Dynamic Risk-Aversion Modelling in the Context of a Controlled Stochastic System Dan PROTOPOPESCU October 2003 Document de Travail n° 03A35 Dynamic Risk-Aversion Modelling in the Context of a Controlled Stochastic System by Dan Protopopescu Université de la Meditérranée and GREQAM12 2, Rue de la Charité, 13002 Marseille E-mail: [email protected] Abstract We develop a new risk theory approach in the context of a controlled stochastic system which evolves over a finite and discrete horizon. In the literature, one generally adopts the assumption that uncertainty is uniformly distributed over all the working horizon, when the absolute risk-aversion index is negative and constant. In other words, the risk is totally exogenous, the agent’s risk attitude being rigid. Thus, the risk is inevitable (not being under the control of the agent) and independent of endogenous risks. The treatment adopted by the traditional approach is in general not satisfactory, given the dynamic complexity of the environment. The classic procedure is “myopic” with regard to the potential changes in the future behavior of the decision-maker due to the endogenous fluctuations of the system. It is often utilized the assumption of risk-neutrality, a borderline case which must be envisaged with prudence in a dynamic context. An other criticism is that the traditional measures of risk-aversion are generally too weak for making comparisons between risky situations. This can be highlighted in concrete problems in finance and insurance, context for which the Arrow-Pratt measures (in the small) give ambiguous results (see, Ross, 1981). In our approach, we consider endogenous risks (attached to each period), which are under the control of the decision-maker. This point of view corresponds to many situations of real interest and has strong potential implications on the agent’s adaptive behavior. Generally, this is the evolution of the stochastic environment which determines the attitude towards risk of the decision-maker at each period of the control. This allows for the agent to benefit from the learning advantage. We propose an extension of the Arrow-Pratt approach (1964, 1971a, 1971b), which takes into account only attitudes towards small risks, to the context of potentially high risks. This can be seen as a step further in the refinement of the risk-aversion concept. It is necessary to have a very good comprehension of the way the evolution of the environment affects the risk perception of the rational decision-makers. 1 This research was undertaken with support from the European Community’s PHARE ACE Programme 1998 under grant P98-2103-S. The content of the publication is the sole responsability of the author and it in no way represents the views of the Commission or its services. 2 Submitted for publication to Economic Modelling. 1 JEL Classification: C91, D80, D83, D89. Keywords: Controlled stochastic environment, optimal trajectory, closed-loop strategy, feedback information, rational decision-maker, dynamic risk-aversion, temporal risk-aversion, endogenous active learning. Résumé On développe une nouvelle approche de la théorie du risque dans le contexte d’un système stochastique contrôlé qui évolue sur un horizon fini et discret. Dans la littérature, en général il est adoptée l’hypothèse que l’incertitude est uniformement distribuée sur l’horizon entier de travail, quand l’indice absolu d’aversion pour le risque est négatif et constant. En d’autres termes, le risque est totalement exogène, l’attitude au risque de l’agent étant rigide. Ainsi, le risque est inévitable (n’étant pas sous le contrôle de l’agent) et indépendant de risques endogènes. Le traitement adopté par l’approche traditionnelle est en général insatisfaisant, étant donné la complexité dynamique de l’environnement. La procédure classique est “myope” par rapport aux changements potentiels dans le comportement futur du décideur dus aux fluctuations endogènes du système. Il est utilisée souvent l’hypothèse de neutralité au risque, un cas-limite qui doit être envisagée avec prudence dans un contexte dynamique. Une autre critique est que les mesures traditionnelles de l’aversion pour le risque sont en général trop faibles pour faire des comparaisons entre des situations risquées. Cela peut être argumenté par des problèmes concrets en finances et assurances, pour lesquels les mesures d’Arrow-Pratt (“in the small’) donnes des résultats ambigus (voir, Ross, 1981). Dans notre approche, on considére des risques endogènes (attachés à chaque période), qui sont sous le contrôle du décideur. Ce point de vue correspond à beaucoup de situations d’un réel intérêt et a des implications potentielles fortes sur le comportement adaptatif de l’agent. En général, c’est l’évolution de l’environnement stochastique qui détermine l’attitude envers le risque du décideur à chaque période du contrôle. Cela permet à l’agent de bénéficier de l’avantage de l’apprentissage. On propose une extension de l’approche d’Arrow-Pratt (1964, 1971a, 1971b), qui prend en compte seulement des attitudes envers des petits risques, dans le contexte des risques potentiellement élevés. Cela peut être vu comme un pas supplémentaire dans le raffinement du concept d’aversion pour le risque. Il est nécessaire d’avoir une très bonne compréhension de la manière dans laquelle l’évolution de l’environnement affecte la perception du risque des décideurs rationnels. Classification JEL: C91, D80, D83, D89. Mots-clés: Environnement stochastique contrôlé, trajectoire optimale, stratégie en boucle fermée, information “feedback”, décideur rationnel, aversion dynamique envers le risque, aversion temporelle au risque, apprentissage actif endogène. 2