Document de synthèse présenté pour obtenir L`HABILITATION À

Document de synthèse présenté pour obtenir
L’HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES
Spécialité Mathématiques
Anis MATOUSSI
Laboratoire Manceau de Mathématiques
Université du Maine
Avenue Olivier Messiaen
72085 LE MANS Cedex
Contributions aux équations différentielles stochastiques
rétrogrades, aux EDP stochastiques quasi-linéaires
et applications en finance
Présenté le 04 décembre 2008 devant le jury composé de :
Vlad BALLY
(Université de Marne-La-Vallée)
Rainer BUCKDAHN
(Université de Brest)
Nicole EL KAROUI
(Jussieu Paris 6 et Ecole Polytechnique)
Saïd HAMADÈNE
(Université du Maine)
Marina KLEPTSYNA
(Université du Maine)
Jean-Pierre LEPELTIER
(Université du Maine)
Nizar TOUZI
(Ecole Polytechnique)
1
Rapporteurs :
Rainer BUCKDAHN (Université de Brest)
Nicole EL KAROUI
(Jussieu Paris 6 et Ecole Polytechnique)
Shige PENG
(Université de Shandong, Jinan, Chine)
Mete SONER
(Université de Sabanci, Istanbul, Turquie)
2
Table des matières
1 Equations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies et problème
d’obstacle pour les EDP semi-linéaires
1.1 Equations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies sur une barrière . .
1.1.1 Coefficient continu et à croissance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Coefficient à croissance monotone en y et Lipsichitz en z . . . . . . . . .
1.1.3 Problème d’obstacle pour des EDP semi-linéaires . . . . . . . . . . . . .
1.2 Equations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies sur deux barrières .
2 Quelques problèmes en finance et EDSR
2.1 Maximisation d’utilité stochastique dans un modèle incertain . . . . .
2.1.1 Existence et unicité d’une probabilité optimale . . . . . . . . .
2.1.2 EDSR associée à notre problème de contrôle . . . . . . . . . .
2.2 Equations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies avec sauts
obligations convertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
. . .
. . .
. . .
pour
. . .
8
8
10
10
12
14
17
. . . 17
. . . 20
. . . 21
des
. . . 24
EDP stochastiques semi-linéaires et équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades
3.1 Formule de Feynman-Kac pour les solutions d’EDP stochastiques semi-linéaires .
3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Cas d’EDPS linéaire avec condition terminale singulière . . . . . . . . . .
3.1.3 EDPS semi-linéaires à coefficients mesurables . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 EDPS dirigées par un bruit non-linéaire de type Itô-Kunita . . . . . . . . . . . .
27
27
27
28
31
32
4 Principe du maximum pour des EDP stochastiques quasi-linéaires
35
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Espaces Lp,q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3
4.3
4.4
4.5
Estimations uniformes pour des solutions d’EDPS avec une condition de Dirichlet
nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Principe du maximum pour des solutions d’EDPS avec une condition de Dirichlet
au bord générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Cas d’une EDPS de type Burger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4
Introduction
Nous présentons quelques contributions aux équations différentielles stochastiques rétrogrades
(EDSR en abrégé), ainsi que leurs applications en finance et aux équations aux dérivées partielles
stochastiques (EDPS en abrégé). Nous avons classé nos travaux selon les thèmes suivants :
1. EDSR réfléchies et problème d’obstacle pour les EDP semi-linéaires ;
2. Quelques problèmes en finance et EDSR ;
3. Représentation probabiliste des solutions d’EDPS semi-linéaires
4. Principe de Maximum pour des EDPS quasi-linéaires.
Pour présenter nos résultats, nous allons commencer par leurs motivations mathématiques et
par leurs applications. Nous formulerons les théorèmes sous des hypothèses un peu imprécises,
juste par souci de ne pas alourdir la rédaction. Les travaux présentés correspondent à 11 articles
parus ou à paraître et 3 prépublications, tous numérotés par ordre chronologique de 1 à 13. Ce
choix respecte l’ordre chronologique de nos recherches. Néanmoins, nous ne discuterons pas les
deux dernières prépublications [13, 14] afin de limiter cette synthèse.
Articles parus ou à paraître
[1] A. Matoussi. Reflected solutions of BSDEs with continuous coefficient. Statistics and
Probability Letters 34, 347-354 (1997).
[2] S. Hamadène, J.P. Lepeltier and A. Matoussi. Double Barrier Reflected BSDEs with
continuous coefficient. Backward stochastic differential equations. N. El Karoui and L.
Mazliak (Editors). Pitman Research Notes in Mathematics Series (1997).
[3] V. Bally and A. Matoussi. Weak solutions of Stochastic PDEs and Backward Doubly
Stochastic Differential Equations. Journal of Theoretical Probability 14, 125-164 (2001).
[4] A. Matoussi and M. Scheutzow. Stochastic PDE’s driven by nonlinear noise and Backward
Doubly SDE’s. Journal of Theoretical Probability 15 , No.1, 1-39 (2002).
[5] S. Dereich, F. Fehringer, A. Matoussi, M. Scheutzow. On the link between small ball
probabilities and the quantization problem for Gaussian measures on Banach spaces.
Journal of Theoretical Probability 16, No.1, 249-265 (2003).
5
[6] J.-P. Lepeltier, A. Matoussi, M. Xu. Reflected BSDE under monotonicity and general
increasing growth conditions. Advanced in Applied Probability 37, pp. 1-26 (2005).
[7] G. Bordigoni, A. Matoussi, M. Schweizer. A Stochastic control approach to a robust
utility maximization problem. Abel Symposium 2005(A Symposium in Honor of Kiyosi
Itô’s 90th Birthday). Stochastic Analysis and Applications, eds. F.E. Benth, G. Di Nunno,
T. Lindstrom, B. Oksendal, T. Zhang. Springer-Verlag Berlin (2006).
[8] L. Denis, A. Matoussi and L. Stoica. Lp estimates for the uniform norm of solutions
quasilinear SPDE’s. Probability Theorey and Related field, 133, 437-463 (2005).
[9] A. Matoussi, M. Xu. Sobolev solution for semilinear PDE with obstacle under monotocity
condition. Electronic Journal of Probability 13, No.35, 1035-1067 (2008).
[10] S. Crépey, A. Matoussi. Reflected and Doubly Reflected BSDEs with jumps. Annals of
Applied Probability 18, No. 5, 2041-2069 (2008).
[11] L. Denis, A. Matoussi and L. Stoica. Maximum principle for solutions of SPDE’s : A first
approach . A paraître dans Quaderni di Matematica, Series edited by Dipartimento di
Matematica Seconda Università di Napoli. "Stochastic Partial Differential Equations and
Applications − VIII" (Levico, Jan. 6-12, 2008).
Articles soumis et Prépublications
[12] L. Denis, A. Matoussi and L. Stoica. Maximum principle and comparison theorems for
solutions of Quasilinear SPDE’s. Prépublication (juin 2007), Soumis è Electronic Journal
of Probability.
[13] A. Matoussi and M. Xu. Reflected Backward doubly SDE and Obstacle problem for
semilinear Stochastic PDE’s. Prépublication version préliminaire .
[14] A. Matoussi and L. Stoica. Obstacle problem for quasilinear Stochastic PDE’s. Prépublication version préliminaire.
Articles en préparation
[15] A. Matoussi and H. Wang. Sobolev solutions for semilinear partial differential-integral
equations. En cours de rédaction.
[16] L. Denis, A. Matoussi and M. Sanz-Solé. Maximum principle for quasilinear SPDE’s
driven by a space-time white noise. En cours de rédaction.
[17] A. Matoussi F. Weil Li and Z. Wu. Dynamic Programming Principle for doubly Stochastic
Recursive Optimal Control Problem and Stochastic HJB Equation. En cours de rédaction
(2008).
6
[18] S. Crépey, A. Matoussi. About the Greeking Equation in Finance. En cours de préparation.
Contributions dans des livres
[19] N. EL Karoui, S. Hamadène, A. Matoussi. Backward stochastic differential equations and
applications. in the book "Indifference Pricing : Theory and Applications" edited by René
Carmona, Springer-Verlag (2008).
Thèse
[T] A. Matoussi : Equations Différentielles Stochastiques Rétrogrades Réfléchies à coefficients
continus, solutions faibles d’EDPS et d’EDDSR. Thèse de doctorat de l’Université du
Maine, septembre 1998, dont sont tirés les articles [1], [2] et [3].
N.B. : Nous avons décidé de ne pas développer notre contribution [5] sur la quantification
fonctionnelle, entre autre par souci de préserver une certaine unité de l’ensemble de mes travaux.
Cependant, je me suis intéressé à ce problème de quantification des mesures gaussiennes sur des
espaces de Banach, durant la deuxième année de mon post-doctorat à l’Université Technique de
Berlin. L’approche est basée sur l’étude asymptotique de l’évaluation de la mesure des "petites
boules"(small ball properties en anglais) au voisinage de 0. Dans [5], nous obtenons les bornes
inférieures et supérieures des erreurs quantifiées aléatoires et déterministes (Voir les différentes
publications de Luschgy et Pagès sur le sujet).
7
Chapitre 1
Equations différentielles stochastiques
rétrogrades réfléchies et problème
d’obstacle pour les EDP semi-linéaires
Cette partie concerne particulièrement les articles [1, 2, 6, 9] qui sont issus de ma thèse ou
en sont une suite naturelle.
1.1
Equations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies sur une barrière
Les équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies (EDSRR) sur une barrière
ont été introduites en 1997 par les cinq auteurs El Karoui, Kapoudjian, Pardoux, Peng et Quenez
[EKPPQ97]. Il s’agit de résoudre des équations qui sont des généralisations du problème de
Skorohod déterministe. En effet, étant donné un processus adapté L := (Lt )t≤T qui joue le rôle
de barrière, la solution d’une EDSRR associée aux données (ξ, g, L) est un triplet de processus
adaptés de carrés intégrables {(Yt , Zt , Kt ); 0 ≤ t ≤ T } vérifiant :

Z T
Z T


Yt = ξ +
g(s, ω, Ys , Zs )ds + KT − Kt −
Zs dWs , 0 ≤ t ≤ T,



t
t
(1.1)
Yt ≥ L t ,
Z T





Yt − Lt dKt = 0.
0
8
K est un processus continu, croissant et son rôle est de pousser le processus Y afin de le mainRT
tenir au-dessus de la barrière L. La condition 0 (Yt − Lt )dKt = 0 assure que l’action de K se
fait avec une energie minimale. Plus précisement, le processus K ne croît que sur l’ensemble
{Y = L}.
Le développement des EDSR réfléchies a été motivé par deux applications importantes : l’évaluation et la couverture des options Américaines, en particulier dans des marchés avec contraintes et
la représentation probabiliste des solutions des problème d’obstacle pour les EDP non-linéaires.
Pour la première application en mathématiques financières, El Karoui, Pardoux and Quenez
in [EPQ97] ont été les premiers à montrer que dans un marché complet, le prix d’une option
américaine d’actif contingent (Lt )t≤T et de prix d’exercice γ est donné par Y0 où (Yt , πt , Kt )t≤T
est la solution de l’EDSR réfléchie suivante
(
−dYt = b(t, Yt , πt )dt + dKt − πt dWt , YT = (LT − γ)+ ,
RT
(Yt − (Lt − γ)+ )dKt = 0
Yt ≥ (Lt − γ)+ and
0
pour un choix particulier de la fonction b. Le processus π nous donne la stratégie de replication et
K représente le processus de consommation de l’acheteur de l’option. Dans un marché financier
standard, la fonction b est donnée par b(t, ω, y, z) = rt y + zθt où θt est le risque primum et rt
le taux d’intérêt d’investissement ou d’emprunt. El Karoui et al. [EKPPQ97] ont montré en
particulier :
Théorème 1.1.1. ([EKPPQ97]) Sous les hypothèses suivantes :
1. La valeur terminale ξ ∈ L2 (Ω, FT ),
2. le coefficient g est uniformément lipschitzien en (y, z) et g(·, 0, 0) ∈ L2 ([0, T ] × Ω),
3. la barrière L est un processus réel continu, adapté vérifiant ξT ≥ LT , P-p.s et
2
E sup0≤t≤T (L+
< ∞.
t )
Il existe une unique solution (Y, Z, K) de l’EDSR réfléchie (1.1) telle que K est un processus
adapté, continu et croissant et K0 = 0. De plus, Y représente la solution du problème d’arrêt
optimal suivant :
i
hZ τ
Yt = ess sup E
g(s, Ys , Zs )ds + Lτ 1{τ <T } + ξ1{τ =T } Ft
(1.2)
τ ∈It,T
t
avec It,T est l’ensemble des temps d’arrêt compris entre t et T .
9
El Karoui et al. [EKPPQ97] ont utilisé deux méthodes différentes pour démontrer ce résulat : la première est basée sur la théorie de l’enveloppe de Snell et la deuxième était la méthode
de pénalisation classique.
1.1.1
Coefficient continu et à croissance linéaire
Dans [1] nous généralisons le résultat du Théorème 1.1.1 ([EKPPQ97]) en affaiblissant les
conditions sur le coefficient g.
Théorème 1.1.2. ([1]) L’EDSRR (1.1) associée à (ξ, g, L) admet une solution minimale
(Y, Z, K) ; dans le sens où si (Y 0 , Z 0 , K 0 ) est une autre solution de (1.1), alors Y ≤ Y 0 Pp.s., sous l’hypothèse que le coefficient g est continu et à croissance linéaire en (y, z).
Ce résultat est basé sur des techniques de régularisation par l’inf-convolution utilisées déjà
dans [LS97] : pour g : Rd → R une fonction continue et à croissance linéaire i.e. |g(x)| ≤
k(1 + |x|) = bk (x). La suite gn (x) = inf y∈Qd g(y) + n|x − y| = g b0n (x) est définie comme
l’inf-convolution de la fonction g avec la fonction b0n (x) = n|x|, et vérifie les propriétés suivantes :
(i) |gn (x)| ≤ k(1 + |x|) = bk (x),
(ii) la suite gn est croissante,
(iii) la suite gn est une fonction lipschitzienne : |gn (x) − gn (x0 )| ≤ n|x − x0 |,
(iv) si xn → x, alors gn (xn ) → g(x).
Nous considérons alors la suite (Y n , Z n , K n ) solution de l’EDSRR associée à (ξ, gn , L). Puis,
grâce au théorème de comparaison et des estimations à priori uniformes, nous construisons la
solution minimale Y = lim % Y n .
1.1.2
Coefficient à croissance monotone en y et Lipsichitz en z
Notre contribution [6] avec Jean-Pierre Lepeltier et Mingyu Xu se concentre sur l’étude
de l’EDSRR (1.1) à coefficient lipischitzien en z mais vérifiant une hypothèse de monotonicité
en y et à croissance quelconque. La motivation principale de considérer ce type de coefficient
provient de la théorie des équations aux dérivées partielles. Un cas particulier auquel nous
nous sommes intéressés dans [9] est celui où le coefficient g est à croissance polynômiale en
y, nous reviendrons sur ce cas dans le cadre markovien plus loin dans ce chapitre. Dans le
cadre des EDSR standards, Pardoux [P99] (voir [DP97] et [BC00]) a étudié les EDSR avec un
10
coefficient vérifiant la condition de monotonicité, dans [6] nous avons généralisé ce resultat pour
les EDSRR
Théorème 1.1.3. ([6]) l’EDSRR (1.1) admet une unique solution (Y, Z, K) telle que K un
processus adapté continu croisssant et K0 = 0, sous les hypothèses suivantes sur le coefficient
et la barrière :
1. Le coefficient g est uniformément lipschitzien en z :
|g(t, y, z) − g(t, y, z 0 )| ≤ C |z − z 0 |
et vérifie la condition de monotonicité en y : il existe un réel µ tel que
(y − y 0 )(g(t, y, z) − g(t, y 0 , z)) ≤ µ(y − y 0 )2
2. le coefficient g est continu en y,
3. g a une croissance dirigée par une fonction ϕ :
|g(t, y, 0)| ≤ |g(t, 0, 0)| + ϕ(|y|),
avec ϕ : R+ −→ R+ est une fonction continue et croissante.
4. la barrière (Lt )0≤t≤T est un processus réel continu satisfaisant LT ≤ ξ et la condition
d’intégrabilité suivante :
E ϕ2 ( sup (eµt L+
t )) < ∞.
0≤t≤T
Tout d’abord, la condition de monotonicité sur g peut être réduite à la condition de décroissance en y (en prenant µ = 0). En effet, si (Y, Z, K) est solution de l’EDSRR (1.1) associée
Rt
à (ξ, g, L) alors (Y t , Z t , K t ) := (eλt Yt , eλt Zt , 0 eλs dKs ) est solution l’EDSRR (1.1) associée à
(ξ, g, L) avec ξ = ξeλT , g(t, y, z) = eλt g(t, e−λt y, e−λt z) − λy, Lt = eλt Lt . En particulier, si on
prend λ = µ alors le coefficient g satisfait la condition de monotonicité avec µ = 0, ce qui est
équivalent dans notre cas uni-dimensionnel à g décroissante en y. Nous faisons aussi remarquer
que la condition d’intégrabilité sur la barrière est une condition naturelle puisqu’elle correspond
exactement à la condition donnée dans [EKPPQ97] pour un coefficient g à croissance linéaire
en y.
Notre travail se restreint au cas où g est de la forme g(t, y, Vt ) avec V un processus dans
2
L (le cas général est traité en utilisant un argument de point fixe). On applique la méthode
de pénalisation et on sait d’après [P99] qu’il existe une unique solution (Y n , Z n ) de l’EDSR
11
standard associée à (ξ, gn ) avec gn (t, y) = g(t, y) + n(y − Lt )− . On pose dKtn = n(Yt − Lt )− dt.
On montre alors la convergence de la suite (Y n , Z n , K n ) dans les espaces standards des EDSR.
La difficulté technique supplémentaire qu’il faut surmonter dans notre situation provient entre
autre de l’hypothèse d’intégrabilité sur la barrière.
1.1.3
Problème d’obstacle pour des EDP semi-linéaires
Ce travail [9] réalisé avec Mingyu Xu est la motivation essentielle de [6]. Nous considérons
u solution d’un problème d’obstacle pour une EDP semi-linéaire parabolique suivante :
(i) (∂t + L)u + g(t, x, u, Dσ u) ≤ 0,
sur
(ii) (∂t + L)u + g(t, x, u, Dσ u) = 0,
sur
u(t, x) ≥ ϑ(t, x),
u(t, x) > ϑ(t, x),
(iii) u(x, T ) = ψ(x) .
d
X
d
∂
1X
∂2
avec Dσ u = σ ∇u, L =
bi
+
et a = σσ ∗ .
ai,j
∂x
2
∂x
∂x
i
i
j
i=1
i,j=1
Le coefficient g, la valeur terminale ψ et l’obstacle ϑ ne sont pas supposés réguliers, d’où la
nécessité de chercher une solution faible au sens variationnel. Les analystes ont étudié les solutions de ce problème de point de vue inégalités variationnelles dans des espaces de type
Sobolev (voir [BL78], [KS80]). El Karoui et ces co-auteurs dans [EKPPQ97] ont donné une
interprétation probabiliste de la solution de viscosité à ce problème via la solution d’une équation différentielle stochastique progressive-rétrograde réfléchie (EDSPRR en abrégé) qui sera
introduite ci-dessous. Notre point de vue de probabiliste est celui de solutions de Sobolev déjà
developpé dans [3] et [4]. En effet, un couple (u, ν) est dit solution faible au sens de Sobolev de
l’EDP à obstacle ci-dessus associé à (ψ, g, ϑ), si
(i) u appartient à un espace de Sobolev à poids, u ≥ ϑ et u(T, .) = ψ,
(ii) ν est une mesure de Radon positive,
(iii) pour tout fonction test φ ∈ Cc1,∞ ([0, T ] × Rd )
Z T
Z T
(us , ∂s φ)ds + (u(t, ·), φ(t, ·)) − (ψ(·), φ(·, T )) +
E(us , φs )ds
t
t
(1.3)
Z T
Z TZ
=
(g(s, ·, us , Dσ us ), φs )ds +
φ(s, x)1{u=ϑ} dν(s, x)
∗
t
t
Rd
avec (·, ·) définie le produit scalaire sur L2ρ (Rd ) avec un certain poids ρ et E est l’énergie du
systéme.
12
Notre objectif dans [9] est de donner une formule de Feynmann-Kac non-linéaire pour la solution (u, ν) en utilisant une équation différentielle stochastique progressive-rétrograde réfléchie
(EDSPRR en abrégé) associée à (ψ(XTt,x ), g(s, Xst,x , ., .), Lt,x ) : pour tout s ∈ [t, T ],

Z s
Z s

t,x
t,x

σ(Xrt,x )dWr ,
b(Xr )dr +
Xs = x +



t
t


Z T
Z T



t,x
t,x
t,x
t,x
t,x
 Y t,x = ψ(X t,x ) +
g(r, Xr , Yr , Zr )dr + KT − Kt −
Zst,x dWs ,
s
T
(1.4)
s
s

t,x
t,x


Ys ≥ Ls ,



Z T



t,x

(Yst,x − Lt,x

s )dKs = 0,
t
Lt,x
s
avec
= ϑ(s, Xst,x ).
On suppose b et σ assez réguliers pour que {Xst,x , x ∈ Rd } soit un flot de difféomophisme
b t,x , x ∈ Rd } son flot inverse. L’approche que nous développons se base essenet on note par {X
s
tiellement sur des techniques de flots stochastiques introduites dans ma thèse [T] et également
utilisées dans [3] pour l’étude des EDP stochastiques semi-linéaires (voir chapitre 3 dans ce document de synthèse). En effet, il s’agit d’utiliser des fonctions tests aléatoires spéciales définies
grâce au flot inverse dans l’équation (1.3) afin d’obtenir l’EDP duale de (1.3) qui n’est autre
que l’EDSPR réfléchie. Cette idée basée sur les flots stochastiques a été également utilisée par
Kunita dans [K94a] et [K94b].
Dans [9], nous nous sommes intéressés au cas g vérifie la propriété de monotonocité en y
et lispchitzien en z. L’obstacle ϑ est supposé seulement continu et à croissance polynômiale.
C’est la même hypothèse qui a été utilisée par El Karoui dans [EKPPQ97]. La régularité faible
supposée sur l’obstacle constitue un des points forts des méthodes probabilistes (viscosité ou
Sobolev) par rapport à l’approche analytique. La puissance de cette méthode probabiliste se
manisfeste plus encore dans un travail en cours de rédaction [14] sur l’étude des problèmes
d’obstacles pour les EDP stochastiques quasi-linéaires.
Théorème 1.1.4. ([9]) Il existe une unique paire (u, ν) solution de l’EDP avec obstacle (1.3)
associée (ψ, g, ϑ) avec la représentation u(t, x) = Ytt,x . De plus, on a
Yst,x = u(s, Xst,x ), Zst,x = Dσ u(s, Xst,x ).
(1.5)
Mais encore, la mesure ν et le processus de réflection K sont liés par
Z Z T
Z Z T
t,x
t,x
b
b
φ1 (s, Xs )J(Xs )φ2 (s, x)1{u=h} (s, x)ν(ds, dx) =
φ1 (s, x)φ2 (s, Xst,x )dKst,x , p.s.,
Rd
Rd
t
13
t
(1.6)
pour φ1 et φ2 deux fonctions réelles mesurables bornées et positives.
Tout d’abord, l’intérêt principal des solutions de Sobolev est de donner une représentation
probabiliste de u et Dσ u en termes des solutions Y et Z, sans régularité préalable sur les
données (ψ, g, ϑ). L’originalité de l’expression (1.6) est telle qu’elle nous donne également la
représentation probabiliste (ou la formule de Feynmann-Kac) de la mesure de réflection ν via
le process de réflection K t,x de l’EDSPRR (1.4). Ce resultat a été donné pour la première
fois par Bally et al. [BCEF04] dans le cas où g est lipschitzienne en (y, z). Ils ont utilisé
également l’approche par les techniques des flots stochastiques mais leur méthode est basée
sur la régularisation de l’obstacle. En effet, si l’obstacle ϑ de classe C 1,2 , la barrière Lt,x est
un processus d’Itô, et dans ce cas la mesure dK t,x est absolument continue par rapport à la
mesure de Lebesgue avec une densité donnée explicitement. Ce résultat est remarquable pour
les EDSR réfléchies car il est bien connu, qu’il n’est pas vrai pour les équations progressives.
Dans [9], nous avons utilisé la méthode de pénalisation et [3] afin d’obtenir l’interprétation
probabiliste pour les solutions pénalisées. Les difficultés techniques de passage à la limite sont
semblables à celles rencontrées dans [6]. Par ailleurs, dans [9] nous généralisons les résultats de
[3] dans le cas d’un coefficient g monotone en y. La construction de la mesure ν est fortement
inspirée de [BCEF04].
1.2
Equations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies sur deux barrières
Les équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies sur deux barrières (ESDR2R
en abrégé) furent introduites par Cvitanic et Karatzas dans [CK96]. En effet, au lieu d’avoir une
seule barrière dans l’équation (1.1), on introduit une autre barrière U := (Ut )t≤T et on impose
à la solution Y de rester entre les processus L et U . La solution d’une EDSR réfléchie sur
deux barrières, associée aux données (ξ, g, L, U ), est alors un quadruple de processus adaptés
de carrés intégrables {(Yt , Zt , Kt+ , Kt− ); 0 ≤ t ≤ T } vérifiant :

Z T
Z T

+
−
−
+

Zs dWs , 0 ≤ t ≤ T,
Yt = ξ +
g(s, ω, Ys , Zs )ds + KT − Kt − (KT − Kt ) −



t
t
(1.7)
Lt ≤ Yt ≤ Ut ,
Z T
Z T





Yt − Lt dKt+ = 0 et
Ut − Yt dKt− = 0.
0
0
14
avec K + et K − sont des processus continus, croissants et leurs rôles est de maintenir le processus
Y entre les deux barrières L et U .
Ces équations sont naturellement liées aux jeux de Dynkin et aux jeux différentiels mixtes, ainsi
qu’aux options réelles (voir [CK96], [HS05], [HS06], [H02]). Nous considérons deux processus
L et U de carrés intégrables et vérifiant Lt ≤ Ut et LT ≤ ξ ≤ UT . Pour une valeur terminale
ξ ∈ L2 (Ω, FT ) et pour un coefficient g uniformément lispchitz en (y, z), on a :
Théorème 1.2.1. ([CK96]) L’EDSR2R associée à (ξ, g, L, U ) admet une unique solution
(Y, Z, K + , K − ) ; sous l’une des deux hypothèses suivantes sur les barrières :
1. condition de Mokobodski : il existe une différence de deux surmartingales cádlàg positives
et uniformément de carrés intégrables entre les deux barrières strictement séparées,
2. les deux barrières L et U sont des limites uniformes dans L2 d’une suite de processus
d’Itô.
De plus, Y peut être interprété comme la valeur d’un jeu de Dynkin, i.e., pour tout t ≤ T ,
h Z τ ∧σ
i
g(s, Ys , Zs )ds + Uτ 1[τ <σ] + Lσ T[σ≤τ <T ] + ξT 1[τ =σ=T ] Ft
Yt = ess inf τ ≥t ess supσ≥t E
t
Z τ ∧σ
= ess supτ ≥t ess inf τ ≥t E[
g(s, Ys , Zs )ds + Uτ 1[τ <σ] + Lσ 1[σ≤τ <T ] + ξT 1[τ =σ=T ] |Ft ].
t
Nous discuterons ces hypothèses sur les barrières dans le chapitre 2.
Dans [2] avec Jean-Pièrre Lepeltier et Saïd Hamadène et motivés par le problème des jeux de
Dynkin, nous avons généralisé les résultats de [CK96] en considérant des hypothèses plus faibles
sur le coefficient et également sur les barrières :
Théorème 1.2.2. ([2]) L’EDSR2R associée à (ξ, g, L, U ) admet une solution minimale
(Y, Z, K + , K − ) ; sous les hypothèses suivantes :
1. le coefficient g est continu et à croissance linéaire en (y, z).
2. l’une des deux barrières est limite p.s. d’une suite de processus d’Itô dans L2 dont le drift
est uniforment borné.
Le problème des EDSRR à deux barrières, à coefficients continus, est complexe et les difficultés sont d’abord techniques. L’approche utilisée se base d’une part sur les techniques de
régularisation par l’inf-convolution similaire à [1] et d’autre part sur la méthode de pénalisation
15
de l’une des deux barrières, celle qui est la plus régulière. Nous montrons également un résultat
de comparaison sur les accroissements dK d’une solution d’EDSR réfléchie à une barrière très
utile dans notre approche.
16
Chapitre 2
Quelques problèmes en finance et EDSR
Cette partie concerne particuliérement les articles [7, 10].
2.1
Maximisation d’utilité stochastique dans un modèle incertain
Dans notre contribution [7] réalisée avec Giuliana Bordogoni et Martin Schweizer, nous
étudions un problème de contrôle stochastique issu de la maximisation d’utilité dans un modèle
incertain. Ce problème peut être formulé d’une façon générale comme :
sup inf U(π, Q),
π
Q
(2.1)
où π appartient à un ensemble des stratégies admissibles (stratégies de portefeuilles, stratégies
de consommations, . . . ), et Q ∈ Q est l’ensemble des modèles (probabilités).
Dans le cas classique d’un seul modèle connu Q = {P } avec P la probabilité de référence,
U(π, P ) est donné sous la forme d’une espérance d’utilité sous P d’une richesse et/ou d’une
consommation finale, par exemple,
U(π, P ) = E u(XTπ ) ,
où X π est le processus de richesse de portefeuille et u est une fonction d’utilité (strictement
croissante, concave et satisfait d’autres conditions). Nous ne donnons pas de références particuliéres car il y a une littérature abondante sur le sujet. Le cas où Q n’est pas réduit à un
singleton a été étudié par Lazrak and Quenez [LQ03], Schied [S05] and Schied and Wu [SW05].
17
Leurs approches sont basées sur des idées de convexité et de dualité.
Notre approche alternative est basée sur une méthode de pénalisation : nous introduisons dans
U(π, P ) un terme de pénalisation qui dépend seulement de Q (pas de π) et nous optimisons
sur un espace plus large que Q. Ce modèle a été introduit par les économistes Anderson, Hansen and Sargent [AHS67] dans un cadre markovien en utilisant formellement des équations de
Hamilton-Jacobi-Bellman associées au problème.
Dans [7], nous proposons une étude mathématique de la partie minimisation du problème
(2.1) dans un cadre général des semimartingales. La partie maximisation a été partiellement
étudiée dans la thèse de Giualiana Bordogoni.
Nous nous plaçons dans un cadre général avec (Ω, F, F, P ) un espace de probabilité fitré où
F = (Ft )0≤t≤T est une filtration satisfaisante aux conditions usuelles (càd et complet). Nous
considérons l’ensemble des modèles Q := {Q probabilité sur Ω t.q. Q P sur FT } tel que
le processus densité Z Q est une P -martingale càdlàg
ZtQ =
dQ dQ Ft
=
E
P
dP Ft
dP
Nous identifions Z Q avec Q dans notre problème d’optmisation.
Rt
Nous notons par Stδ := exp(− 0 δs ds) le processus d’actualisation avec un taux δ = (δt )0≤t≤T
et on se donne la fonction coût suivante
δ
c(ω, Q) := U0,T
(Q) + βRδ0,T (Q) .
δ
(Q) est le terme d’utilité actualisé donné par
avec Ut,T
Z T δ
δ
Ss
δ
0 ST
Ut,T (Q) = α
U
ds
+
α
U0
δ s
δ T
S
S
t
t
t
où U = (Ut )t∈[0,T ] représente le processus de consommation, UT0 représente la richesse finale
et α, α0 sont des constantes utilisées pour l’étude des cas extrémes. Rδt,T (Q) est le terme de
pénalité donné par
Z T
Ssδ
ZsQ
STδ
ZTQ
δ
Rt,T (Q) =
δs δ log Q ds + δ log Q .
St
St
Zt
Zt
t
et β > 0 est l’amplitude de ce terme. Nous proposons de résoudre le problème de contrôle
suivant
minimiser Q 7−→ Γ(Q) := EQ c(., Q)
18
sur l’espace des probabilités Q P sur FT . On note que Γ(Q) représente U(π, Q) pour un π
fixé.
Sous la probabilité de référence P , Γ(Q) s’écrit :
Z
Z T
Q
0 δ 0
δ
+ β EP
Ss Us ds + α ST UT
Γ(Q) = EP ZT α
0
T
δs Ssδ Zsδ
log ZsQ
ds +
STδ ZTQ
log ZTQ
.
0
(2.2)
Le deuxième terme de la dernière expression fait apparaître l’entropie relative de Q par rapport
à P sur FT :

h
i
 EQ log Z Q ,
si Q P on FT
T
H(Q|P ) :=
 + ∞,
sinon
Ce terme exprime le choix du modèle Q par rapport à la probabilité de référence P , puis que
l’entropie relative représente la "distance" entre Q et P .
Plus particulièrement nous définissons Qf comme l’ensemble des probabilités Q sur (Ω, F)
telle que Q P sur FT , Q = P sur F0 et H(Q|P ) < ∞ et nous notons par Qef := {Q ∈
Qf | Q ≈ P on FT }.
Nous détaillons les hypothèses et les espaces des solutions car ils ne sont pas standards :
D0exp est l’espace des processus progressivement mesurables y = (yt ) tels que
h
i
EP exp γ ess sup0≤t≤T |yt | < ∞, pour tout γ > 0 .
D1exp est l’espace des processus progressivement mesurables y = (yt ) tels que
h
Z
T
|ys | ds
EP exp γ
i
< ∞ pour tout γ > 0 .
0
Hypothèse (H) : 0 ≤ δ ≤ kδk∞ < ∞, U ∈ D1exp et EP exp γ|UT0 | < ∞, pour tout γ > 0.
Sous cette hypothèse, nous avons d’abord l’estimation suivante :
i
h
EP STδ ZTQ log ZTQ ≥ −e−1 + e−kδk∞ H(Q|P )
pour tout Q ∈ Q. Par conséquent notre problème de minimisation de la fonction Q → Γ(Q)
n’a de sens que si Q ∈ Qf .
19
Le cas δ = 0 correspond à
0 1 0
Γ(Q) = EQ U0,T + βH(Q|P ) = βH(Q|PU ) − β log EP exp − U0,T
.
β
1 0
dPU
= c exp − U0,T . La solution de notre problème a été donnée par Csiszar
où PU ≈ P et
dP
β
[C75] qui a montré l’existence et l’unicité d’une probabilité optimale Q∗ ≈ PU qui minimise
l’entropie relative H(Q|PU ).
2.1.1
Existence et unicité d’une probabilité optimale
Pour δ 6≡ 0, nous montrerons qu’il existe une unique probabilité optimale Q∗ qui minimise
Γ(Q) et Q∗ ≈ P .
Proposition 2.1.1. ([7]) Sous l’hypothèse (H), il existe deux constantes C > 0 et C 0 > 0
telles que
(i) Γ(Q) ≤ EQ [|c(·, Q)|] ≤ C (1 + H(Q|P ))
et
(ii) H(Q|P ) ≤ C 0 (1 + Γ(Q)) , pour tout Q ∈ Qf .
Comme conséquence directe nous avons : inf Q∈Qf Γ(Q) > −∞. Nous savons également que
c (., Q) est Q-intégrable pour tout Q ∈ Qf , mais pas uniformément intégrable en Q.
Nous montrerons pour une filtration quelconque F le résultat suivant :
Théorème 2.1.1. ([7]) Il existe une unique probabilité Q∗ ∈ Qf qui minimise Q 7→ Γ(Q) pour
tout Q ∈ Qf .
L’unicité est une conséquence directe de la convexité stricte de la fonction Q 7→ Γ(Q). Afin
de montrer l’existence, nous nous donnons une suite minimisante (Qn )n∈N éléments de Qf telle
que
& − lim Γ(Qn ) = inf Γ(Q) > −∞
n→∞
Q∈Qf
20
n
et on note par Z n = Z Q le processus densité. Nous appliquons le Théorème de Komlós pour
∞
produire un candidat Q pour notre problème et on note par Z̄T∞ la limite P -p.s. d’une combinaison convexe (Z̄Tn ) formée à partir de la suite (ZTn )n∈N . Il reste à montrer la propriété de
minimalité de notre candidat. Si on considère Γ(Q) comme une fonction f (Z Q ) où Z Q est le
∞
processus densité, alors les arguments classiques pour montrer la minimalité de Q sont la
convexité et la continuité semi-inférieure de la fonction f . Ce dernier point a été particulièrement délicat à prouver.
Ces problèmes d’intégrabilité n’ont pas lieu d’être si nous supposons que U 0 et U sont uniformément bornés inférieurement. C’est pourquoi la difficulté majeure de notre travail provienne
de l’hypothèse d’intégrabilité exponentielle sur U et U 0 .
Nous adaptons maintenant des arguments utilisés par Frittelli [F00] pour montrer le résultat
suivant :
Théorème 2.1.2. ([7]) Sous l’hypothèse (H), la probabilité optimale Q∗ est équivalente à P .
2.1.2
EDSR associée à notre problème de contrôle
Notre approche traite aussi le problème de minimisation de Q 7→ Γ(Q) comme un problème
de contrôle stochastique, d’où la nécessité d’introduire le coût minimal conditionnel
J(τ, Q) := Q − ess infQ0 ∈D(Q,τ ) Γ(τ, Q0 )
0
avec Γ(τ, Q) := EQ [c(·, Q) | Fτ ], D(Q, τ ) = {Z Q | Q0 ∈ Qf et Q0 = Q sur Fτ } et τ un temps
d’arrêt.
Par conséquent, le principe de programmation dynamique et le fait que Q = P sur F0 pour
tout Q ∈ Qf nous permet d’écrire notre problème d’optimisation comme :
inf Γ(Q) = inf EQ [c(·, Q)] = EP [J(0, Q)].
Q∈Qf
Q∈Qf
Nous avons le principe d’optimalité martingale de Bellman pour notre problème de contrôle :
Proposition 2.1.2. Nous assumons l’hypothèse (H). Alors :
1) {J(τ, Q) | τ ∈ S, Q ∈ Qf } est une famille de sous-martingale ;
2) Q̃ ∈ Qf est optimale si et seulement si {J(τ, Q̃) | τ ∈ S} est une famille de Q̃-martingale ;
3) Pour tout Q ∈ Qf , il existe un processus càdlàg J Q = (JtQ )0≤t≤T qui est une Q-sousmartingale fermée à droite telle que
JτQ = J(τ, Q).
21
La valeur du problème du contrôle qui débute en τ (au lieu de 0) est :
V (τ, Q0 ) := Q − ess infQ0 ∈D(Q,τ ) Ṽ (τ, Q0 )
Par des arguments standards de la théorie de contrôle, nous montrons que Ṽ (τ, Q0 ) ne dépend
0
que de la valeur de Z Q sur ]τ, T ] (et donc pas de Q), on note la valeur du problème du
contrôle par V (τ ). De plus V est une P-semimartingale avec une décomposition canonique
V = V0 + M V + AV .
Dans le cas où la filtration est continue, on pourra décrire plus précisement M V et AV .
Nous introduisons l’équation différentielle rétrograde non standard (EDSR en abrégé) suivante :

 −dYt = (αUt − δt Yt )dt − 1 d < M >t − dMt
2β
(2.3)

0 0
YT = α UT
Une solution de l’EDSR est une paire (Y, M ) où Y est une P -semimartingale et M est une
martingale locale avec M0 = 0. Nous rappellons que le processus U = (Ut )t≥0 et la variable
aléatoire UT0 vérifient l’hypothèse d’intégrabilité (H).
Le cas δ ≡ 0 a été étudié par Schroder et Skiadas [SS99] dans le cadre d’une filtration brownienne. Dans cette article ils considèrent des EDSR particulières quadratiques en Z avec une
condition finale non bornée. Ils ont considéré également le même type de problème mais d’un
point de vue de l’utilité différentielle récursive introduite par Duffie et Epstein [DE92]. Une
adptation des arguments de Schroder et Skiadas [SS99] nous donne le résultat suivant :
Lemme 2.1.1.Soit (Y,
M ) une solution de la BSDE tel que M est continu. On suppose que
exp
1
Y ∈ D0 ou E − β M est une P −martingale.
Pour tout temps d’arrêts σ ≤ τ , Y vérifie la relation récursive suivante :
Z τ
i
h
1
1
(δs Ys − αUs ) ds − Yτ Fσ
Yσ = −β log EP exp
β σ
β
Comme conséquence directe de ce lemme, nous avons l’unicité de la solution pour les EDSR
(2.3) :
Proposition 2.1.3. ([7]) (i) Pour tout semimartingale Y , il existe au plus une P -martingale
locale M telle que le couple (Y, M ) est solution de ł’équation (2.3).
22
(ii) Sous l’hypothèse (H), l’EDSR (2.3) admet au plus une solution (Y, M ) avec Y ∈ D0exp et
M est continu.
Nous sommes maintenant en mesure de donner la description de la dynamique de la valeur
de notre problème de contrôle :
Théorème 2.1.3. ([7]) Si la filtration F est continue, le couple (V, M V ) est l’unique solution
dans D0exp × M0,loc (P ) de l’EDSR (2.3). De plus,
1 V
∗
E − M
= ZQ
β
est une P −martingale dont le sup est dans L1 (P ) avec Q∗ la probabilité optimale. Mais encore
la martingale M V est dans tous les espace Mp0 (P ) pour p ≥ 1.
Remarque 2.1.1. Soit ξ une v.a. FT -mesurable tq. exp(γ|ξ|) ∈ L1 (P ) pour tout γ > 0. Soit δ
un processus positif et uniformément borné et ρ ∈ D1exp . Si la filtration F est continue, il existe,
pour tout β > 0, un couple (V, M ) solution unique dans D0exp × M0,loc (P ) de l’EDSR

 dYt = (ρt + δt Yt )dt + 1 d < M >t + dMt
2β

YT = ξ
En plus M est dans tous les espace Mp0 (P ) pour p ≥ 1.
Si on se place dans un cadre brownien F = FW , alors l’EDSR de structure (2.3) prend la forme
d’une EDSR standard quadratique en z :

1

2
 dYt = ρt + δt Yt +
|Zt | )dt + Zt · dWt
2β

Y = ξ
T
Notre résultat généralise les travaux de Kobylanski [Kob00], Lepeltier et San Martin [LS98]
et de El Karoui et Hamadène [EH03]. Le travail le plus récent sur ces équations de Briand et
Hu [BH05] ne couvre pas notre cas à cause de l’hypothèse sur ρ mais en contre partie Briand
et Hu [BH05] traite le cas du coefficient dependant de Y d’une façon non-linéaire.
23
2.2
Equations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies avec sauts pour des obligations convertibles
Cette partie concerne particulièrement l’article [10].
Nous avons introduit dans le chapitre 1 section 2.4 les équations différentielles stochastiques
rétrogrades réfléchies sur deux barrières (EDSR2R en abrégé) dans le cadre d’une filtration
brownienne. Dans un modèle incluant des sauts poissoniens, Hamadène et Hassani [HS06] ont
étudié ces EDSR2R (voir aussi [X05], [LS04], [HO03]). Ils ont montré que l’existence de la
solution des EDSR2R est équivalente à la condition de Mokobodski sur les barrières introduites
dans le Théorème 1.2.1.
Dans l’article [10] réalisé avec Stéphane Crépey nous discutons cette condition de Mokobodski en la reliant à l’existence des quasi-martingales entre les barrières. En effet, nous prouvons
que si l’une des deux barrières est une quasi-martingale dans S 2 alors le processus réfléchi
associé est absolument continu par rapport à la mesure de Lebesque, ce qui généralise le résultat de [EKPPQ97], [BCEF04] et [2]. Nous montrons l’existence de la solution par un procédé
d’approximation différent de [HS06] afin de donner des estimations à priori, des estimations
d’erreurs ainsi qu’un résultat de comparaison.
La motivation essentielle de ce travail a été l’application des EDSR2R pour les obligations
convertibles en finance. Ce problème a été entre autre introduit par Bielecki, Crépey, Jeanblanc
et Rutkowski dans [BCJRa], [BCJRb], [BCRJc]. Dans ce cadre, la barrière inférieure L est
donnée par payoff d’un call sur un sous-jacent S = (St )t∈[0,T ] qui est modélisé par une diffusion
incluant des sauts et des changements de régimes. La composante Y de la solution de l’EDSR2R
donne le prix d’arbitrage pour l’obligation.
Nous nous plaçons dans le modèle suivant : soit (E, BE , ρ) un espace mesuré avec ρ une mesure
σ-finie et positive sur (E, BE ). Nous introduisons les EDSR2R dans le modèle dirigé par un mouvement brownien W = (W )∈[0,T ] d-dimensionnel et une mesure aléatoire µ = (µ(dt, de))t∈[0,T ],e∈E
à valeurs dans N ∪ {+∞} défini sur ([0, T ] × E, B ([0, T ]) ⊗ BE ) telle que µ(ω, {t} × E) ≤ 1.
Nous notons la mesure compensée µ
e(dt, de) = µ(dt, de) − ζt (ω, e)ρ(e)dt avec ζ une fonction
aléatoire positive et uniformément bornée. On note par S 2 l’espace des processus càdlàg unformement de carré intégrable, par H2 l’espace des processus prévisibles dans L2 (×Ω), par Hµ2
l’espace des processus prévisibles de carré intégrable par rapport au compensateur ζt (e)ρ(de)dt.
Enfin, on note par A2i l’espace des processus continus et croissants nuls en zéro et appartenant
à S 2 et par A2 l’espace des processus à variation finis K = K + − K − avec K + , K − ∈ A2i .
24
On se donne une valeur terminale ξ de carré intégrable, deux processus L := (Lt )t≤T et
U := (Ut )t≤T appartenant à S 2 qui jouent le rôle des barrières (ou obstacles) et tels que Lt ≤ Ut
et LT ≤ ξ ≤ UT , P − p.s.. La solution d’une EDSR2R associée aux données (ξ, g, L, U ) est un
quadruple de processus adaptés (Y, Z, V, K) ∈ S 2 × H2 × Hµ2 × A2 vérifiant :
Z



(i) − dYt = gt (Yt , Zt , Vt )dt + dKt − Zt dWt −
Vt (e)e
µ(dt, de), ∀ t ∈ [0, T ]



E
(ii) Lt ≤ Yt ≤ Ut ,
(2.4)
Z T
Z T




 (iii) Kt = Kt+ − Kt− ,
Yt − Lt dKt+ = 0 et
Ut − Yt dKt− = 0.
0
0
Nous assumons que g est uniformément lipschitzien en (y, z, v) et g· (0, 0, 0) ∈ H2 .
Etant donné que nous n’avons pas supposé l’indépendance du mouvement brownien W et de
la mesure aléatoire µ, nous assumerons :
(H) toute martingale M = (Mt )t∈[0,T ] prévisible et de carré intégrable se représente comme :
Z
Z tZ
t
Vs (e)µ(ds, de)
Zs dWs +
Mt = M0 +
0
0
E
pour Zs ∈ H2 et V ∈ Hµ2 .
(H’) Les barrières L, U ∈ S 2 sont quasi-continues à gauche.
Nous avons le resultat suivant :
Proposition 2.2.1. ([HS06], [10]) Assumons (H) et (H’). Il existe une solution de (Y, Z, V, K)
de l’EDSR2R associée (ξ, g, L, U ) dans le sens ci-dessus si et seulement si la condition de
Mokobodski est vérifiée pour les barrières L, U ∈ S 2 . En particulier, nous avons l’existence si
l’une des barrières L ou U est une quasi-martingale.
Une des motivations de l’article [10] a été d’obtenir des estimations à priori (et des estimations d’erreurs et un théorème de comparaison) sur la solution de l’EDSR2R, nécessaire pour
l’étude numérique de notre application pour les obligations convertibles (travail en cours [18] en
collaboration avec Stéphane Crépey). Dans [18], nous nous intéressons aux solutions de Sobolev des équations intégro-différentielles avec obstacles associés aux EDSR2R couplées avec des
équations progressives avec sauts et changements de régimes. L’objectif est la représentation
du gradient de la solution de l’EDPI en terme de la composante Z de la solution de l’EDSR2R.
Cependant nous avons besoin de résultats sur les EDPI standards sans obstacles (voir Barles,
25
Buckdahn et Pardoux [BBP97] pour les solutions de viscosité). Ces resultats sont obtenus dans
[15] en collaboration avec Hao Wang. Dans [15], nous développons l’approche variationnelle
pour les EDPI en se basant sur la méthode des flots stochastiques déjà utilisée dans [3], [4] et
[9]. Dans le cadre Markovien, nous avons besoin (quitte à passer par une régularisation préalable de l’obstacle) de caractériser l’un des processus de réfléction K + ou K − , d’où le résultat
suivant :
Proposition 2.2.2. ([10]) Soit (Y, Z, V, K) solution de l’EDSR2R associée à (ξ, g, L, U ) vérifiant les hypothèses ci-dessus. Si L est une quasi-martingale dans S 2 de décomposition canonique
Lt = L0 + Mt + At avec M une martinagle uniformément intégrable et A un processus prévisible
à variation intégrable. Alors dKt+ ≤ 1I{Yt =Lt } gt− (Lt , Zt , Vt )dt + dA−
dt où A = A+ − A− est
t
la décomposition de Jordan du processus A.
Ce résultat a été prouvé dans la cadre brownien sans sauts par El Karoui et al. [EKPPQ97]
et Bally et al. [BCEF04], nous en faisons l’extention dans notre cas.
26
Chapitre 3
EDP stochastiques semi-linéaires et
équations différentielles doublement
stochastiques rétrogrades
Cette partie concerne particulièrement les articles [3, 4].
3.1
3.1.1
Formule de Feynman-Kac pour les solutions d’EDP
stochastiques semi-linéaires
Introduction
Pardoux et Peng [PP94] ont introduit l’équation différentielle doublement stochastique rétrograde (EDDSR en abrégé) suivante :
Z
Ys = ξ +
T
Z
T
f (r, Yr , Zr ) dr +
s
s
←−
h(r, Yr , Zr ) dB r −
Z
T
Zr dWr .
(3.1)
s
où {Ws , 0 ≤ s ≤ T } et {Bs , 0 ≤ s ≤ T } sont deux mouvements browniens indépendants et
l’intégrale stochastique par rapport à {Bs } est une intégrale d’Itô rétrograde (voir [K82], [K90]
pour la définition). Leur motivation essentielle a été de donner une formule de Feynman-Kac
27
pour la solution de l’EDPS semi-linéaire associée à (ψ, f, h) écrite sous la forme intégrale :
Z T
{Lu(s, x) + f (s, x, u(s, x), (∇u σ)(s, x))} ds
u(t, x) = ψ(x) +
t
(3.2)
Z T
←−
h(s, x, u(s, x), (∇u σ)(s, x) ) dB s ,
+
t
où
L =
d
X
i=1
d
∂
1X
∂2
bi
+
(σ σ ∗ )i,j
∂xi
2 i,j=1
∂xi ∂xj
est le générateur infinitésimal du processus de Markov {Xst,x ; t ≤ s ≤ T }, unique solution forte
de l’EDS suivante :
Z s
Z s
t,x
t,x
Xs = x +
b(Xr ) dr +
σ(Xrt,x ) dWr .
(3.3)
t
t
Pour établir le lien entre les EDDSR et les EDPS ci-dessus, ils avaient considéré l’EDDSR
markovienne suivante :
Z T
Z T
Z T
−
t,x
t,x
t,x
t,x
t,x
t,x
t,x
t,x ←
Ys = ψ(XT ) +
f (r, Xr , Yr , Zr )dr +
h(r, Xr , Yr , Zr )dB r −
Zrt,x dWr . (3.4)
s
s
s
Sous des conditions de régularité assez fortes sur les coefficients, ils démontrent l’existence et
l’unicité d’une solution classique de l’EDPS (3.2) donnée par u(t, x) := Ytt,x .
3.1.2
Cas d’EDPS linéaire avec condition terminale singulière
Dans [3], nous étudions les EDPS avec condition terminale de type distribution tempérée
et à coefficients f (t, x, y, z) = F (t, x) + ct y et h(t, x, y, z) = H(t, x) + dt y avec Fs et Hs
appartenant à des espaces de Sobolev à poids. Nous donnons une formule de Feynman-Kac
pour les solutions faibles des EDPS associées à (G, f, h) : pour toute fonction test ϕ ∈ DT , on
a P-p.s.,
Z T
Z T
( L us , ϕ(s, .) ) ds
( us , ∂s ϕ(s, .) ) ds − ( G , ϕ(T, .) ) + (ut , ϕ(t, .)) −
t
t
Z T
=
[( Fs , ϕ(s, .)) + cs ( us , ϕ(s, .) )] ds
(3.5)
t
+
l Z
X
j=1
T
←−
{ ( Hsj , ϕ(s, .) ) + djs ( us , ϕ(s, .) ) } dB js
t
28
à l’aide des solutions faibles d’EDDSR définies par :
Z T
t,.
t,.
( Ys , ϕ ) = (G(XT ), ϕ ) +
[ (Fr (Xrt,. ), ϕ ) + cr ( Yrt,. , ϕ ) ] dr
s
+
l Z T
X
j=1
[ (Hrj (Xrt,. ), ϕ )
+
djr
( Yrt,. ,
d Z T
X
←−j
ϕ ) ] dB τ −
( Zrt,.,i , ϕ ) dWri
s
i=1
(3.6)
s
où (·, ·) désigne le crochet de dualité sur l’espace des distributions.
Etant donné que G, Fs et Hs sont de type distributions, il faut donner un sens à la composée
du flot par une distribution. Pour cela, l’outil principal est le flot {Xst,x ; x ∈ Rd } associé à l’EDS
progressive (3.3). Nous savons (voir [B80], [K82], [K90]) que si les coefficients de la diffusion
sont réguliers, alors x → Xst,x est un flot de difféomorphisme. Nous notons par X̂st,x son flot
inverse.
Nous donnons un sens à la valeur terminale de l’EDDSR (3.6) de la façon suivante (voir aussi
Kunita [K94a]) : Soit G une distribution tempérée alors, pour toute fonction test ϕ ∈ Cc∞ (Rd ),
on a P-p.s.,
(G(XTt,. ), ϕ ) = ( G, ϕt (T, x) )
(3.7)
où (ϕt (s, x)) est la fonction aléatoire donnée par
ϕt (s, x) := ϕ(X̂st,x ) J(X̂st,x ),
(3.8)
avec J(X̂st,x ) le jacobien de X̂st,x . A titre d’exemple, si u est une fonction localement intégrable,
nous obtenons par le changement de variable x = X̂st,y :
Z
Z
Z
t,.
t,x
t,y
t,y
( u ◦ Xs , ϕ ) :=
u( Xs ) ϕ(x) dx =
u(y) ϕ( X̂s ) J( X̂s ) dy =
u(y) ϕt (s, y) dy
Rd
Rd
Rd
Cette famille de fonctions tests aléatoires va permettre d’établir le lien entre les EDDSR
faible et l’EDPS associée.
Nous allons d’abord introduire les espaces des solutions. soit ρ une fonction poids vérifiant
certaines conditions d’intégrabilité et soit Hkρ l’espace de Sobolev à poids muni de la norme
X Z
2
|ϕ|k,ρ =
|Dα ϕ(x)|2 ρ(x) dx
0≤|α|≤k
Rd
0
et Hk,ρ
l’espace dual de Hkρ muni de la norme kukk,ρ := sup {|( u, ϕ )| : ϕ ∈ Hkρ , |ϕ|k,ρ ≤ 1}.
Nous allons donner des estimations à priori qui vont nous permettre de donner un sens aux
coefficients de l’EDDSR (3.6).
29
0
0
. De plus, il existe une
alors G ◦ Xst,. ∈ Hk,ρ
Proposition 3.1.1. ([K94a], [K94b]) Si G ∈ Hk,ρ
constante c > 0 telle que
E ku(Xst,. )k2k,ρ ≤ c kuk2k,ρ , ∀t, s ∈ [0, T ].
(3.9)
0
Si v est un processus à valeurs dans Hk,ρ
et independant du flot Xst,. , alors il existe une constante
C > 0 telle que
E kv(s, Xst,. )k2k,ρ ≤ C E kv(s, .)k2k,ρ , ∀t, s ∈ [0, T ].
(3.10)
Il apparaît, alors naturel de donner un sens à L’EDDSR (3.6) de la façon suivante : Pour
toute fonction test ϕ ∈ Hkρ , on a :
Z T
t,.
( Ys , ϕ ) = (G, ϕt (T, .) ) +
[ (Fr , ϕt (r, .) ) + cr ( Yrt,. , ϕ ) ] dr
s
+
l Z T
X
j=1
[ (Hrj , ϕt (r, .) )
+
djr
( Yrt,. ,
d Z T
X
←−j
ϕ ) ] dB τ −
( Zrt,.,i , ϕ ) dWri .
s
i=1
(3.11)
s
Nous donnons maintenant la définition suivante :
Définition 3.1.1. ([3]) Une solution de L’EDDSR (3.11) est un couple de processus
0
0
{(Yst,. , Zst,. ); t ≤ s ≤ T } − Fs -mesurable et à valeurs dans Hk,ρ
× Hk+1,ρ
tel que
Z T
{ kYst,. k2k,ρ + kZst,. k2k+1,ρ } ds < ∞.
E
(3.12)
t
Nous obtenons les résultats suivants :
0
Théorème 3.1.1. ([3]) Assume que G, Fs , Hs ∈ Hk,ρ
et c, d uniformément bornés. Alors :
(i) il existe un unique couple {(Yst,. , Zst,. ), t ≤ s ≤ T } solution de l’EDDSR (3.6) dans les sens
de la définition ci-dessus.
B
0
(ii) il existe un unique processus u = (ut )t∈[0,T ] qui est Ft,T
-adapté et à valeurs dans Hk,ρ
,
t,.
solution de l’EDPS (3.5) donnée par la représentation probabiliste ut = Yt telle que pour toute
fonction test ϕ ∈ DT , on a ∀s ∈ [t, T ], P-p.s.,
( Yst,. , ϕ ) := ( us , ϕt (s, .) ) et ( Zst,. , ϕ ) := ( ∇us σ, ϕt (s, .) ).
(3.13)
Un résultat important dans notre approche qui joue le rôle d’une formule d’Itô : nous
employons les fonctions x → ϕt (s, .) comme fonctions tests dans l’EDPS (3.5) pour obtenir la
forme duale de l’équation :
30
B
0
solution de
Proposition 3.1.2. ([3]) Soit u = (ut )t∈[0,T ] - Ft,T
-adapté et à valeurs dans Hk,ρ
∞
d
l’EDPS (3.5). Alors pour toute fonction test ϕ ∈ Cc R , on a P-p.s.,
Z T
Z T
( Luτ , ϕt (τ, .) ) dτ
( uτ ,dϕt (τ, .) ) − ( G, ϕt (T, .) ) + ( us , ϕt (s, .) ) −
s
s
Z T
(3.14)
=
[( Fτ , ϕt (τ, .) ) + cτ ( uτ , ϕt (τ, .) ) ] dτ
s
Z T
←−
[ ( Hτ , ϕt (τ, .) ) + dτ ( uτ , ϕt (τ, .) ) ] dB τ , ds ⊗ dP p.s.
+
s
Etant donné que s → ϕt (s, x) est une semimartingale à variations infinies, le premier terme
du membre gauche de l’équation ci-dessus n’a pas de sens. Mais, par un procédé d’approximation
on peut donner un sens à ce terme comme intégrale d’Itô. Ce résultat nous permet d’obtenir
l’unicité de la solution de l’EDPS (3.5) à partir de l’unicité de l’EDDSR (3.6).
3.1.3
EDPS semi-linéaires à coefficients mesurables
Dans [3] nous traitons également les solutions faibles de l’EDPS semi-linéaire associée à
(ψ, f, h) avec ψ ∈ L2ρ (Rd ), f, h uniformément lipschitzien en (y, z) et f (·, ·, 0, 0) et h(·, ·, 0, 0)
appartenant à L2ρ (Rd ). Pour cela nous introduisons l’EDDSR (3.4) de valeur terminale ψ(XTt,x )
et de coefficients f (s, Xst,x , y, z) et h(s, Xst,x , y, z). Cependant les coefficienst f, h sont seulement
mesurables en (s, x), ce qui entraine que le processus f (s, Xst,x , y, z) n’est pas nécessairement
bien défini. Nous retrouvons la même difficulté pour donner un sens à la représentation probabiliste Yst,x = u(s, Xst,x ) pour u un processus à valeurs dans l’espace de Sobolev H 1 (Rd ). Nous
avons besoin du résultat suivant sur l’équivalence des normes :
Proposition 3.1.3. ([BL97], [3]) Pour une fonction poids ρ donnée, il existe deux constantes
T
positives c et C dépendant seulement de T, de la norme b dans C 1 W 1,∞ (Rd ), de la norme
T
de σ dans C 2 W 2,∞ (Rd , Rd ) et de la fonction ρ telles que pour tout t ≤ s ≤ T et ϕ ∈
L1 ( Rd , ρ(x) dx ) on ait :
Z
Z
Z
t,x
c
|ϕ(x)| ρ(x) dx ≤
E( |ϕ( Xs )| ) ρ(x) dx ≤ C
|ϕ(x)| ρ(x) dx,
(3.15)
Rd
Rd
Rd
et pour tout u ∈ L1 ( Rd × (0, T ), ρ(x) dx dt ), on a
Z Z T
Z Z T
c
|u(s, x)| ds ρ(x) dx ≤
E( |u(s, Xst,x )| ) ds ρ(x) dx ≤
Rd t
Rd t
Z Z T
C
|u(s, x)| ds ρ(x) dx
Rd
31
t
(3.16)
Ce résultat a été prouvé par Barles et Lesigne [BL97] en utilisant des outils analytiques.
Dans [3], nous le démontrons par des méthodes probabilistes basées sur des technqiues de flots
stochastiques, entre autre ce lemme :
Lemme 3.1.1.
Pour une fonction poids ρ donnée. Il existe des constantes positives c, C dépendant seulement
T
T
de T, de la norme b dans C 1 W 1,∞ (Rd ), de la norme de σ dans C 2 W 2,∞ (Rd , Rd ) et de la
fonction ρ telles que pour tout t ≤ s ≤ T , on ait :
c ≤ E(
J (X̂st,x ) ρ(X̂st,x )
) ≤ C, ∀ x ∈ Rd .
ρ(x)
Nous obtenons le résultat essentiel suivant :
B
-adapté et
Théorème 3.1.2. ([3]) Il existe un unique processus u = (ut )t∈[0,T ] qui est Ft,T
1
à valeurs dans Hρ , solution de l’EDPS semi-linéaire associée (ψ, f, h) avec la représentation
u(t, x) = Ytt,x . De plus, on a, dt ⊗ dx ⊗ dP-p.p.,
Yst,x = u(s, Xst,x ), Zst,x = ∇uσ(s, Xst,x ).
En conclusion, l’intérêt principal des solutions de Sobolev est la représentation probabiliste
de la solution de l’EDPS u et de son gradient ∇u en termes des solutions Y et Z, sans régularité
préalable sur les données (ψ, f, h). Cependant, notre approche est basée sur des techniques de
flot stochastique nécessitant la régularité des coefficients de l’EDS progressive associée à ce flot.
Une autre approche possible pour les EDPS semi-linéaires est celle des solutions de viscosité
stochastiques développées par Buckdahn et Ma dans [BM01a] et [BM01b].
3.2
EDPS dirigées par un bruit non-linéaire de type ItôKunita
Dans notre contribution [4] réalisée en collaboration avec Michael Scheutzow, nous généralisons les résultats de [3] dans le cas d’une EDPS semi-linéaire dirigée par un bruit espace-temps
de type Itô-Kunita (voir [K90], [K94a], [K94b] pour plus de détails sur ce bruit) :
( ∂t + L ) ut + f (t, x, ut , Dσ ut ) + Ḃ(t, h(t, x, ut , Dσ ut ) ) = 0,
u(T, x) = ψ(x).
32
(3.17)
Ḃ(t, y) exprime formellement la dérivée en temps d’un champs de martingales locales continues
RT
RT
B(t, y), y ∈ Rl dans le sens où t Ḃ(s, hs ) = t B(ds, hs ) est une intégrale stochastique
rétrograde (voir Kunita [K90], pour la définition). Si h est un processus adapté continu alors
Z T
X
B(ds, h(s)) = lim
B(ti , h(ti+1 )) − B(ti+1 , h(ti+1 )) en probabilité
t
i
pour t ≤ · · · ≤ ti+1 ≤ ti ≤ · · · ≤ T et quand le pas de la subdivision converge vers 0.
RT
L’intégrale d’Itô rétrograde t g(s)dW (s) classique correspond au choix de B(s, y) = yW (s)
i.e. une fonction linéaire de y, alors que le cadre de Kunita correspond à B(s, y) une fonction
P
non-linéaire de y, ce qui explique le titre de notre article. Si B(s, y) = m
i=1 κi (y)Mi (s) pour
des martingales locales continues Mi , alors
Z T
m Z T
X
B(ds, h(s)) =
κi (h(s))dMi (s).
t
i=1
t
Le cas m = ∞ est possible sous certaines conditions assurant la convergence de la série.
Dans [4], nous généralisons les travaux de Pardoux et Peng [PP94] et de Kunita [K94a],
[K94b]. En effet, nous donnons une formule de Feynman-Kac pour la solution d’EDPS (3.17)
en utilisant une EDDSR dirigée par un bruit de Itô-Kunita :
Z T
Z T
t,x
t,x
t,x
t,x
t,x
Ys = ψ(XT ) +
f (r, Xr , Yr , Zr ) dr +
B dr , h(r, Xrt,x , Yrt,x , Zrt,x )
s
s
(3.18)
Z T
t,x
Zr dWr .
−
s
Les EDPS dirigées par un bruit B(t, z) de type Kunita sont plus générales que celles dirigées
par un mouvement brownien fini-dimensionnel. En effet, elles spécifient une certaine covariance
spaciale
a(t, h(t, x, ut (x), Dσ ut (x)), h(t, y, ut (y), Dσ ut (y)))
(3.19)
de la solution u aux points x et y. Cependant dans le cas de [PP94], cette covariance est donnée
par la matrice de la forme
h(t, x, ut (x), Dσ ut (x))h∗ (t, y, ut (y), Dσ ut (y))
ce qui exclue les modèles où la covariance converge vers 0 quand |x − y| → ∞.
Un élément de comparaison très utile est celui entre l’intégrale stochastique d’Itô-Kunita
et celle par rapport à une mesure martingale introduite par Walsh [W84]. Si nous remplaçons
33
B(ds, h(.)) par h · M , où M est une mesure martingale de covariance Q, la covariance (3.19)
est donnée par
h(t, x, ut (x), Dσ ut (x))h∗ (t, y, ut (y), Dσ ut (y))Q(dt, dx, dy).
En particulier, si M est absolument continu par rapport à la mesure de Lebesgue (en la variable
d’espace), alors notre contexte couvre plus de cas que celui de Walsh. En effet, si M (dt, dx) =
m(dt, x)dx et si on défini B(t, x, z) := zm(t, x) et h̃(t, x, · · · ) = (x, h(t, x, · · · )), alors
h(t, x, · · · )m(dt, x) = B dt, h̃(t, x, · · · ) .
Nous donnons un exemple concret :
Exemple 3.2.1. Soit M (dt, dy) un bruit blanc espace-temps standard sur [0, T ] × Rl , l = d + k
à valeurs dans Rm (voir Walsh [W84] pour la définition) et nous définissons
Z
T
Z
B(t, y) =
t
φ(y − z) M (ds, dz), y ∈ Rl ,
Rl
avec φ une fonction de C 1 Rl ; Rk à support compact. La covariance spaciale de B est donnée
par
Z
a(s, y, y 0 ) =
φ(y − z)φ∗ (y 0 − z) dz, ∀ y, y 0 ∈ Rl .
Rl
Si h est l’identité sur Rd+k alors l’EDPS (3.17) peut s’écrire formellement sous la forme
intégrale
Z T
Z TZ
ut (x) = h(x) +
Lus (x) + f (s, x, · · · ) ds +
φ(x − z, us (x) − z̃)M (ds, dz, dz̃),
t
t
Rl
avec 0 ≤ t ≤ T et x ∈ Rd .
Dans [4], nous étudions l’existence et l’unicité des EDDSR (3.18) dans le cadre abstrait.
Puis, nous traitons le cas des solutions classiques ainsi que le cas des solutions faibles des
EDPS (3.17). Pour ces dernières, nous suivrons la même approche que celle dans l’article [3].
34
Chapitre 4
Principe du maximum pour des EDP
stochastiques quasi-linéaires
Cette partie concerne particulièrement les articles [11, 8, 12] présentés dans l’ordre chronologique de leurs réalisations.
4.1
Introduction
Dans la théorie des équations aux dérivées partielles (EDP en abrégé), le principe du maximum joue un rôle très important et il existe une littérature abondante sur le sujet. Il donne
une relation entre les estimations uniformes de la solution sur la frontière du domaine et celles
réalisées dans le domaine entier. Par conséquent, il permet d’étudier le comportement local
des solutions de l’EDP et il est très utile dans leurs traitements numériques. Pour les EDP
quasi-linéaires, ce principe a été prouvé par Aronson et Serrin (voir Thoérème 1 dans [AS67])
sous la forme suivante :
Théorème 4.1.1. ([AS67]) Soit u une solution faible de type Sobolev de l’EDP quasi-linéaire
parabolique suivante
∂t u = divA (t, x, u, ∇u) + B (t, x, u, ∇u)
sur le domaine cylindrique ]0, T [×O ⊂ Rd+1 . Si u ≤ M sur la frontière parabolique
{[0, T [×∂O} ∪ {{0} × O}, alors on a
u ≤ M + Cκ (A, B) ,
35
où C est une constante dependant uniquement de T, la mesure de Lebesgue de O et de la
structure de l’équation, alors que κ (A, B) est une fonctionnelle des paramètres sur les fonctions
non-linéaires A et B.
La méthode développée dans [AS67] est basée sur un schéma d’itération de Moser. Cette
itération consiste à obtenir des estimations uniformes de la norme L∞ en espace-temps à partir
des estimations astucieuses et fines des normes définies sur des espaces Lq ([0, t]; Lp (O)). Dans
nos contributions [8, 11, 12] réalisées avec Laurent Denis et Lucretiu Stoica, nous avons adapté
cette méthode afin de prouver une version stochastique du principe du maximum, dans le cadre
des EDP stochastiques quasi-linéaires de type suivant :
dut (x) = Lut (x) dt+ft (x, ut (x) , ∇ut (x)) dt +
d
X
∂i gi,t (x, ut (x) , ∇ut (x)) dt
i=1
+
d1
X
(4.1)
hj,t (x, ut (x) , ∇ut (x)) dBtj
j=1
P
où L = di,j=1 ∂i (ai,j ∂j ) est un opérateur différentiel de second ordre (sous forme divergence)
défini sur un domaine ouvert borné O ⊂ Rd . a = (ai,j ) matrice symétrique vérifiant l’hypothèse
d’uniforme ellipticitée :
X
λ|ξ|2 ≤
ai,j (x)ξ i ξ j ≤ Λ|ξ|2 , ∀x ∈ O, ξ ∈ Rd ,
(4.2)
i,j
avec λ > 0 et Λ > 0. L’énergie associée à l’opérateur L est donnée par :
E (w, v) =
d Z
X
i,j=1
ai,j (x)∂i w(x)∂j v(x) dx.
(4.3)
O
1
pour tout w, v ∈ H01 (O), ou pour w ∈ Hloc
(O) et v ∈ H01 (O) à support compact.
Les coefficients f, gi , i = 1, ..., d, hj , j = 1, ..., d1 sont des fonctionnelles prévisibles nonlinéaires en u et ∇u. Dans tout le chapitre, nous supposerons que les coefficient f, g et h sont
uniformément lipschitzien en (y, z) avec une condition de contraction
α+
β2
<λ
2
(4.4)
où α (resp. β) est la constante de Lispchitz de g (resp. h) en z. C’est une condition naturelle nécessaire pour l’existence même de la solution faible de l’EDPS (4.1). Nous définissons
36
f 0 (t, x) := f (t, x, ω, , 0, 0) et de même pour g 0 et h0 .
Soit B = (Bt )t≥0 un mouvement brownien fini-dimensionnel défini sur un espace de probabilité
filtré (Ω, F, (Ft )t≥0 , P). On se donne une valeur initiale u0 = ξ qui est une variable aléatoire
F0 -mesurable à valeurs dans L2loc (O).
Cette adaptation de la méthode d’Aronson-Serrin n’est pas évidente et nous avons dû passer
par plusieurs étapes à travers les travaux [11, 8, 12] afin d’aboutir à une forme optimale de ce
principe :
Théorème 4.1.2. ([12]) Soit p ≥ 2, M un processus d’Itô donné par
Z
t
bs ds +
Mt = m +
0
d1 Z
X
j=1
t
σj,s dBsj ,
0
et u une solution faible de l’EDPS (4.1). Si u ≤ M sur la frontière parabolique {[0, T [×∂O} ∪
{{0} × O}, alors pour tout t ∈ [0, T ] :
∗p/2 0,M 2 ∗p/2
Ek(u − M )+ kp∞,∞;t ≤ k(t)E k (ξ − m)+ kp∞ + k(f 0,M − b)+ k∗p
| kθ;t + k|h0,M − σ|2 kθ;t
θ,t + k|g
(4.5)
0,M
0,M
0,M
avec f (s, x) = f (s, x, M, 0), g (s, x) = g(s, x, M, 0), h (s, x) = h(s, x, M, 0) et k est une
fonction dépendant seulement des constantes de structures de l’EDPS.
k · k∞,∞;t est la norme uniforme sur [0, t] × O et k·k∗θ;t est une certaine norme qui sera donnée
ultérieurement.
On remarquera que si h est identiquement nulle et si les coefficients f et g sont déterministes, notre résultat couvre le resultat du Théorème 4.1.1 obtenu pour les EDP quasi-linéaires.
Dans le cadre des EDPS, il paraissait naturel de considérer la borne M = (Mt )t≥0 comme un
processus d’Itô vérifiant certaines conditions d’intégrabilité. La difficulté supplémentaire qu’il a
fallu surmonter dans notre situation, provient de la contribution de la partie martingale. Cette
dernière est représentée par l’intégrale stochastique du terme non-linéaire h(s, ω, us , ∇us ) par
rapport au mouvement brownien (Bt )t≥0 .
Nous allons d’abord introduire H = H(O) l’espace des processus prévisibles (ut )t≥0 à valeurs
dans H01 (O) tel que
1/2
Z T
2
kukT := E sup kut k2 +
E E (ut ) dt
< ∞ , pour tout T > 0 .
0≤t≤T
0
Nous définissons également Hloc = Hloc (O) l’espace des processus prévisibles (ut )t≥0 à valeurs
1
dans Hloc
(O) tel que pour tout compact K dans O et pour tout T > 0 :
37
Z
Z
2
E sup
ut (x) dx + E
0≤t≤T
K
T
Z
2
1/2
|∇ut (x)| dxdt
0
< ∞.
K
L’espace des fonctions tests est noté par D = Cc∞ ⊗ Cc2 (O), où Cc∞ est l’espace des fonctions
de classe C ∞ à supports compacts dans R+ et Cc2 (O) est l’espace des fonctions de classe C 2 à
supports compacts dans O.
Définition 4.1.1. On dit que u ∈ Hloc est solution faible de l’équation (4.1) avec condition
initiale ξ si P-p.s et pour tout ϕ ∈ D,
Z
∞
[(us , ∂s ϕ) − E (us , ϕs ) + (f (s, us , ∇us ) , ϕs ) −
0
d
X
(gi (s, us , ∇us ) , ∂i ϕs )]ds
i=1
Z
∞
(4.6)
(h (s, us , ∇us ) , ϕs ) dBs + (ξ, ϕ0 ) = 0
+
0
où (·, ·) désigne le produit scalaire dans L2 (O) et k · k2 la norme associée.
Nous notons par u = Uloc (ξ, f, g, h) la solution u de valeur initiale ξ et de coefficients f, g
et h. Si u appartient à H, nous dirons que u est solution de l’EDPS avec condition de Dirichlet
nulle au bord.
En général, nous ne savons rien sur l’espace des solutions Uloc (ξ, f, g, h), il peut être vide ou
il peut contenir plusieurs solutions. Nous savons de Denis et Stoica [DS04] que :
Théorème 4.1.3. ([DS04]) Il existe une unique solution dans H et cette solution admet des
trajectoires continues à valeurs dans L2 (O), sous les hypothèses standards suivantes :
(i) (HD2) condition d’intégrabilité de type L2 sur f 0 , g 0 et h0 :
h 2
2 i
2
E f 0 2,2;t + g 0 2,2;t + h0 2,2;t < ∞,
pour tout t ≥ 0.
(ii) (HI2) condition d’intégrabilité de type L2 sur la condition initiale :
E kξk22 < ∞.
38
4.2
Espaces Lp,q
Dans cette section, nous introduisons quelques espaces fonctionnels non standards par soucis
de clareté. Les espaces Lp,q ([0, t] × O) sont des espaces des (classes) de fonctions mesurables
u : [0, t] × O −→ R tels que
Z t Z
kukp,q; t :=
0
|u(s, x)|p dx
!1/q
q/p
ds
< ∞,
pour tout p, q ≥ 1.
O
Les cas limites où p et/ou q prennent la valeur ∞ sont considérés en utilisant la norme essentielle
sup. Pour mieux comprendre les motivations de l’introduction de ces espaces Lp,q , nous devons
garder à l’esprit que dans la théorie classique des EDP ou même plus récemment des EDS
progressives-rétrogrades, nous nous sommes intéressés aux normes de type suivant :
Z tZ
2
ku k1,∞;t + c1
|∇us |2 dxds
0
O
où c1 > 0 une constante naturelle. Or l’inégalité de Sobolev classique
Z tZ
c
|∇us |2 dxds ≥ k|u|2 k d ,1;t .
0
d−2
O
et le résultat d’interpolation sur ces espace Lp,q nous permet d’avoir
Z tZ
1
2
σ
|∇us |2 dxdts ≥ k|u|2σ kθ;t
k|u| k1,∞;t + c
0
O
pour σ = 1 + 2θ
et θ ∈ [0, 1). Cette dernière inégalité est le point clé de départ essentiel
d
permettant d’appliquer l’itération de Moser. D’où la nécessité dans cette synthèse d’explorer
davantage ces espaces Lp,q .
Les espaces Lp,q possédent des bonnes propriétés d’homogénéités et d’interpolations. En
effet, une conséquence directe de l’inégalité de Hölder nous donne :
Lp1 ,q1 ([0, t] × O) ∩ Lp2 ,q2 ([0, t] × O) ⊂ Lp,q ([0, t] × O) ,
pour tout (p, q) ∈ I où I = I(p1 , q1 , p2 , q2 ) est l’ensemble donné par
1
1 1
1
1
1
I = (p, q) ∈ [1, ∞] / ∃ ρ ∈ [0, 1] s.t. = ρ + (1 − ρ) , = ρ + (1 − ρ)
p
p1
p2 q
q1
q2
2
39
.
En particulier, nous avons l’inégalité suivante :
kukp,q;t ≤ kukρp1 ,q1 ;t kuk1−ρ
p2 ,q2 ;t ≤ kukp1 ,q1 ;t ∨ kukp2 ,q2 ;t ,
(4.7)
pour u ∈ Lp1 ,q1 ([0, t] × O) ∩\Lp2 ,q2 ([0, t] × O) .
On définit l’espace LI;t =
Lp,q ([0, t] × O), alors d’après le résultat d’interpolation, LI;t est
(p,q)∈I
réduit à l’intersection des espaces extrêmes et on a
LI;t = Lp1 ,q1 ([0, t] × O) ∩ Lp2 ,q2 ([0, t] × O) .
C’est un espace de Banach muni de la norme kukI;t := kukp1 ,q1 ;t ∨ kukp2 ,q2 ;t . Un autre espace
important est la somme algébrique des espaces Lp,q (le dual de l’espace LI;t ) donnée par
X
LI;t :=
Lp,q ([0, t] × O) ,
(p,q)∈I
qui est un espace normé muni de la norme
( n
)
n
X
X
kukI;t = inf
kui kpi ,qi ; t / u =
ui , ui ∈ Lpi ,qi ([0, t] × O) , (pi , qi ) ∈ I, i = 1, ...n; n ∈ N∗ .
i=1
i=1
Nous avons que LI;t ⊂ L1,1 ([0, t] × O) et kuk1,1;t ≤ c kukI;t , pour tout u ∈ LI;t , avec c > 0
une constante. Nous remarquons aussi que si (p, q) ∈ I, alors leur conjugués respectifs (p0 , q 0 )
appartiennent à un autre ensemble de même type I 0 qui est donné par
1
1
1
1
0
0
0 0
I = I (p1 , q1 , p2 , q2 ) := (p , q ) / ∃ (p, q) ∈ I s.t. + 0 = + 0 = 1
p p
q q
et il n’est pas difficile de voir que I 0 (p1 , q1 , p2 , q2 ) = I (p01 , q10 , p02 , q20 ) , où p01 , q10 , p02 et q20 sont les
conjugués respectifs de p1 , q1 , p2 et q2 . L’espace LI;t représente l’espace dual de LI;t dans le sens
suivant
Z tZ
0
0
O
u (s, x) v (s, x) dxds ≤ kukI;t kvkI ;t ,
0
(4.8)
pour tout u ∈ LI;t et v ∈ LI ;t . Cette inégalité prolonge le produit scalaire de L2 ([0, t] × O) en la
0
relation de dualité entre les espaces LI;t et LI ;t . Cette relation de dualité est un point important
dans les calculs.
Dans [8, 12], nous nous sommes intéressés par deux espaces particuliers de LI;t : Le cas
2d
p1 = 2, q1 = ∞ et p2 = 2∗ , q2 = 2. Si I = I (2, ∞, 2∗ , 2) , avec 2∗ := d−2
si d > 2, sinon 2∗ peut
40
être n’importe quelque réel de ]2, ∞[ si d = 2 and 2∗ = ∞ pour d = 1. L’ensemble des conjugués
∗
associés est I 0 = I 0 (2, ∞, 2∗ , 2) = I 2, 1, 2∗2−1 , 2 . Dans ce cas particulier, nous utiliserons les
0
notations L#;t := LI;t , L∗#;t := LI ;t et leurs normes associées par
0
kuk#;t := kukI;t = kuk2,∞;t ∨ kuk2∗ ,2;t , kuk∗#;t := kukI ;t .
Par conséquent, nous pouvons écrire l’inégalité de Sobolev classique comme
21
2
2
kuk#;t ≤ c1 kuk2,∞;t + k∇uk2,2;t ,
2
pour tout u ∈ L∞
loc (R+ ; L (O) )
alors
Z tZ
pour tout u ∈ L#;t et v ∈
0
O
∗
L#;t .
T
(4.9)
L2loc (R+ ; H01 (O)) et t ≥ 0. La relation de dualité devient
u (s, x) v (s, x) dxds ≤ kuk#;t kvk∗#;t ,
Le deuxième espace utilisé dans [8] et [12] est le suivant : pour tout d ≥ 1 et θ ∈ [0, 1[ on
introduit
1
d
d
1
2
∗
Γθ := I ∞,
,
, ∞ = (p, q) ∈ [1, ∞] /
+ =1−θ ,
1 − θ 2 (1 − θ)
2p q
et l’espace
∗
L∗θ := LΓθ ;t =
X
Lp,q ([0, t] × O)
(p,q)∈Γ∗θ
∗
avec la norme associée kuk∗θ;t := kukΓθ ;t . Nous obtenons sans difficulté la relation d’inclusion
suivante :
kuk∗#;t ≤ c kuk∗θ;t , pour tout u ∈ L∗θ .
4.3
Estimations uniformes pour des solutions d’EDPS avec
une condition de Dirichlet nulle
Le point de départ de notre travail dans [11] et [8] est d’établir une formule d’Itô pour la
norme Lp (O) de la solution de l’EDPS (4.1). On considére u := U(ξ, f, g, h) solution faible
de l’équation dans le sens (4.6). Etant donné la régularité faible sur l’opérateur L et sur les
coefficients f, g et h la solution u n’est pas une semimartingale en tant que processus à valeurs
dans l’espace de Sobolev H01 (O), cependant nous avons le résultat suivant
41
Lemme 4.3.1. ([DS04], [11], [8]) Soit u := U(ξ, f, g, h) solution de l’EDPS (4.6) et ϕ : R −→
R une fonction de classe C 2 telle que ϕ00 est bornée et ϕ0 (0) = 0. Alors P-p.s. pour tout t ∈ [0, T ]
Z t
Z
Z
Z t
0
(ϕ0 (us ), fs ) ds
ϕ(ξ) dx −
E ϕ (us ), us ds =
ϕ(ut (x)) dx +
O
+
O
0
d Z t
X
i=1
d
ϕ00 (us (x))∂i us (x) gi (s, x) dx ds +
O
0
1
1X
+
2 j=1
où le terme t →
Z
j=1
Z tZ
0
0
d1 Z t
X
(ϕ0 (us ), hj (s)) dBsj
0
(4.10)
ϕ00 (us (x))h2j (s, x) dx ds ,
O
Pd1 R t
j=1
0
(ϕ0 (us ), hj (s)) dBsj est une martingale uniformément intégrable.
Ce résultat a été obtenu à l’aide d’approximation basée sur la théorie des semi-groupes
associés à l’opérateur symétrique A = −L. En effet, si la valeur initiale ξ et les coefficients
f, g, h sont réguliers, plus précisément : si ξ ∈ L2 (Ω) ⊗ D(A), f, h ∈ Cc∞ ([0, ∞)) ⊗ L2 (Ω) ⊗ D(A)
et g ∈ Cc∞ ([0, ∞)) ⊗ L2 (Ω) ⊗ D(A3/2 ) alors u := U(ξ, f, g, h) est une semimartingale de carré
intégrable à valeurs dans L2 (O), et de plus, u est solution de l’EDPS (4.1) sous forme intégrale
Z
t
Z
Lus ds −
ut = ξ +
0
t
f (s) −
0
d Z
X
i=1
0
t
∂i gi (s) ds +
d1 Z
X
j=1
t
hj (s) dBsj ds.
0
Nous appliquons la formule d’Itô pour les semimartingales à valeurs dans l’espace de Hilbert
L2 (O), la formule d’intégration par partie nous donne le résultat recherché.
Dans le cas général où f, g, h ∈ L2loc R+ ; L2 (Ω × O ) et ξ ∈ L2 Ω × O , il existe une suite
(uk )k∈N de semimartingales de carrés intégrables à valeurs dans L2 (O) qui approxime dans H
la solution u := U(ξ, f, g, h) dans les sens : limk→∞ kuk − uk2T = 0 pour tout T > 0.
Maintenant nous avons la formule d’Itô pour la norme Lp
Proposition 4.3.1. ([11, 8] Soit u := U(ξ, f, g, h) solution faible de l’équation dans le sens
42
(4.6). Alors pour tout l ≥ 2, on a la formule d’Itô, pour tout t ≥ 0
Z t
Z
Z
l
l−1
|ut (x)| dx +
E l (us ) sgn(us ), us ds =
|ξ(x)|l dx
O
O
Z tZ 0
− l
sgn(us )|us (x)|l−1 f (s, x, us , ∇us ) dxds
O
0
+ l(l − 1)
d Z tZ
X
i=1
d1 Z t Z
X
+l
j=1
0
|us (x)|l−2 ∂i us (x) gi (s, x, us , ∇us ) dx ds
O
(4.11)
sgn(us )|ut (x)|l−1 hj (s, x, us , ∇us ) dxdBsj
O
0
d1 Z t Z
l(l − 1) X
+
|ut (x)|l−2 h2j (s, x, us , ∇us ) dx ds .
2
O
j=1 0
où E l (us )
l−1
sgn(us ), us = l(l − 1)
d Z
X
i,j=1
|us (x)|l−2 aij (x) ∂i us (x) ∂j us (x) dx.
O
Nous obtenons ce résultat en utilisant le Lemma 4.10 et une bonne approximation de la
fonction réelle ϕ(x) = |x|l pour l ≥ 2.
Une conséquence de la preuve de ce résultat nous donne aussi les estimations suivantes :
Z
|ut (x)|l dx ≤ cl(l − 1)ec l(l−1)t ,
E
O
et
Z tZ
E
0
|ut (x)|l−2 |∇ut (x)|2 dx ≤ c0 l(l − 1)ec l(l−1)t .
O
Nous remarquons que dans ces estimations, les constantes dependent d’une façon exponentielle
de l, ce qui nous empêche d’itérer ces estimations afin d’obtenir une estimation de la norme
uniforme de u, d’où la nécessité de faire appel à des techniques plus élaborées de type itération
de Moser.
Dans [11], nous avons adapté cette méthode d’itération pour la solution u := U(ξ, f, g, h)
solution faible (avec condition de Dirichlet nulle sur la frontière de O) dans le cas où le coefficient
h ne depend pas de ∇u. La raison de cette restriction est dû à notre incapacité (initialement)
à appliquer de façon optimale les résultats de domination du maximum de la martingale issue
de la formule d’Itô 4.11 (voir Lemma 10 in [11]).
43
Théorème 4.3.1. ([11]) On suppose que
ξ ∈ L∞ Ω × O , f 0 , g 0 , h0 ∈ L∞ R+ × Ω × O .
et on note par
K = kξkL∞ (Ω×O) ∨ kf 0 kL∞ (R+ ×Ω×O) ∨ kh0 kL∞ (R+ ×Ω×O) ∨ kg 0 kL∞ (R+ ×Ω×O;Rd ) .
Soit u = U(ξ, f, g, h) solution faible de l’équation dans le sens (4.6). Alors il existe une constante
Θ qui depend seulement de λ, α, C, |O|, d, T et K tels que
E kuk
L∞ [0, T ]×O
≤ Θ.
(4.12)
Nous exposons les grandes lignes de la preuve dont le seul objectif est d’introduire l’itération
de Moser.
Le point de départ de la preuve est la formule d’Itô (4.11). Puis nous utilisons l’hypothèse
d’uniforme ellipticité de l’opérateur L et la croissance linéaire des fonctions f, g et h pour avoir
Z
Z tZ
Z TZ
l
l−2
2
l
2 0
|ut | dx + l(l − 1)k
|us | |∇us | dx ds ≤ K + l c
|us |l dx ds
O
0
O
0
O
(4.13)
Z T Z
l−2
2 0
2
l
∗
+ l c K
|us | dx l ds + l NT .
O
0
avec NT∗ = sup |Nt | et
0≤t≤T
Nt := l
d1 Z t Z
X
j=1
0
sgn(us )|us (x)|l−1 hj (s, x, us ) dxdBsj .
O
Un changement de variable v := |u|l/2 pour le terme énergie de l’inégalité précédente et l’inégalité de Sobolev nous permettent d’obtenir
Z TZ
Z T Z
l−2
2
2
l
2 0
l
2 0
2
kvk2,∞ ∨ δ kvk2∗ ,2 ≤ K + l c
|us | dx ds + l c K
|us |l dx l ds + lMT∗ .
0
O
O
0
(4.14)
Maintenant nous utilisons l’inégalité d’interpolation (4.7) et la propriété d’homogénéité des
espaces Lp,q pour un choix de l = σ m avec σ > 1 et m ∈ N pour avoir
Z T Z
σm −2
m
σm
σm
2m 0
σm
2m 0
2
δ ku kσ,2σ ≤ K
+ σ c ku k1,1 + σ c K
|us |σ dx σm ds
0
+ σ m NT∗ .
44
O
Par l’inégalité de Hölder et l’homogénéité des normes k · kp,q , on a
m
δ kukσσm+1 ,2σm+1 ≤ K σ
m
1
1
m
1
m
m ∗
+ σ 2m c0 T 2 kukσσm ,2σm + σ 2m c0 T 2 + σm K 2 kukσσm −2
,2σ m + σ NT .
Nous définissons la suite em := K ∨ kukσm ,2σm pour tout m ≥ m0 . La dernière inégalité s’écrit
alors
h1
i1/σm
1 m m
2m 0 12
m
σ
em+1 ≤
em ∨ (NT∗ )1/σ .
1 + σ + σ c T 1 + T
δ
Nous passons à l’espérance pour avoir
m E em+1 ≤ bm E em ∨ (MT∗ )1/σ , ∀ m ≥ m0 .
h i1/σm
1 1
2m 0 21
m
σ
avec bm := δ 1 + σ c T 1 + T
. Par l’inégalité de domination de N ∗ par
< N > qui découle des inégalités λ-good introduite par Burkohöler (voir Revuz et Yor [RY99]
ou Appendix dans [11] ), nous obtenons
h
i
m
1/2σ m
1/σ 2
E em+1 ≤ bm 2
E em ∨ hN iT
.
En utilisant le fait que nous avons
| < N >T | :=
d1 Z t Z
X
≤ 2 d1
2
ds
O
0
j=1
|us |l−1 hj (s, x, us ) dx
T +1
21
m
+ C 2 e2σ
m ,
nous obtenons
m
E em+1 ≤ bm b0m 21/σ 2 E em .
avec b0m := 2 d1
T +1
21
+ C2
1/2σm
. En itérant cette dernière inégalité, nous avons
E em ≤ A0 E en0 ,
0
avec A :=
∞
Y
m
bm b0m 21/σ 2 < ∞ car c
P
j
σ −j
σ2
P
j
∀ m ≥ n0
jσ −j
converge pour σ > 1. Enfin, nous passons
m=n0
à la limite quand m → ∞ en utilisant le Théorème de convergence monotone pour avoir notre
résultat
E kuk
L∞ [0, T ]×O
45
≤ A0 E en .
0
Dans [8], nous avons montré le Théorème 4.3.1 pour les solutions avec condition Dirichlet nulle
à la frontière dans le cas suivant : d’un part le coefficient h dépend de (u, ∇u) et d’autre part
nous relaxons les hypothèses sur les coefficients f 0 , g 0 , h0 :
Hypothèse (HDθp) :
!
p ∗ p2 ∗ p2
∗
2
2
0
0
0
f E
+ g + h < ∞,
θ;t
θ;t
θ;t
où t ≥ 0, θ ∈ [0, 1[ et p ≥ 2 sont des réels fixés. Nous supposons que la valeur initiale ξ est
bornée par rapport à la variable d’espace, plus précisément nous aurons à supposer :
Hypothèse (HI∞p) :
E kξkp∞ < ∞
pour p ≥ 2.
Dans le cadre déterministe des EDP quasi-linéaires, Aronson et Serrin [AS67] ont travaillé sous
des hypothèses similaires mais la lecture et le formalisme de ce cadre de travail n’a pas été une
tâche facile. Ainsi, nous obtenons le résultat suivant
Théorème 4.3.2. ([8]) Soit u = U(ξ, f, g, h) solution de l’équation avec condition de Dirichlet
nulle sur la frontière. Pour tout p ≥ 2, et θ ∈ [0, 1), on a
∗p ∗p/2 ∗p/2 E kukp∞,∞;t ≤ k2 (t) E kξkp∞ + f 0 θ;t + |g 0 |2 θ;t + |h0 |2 θ;t ,
(4.15)
en particulier sous les hypothèses (HI∞p) et (HDθp).
L’approche utilisée pour la preuve n’est pas standard. Elle est plus complexe que celle
exposée dans la section précédente, mais l’adaptation de l’itération de Moser dans notre contexte
reste l’outil principal. Le point de départ de la preuve reste la formule d’Itô (4.11). La méthode
repose sur la dualité entre les espaces Lθ et L∗θ introduits dans la première section et sur la
domination du processus positif
Z
Z sZ
2
l
l−2
vt := sup
|us | dx + γl (l − 1)
|ur | |∇ur | dx dr
s≤t
O
par le processus croissant
Z
l
0
2
vt :=
|ξ| dx+l c1 |u|l O
1,1;t
0
O
0 2 ∗ 0 ∗ l−1 l−2 0 2 ∗
2
+l f θ;t |u| +l c2 |g | θ;t + c3 |h | θ;t |u| θ;t
46
θ;t
.
Nous rappellons qu’un processus adapté continu et positif X = (Xt )t≥0 est dit dominé par un
processus croissant A = (At )t≥0 si
E Xτ ≤ E A τ
pour tout temps d’arrêt τ borné. Une conséquence directe de cette notion est l’inégalité de
domination suivante (voir Proposition IV.4.7 dans Revuz et Yor [RY99], p. 163) : pour tout
k ∈]0, 1[,
∗ k
(4.16)
) ≤ Ck E (A∞ )k
E (X∞
où Ck est une constante positive et Xt∗ := sups≤t |Xs |.
La subtilité derrière l’utilisation du processus v = (vt )t≥0 est la domination du terme martingale
N = (Nt )t≥0
d1 Z t Z
X
Nt := l
sgn(us )|us (x)|l−1 hj (s, x, us , ∇us ) dxdBsj
j=1
0
O
qui apparaît dans la formule d’Itô par l’estimation de son crochet hN i = (hN i)t≥0 comme suit :
1
l−2 l2 1 + ε 1+ε 2
l
0 2 ∗ 2
|h | θ;t |u| +
C |u| hN it ≤ εvt +
2ε
ε
ε
θ;t
1,1;t
r
√
l β
+ 1+ε
√ vt ,
l−1 γ
pour ε > 0 arbitraire. Cette méthode nous permet en particulier de considérer le cas où le
coefficient h depend de u et de ∇u.
4.4
Principe du maximum pour des solutions d’EDPS avec
une condition de Dirichlet au bord générale
Cette section concerne particulièrement l’article [12] où nous étudions le principe du maximum des solutions faibles u = Uloc (ξ, f, g, h) des EDPS (4.6) avec la condition au bord suivante :
u≤M
sur ΓT
(4.17)
où ΓT est la frontière parabolique {[0, T [×∂O} ∪ {{0} × O} et M un processus d’Itô donné par
Z
Mt = m +
t
bs ds +
0
d1 Z
X
j=1
47
0
t
σj,s dBsj
(4.18)
avec m une variable aléatoire dans Lp et b, σ sont des processus prévisibles vérifiant des conditions d’intégrabilités de type Lp .
Dans la théorie des EDP déterministes, la condition (v − M )+ O ∈ H01 (O) caractérise la
1
(O0 ) avec O0 un ouvert
condition au bord v ≤ M sur la frontière ∂O, pour une fonction v ∈ Hloc
tel que O ⊂ O0 et M un réel donné.
De la même manière, nous considérons dans notre cadre stochastique que, si u est un processus appartenant à Hloc (O0 ), alors la condition (u − M )+ ∈ H assure la condition au bord
(4.17).
Cette caractérisation est cruciale dans notre contribution [12]. Elle va nous permettre de
considérer le principe du maximum pour des solutions locales de l’EDPS (4.1) avec des conditions au bord non nulles et par conséquent couvrir le cadre d’Aronson et Serrin [AS67] avec des
méthodes probabilistes.
Nous considérons dans la suite que M = 0, le cas général se traîte de la même manière.
Parfois, nous assumons les conditions suivantes sur les coefficients qui sont plus naturels pour
des solutions locales u ∈ Uloc (ξ, f, g, h) :
Hypothèse (HD) condition d’intégrabilité locale sur f 0 , g 0 et h0 :
Z tZ
E
|ft0 (x)| + |gt0 (x)|2 + |h0t |2 dxdt < ∞
0
K
pour tout compact K ⊂ O et pour tout t ≥ 0.
Hypothèse (HI) condition d’intégrabilité locale sur la valeur initiale :
Z
|ξ(x)|2 dx < ∞
E
K
pour tout compact K ⊂ O.
Etant donné que la condition u+ ∈ H implique que u+ satisfait la condition de Dirichlet
au bord nulle, nous proposons d’appliquer la même approche de la section 4.3, en particulier le
Théorème 4.3.2 à la partie positive de la solution u. On note par
f u,0 = 1{u>0} f 0 , g u,0 = 1{u>0} g 0 , hu,0 = 1{u>0} h0 f u,0+ = 1{u>0} f 0 ∨ 0 , ξ + = ξ ∨ 0.
Nous obtenons le premier résultat essentiel suivant :
48
Théorème 4.4.1. ([12]) Sous les hypothèses (HD), (HI) et des conditions d’intégrabilité
suivantes :
2
∗ 2
2
2
E ξ + 2 < ∞, E f u,0 #;t < ∞, E g u,0 2,2;t < ∞, E hu,0 2,2;t < ∞.
Nous avons l’estimation suivante pour une solution u ∈ Uloc (ξ, f, g, h) telle que u+ ∈ H :
+ 2 + 2 u,0+ ∗ 2 u,0 2
u,0 2
2
+
E u 2,∞;t + ∇u 2,2;t ≤ k (t) E ξ 2 + f
+ g 2,2;t + h 2,2;t .
#;t
(4.19)
La preuve de ce résultat repose sur une formule d’Itô appliquer à u+ et à la fonction ϕ(y) =
(y + )2 :
Z
Z t
Z
Z t
2
2
+
+
+
+
E us , us ds =
ut (x) dx + 2
ξ (x) dx + 2
u+
,
f
(u
,
∇u
)
ds
s
s
s
s
O
O
0
−2
Z tX
d
0
0
Z
1{us >0} ∂i us , gi,s (us , ∇us ) ds +
t
1{us >0} , |hs (us , ∇us )|2 ds
0
i=1
+2
d1 Z
X
j=1
t
j
u+
s , hj,s (us , ∇us ) dBs .
0
La difficulté technique qu’il faut surmonter pour appliquer la formule d’Itô, provient du fait
que nous ne savons pas à priori que u+ satisfait une EDPS de type (4.1) avec certains coefficients f¯, ḡ, h̄. Pour y parvenir, nous utilisons des approximations adéquates et des méthodes de
troncatures classiques.
Une conséquence de ce théorème est un résulat de comparaison générale :
Théorème 4.4.2. ([12]) Soit ui ∈ Uloc (ξ i , f i , g, h) , i = 1, 2. Nous supposons que (f i , g, h) , i =
1, 2 satisfont la condition (HD), ξ 1 , ξ 2 satisfont la condition (HI). On suppose une condition
d’intégrabilité suivante :
∗ 2
E f 1 ., ., u2 , ∇u2 − f 2 ., ., u2 , ∇u2 #;t < ∞, pour tout t ≥ 0.
Si ξ 1 ≤ ξ 2 , p.s., f 1 (t, ω, u2 , ∇u2 ) ≤ f 2 (t, ω, u2 , ∇u2 ), dt ⊗ dx ⊗ dP -p.p. et u1 ≤ u2 sur la
frontière parabolique ΓT alors on a : u1 (t, x) ≤ u2 (t, x), dt ⊗ dx ⊗ dP-p.p.
49
La preuve est une conséquence immédiate
de
l’estimation (4.19) appliquée à la dif1
2
˜ f˜, g̃, h̃ avec ξ˜ = ξ 1 − ξ 2 et f˜(t, x, y, z) =
férence u − u qui appartient à Uloc ξ,
f 1 (t, x, y, y + u2t (x), z + u2t (x)) − f 2 (t, x, y, u2t (x), u2t (x)).
Nous donnons maintenant le principe de maximum pour M ≡ 0 :
Théorème 4.4.3. ([12]) Soit u ∈ Uloc (ξ, f, g, h) une solution locale telle que u+ ∈ H. Alors on
a:
!
p ∗ p2 ∗ p2
+ p
+ p
∗
2
2
E u ∞,∞;t ≤ k (t) E ξ ∞ + f 0,+ θ;t + g 0 + h0 ,
θ;t
θ;t
sous les hypothèses (HI∞p) et (HDθp).
La preuve de ce résultat découle du Théorème 4.3.2 et du Théorème de comparaison 4.4.2.
En effet, soit v = U(ξ + , fˆ, g, h) la solution de l’équation (4.1) avec condition de Dirichlet nulle
sur la frontière avec fˆ défini par fˆ = f + f 0,− , f 0,− = 0 ∨ (−f 0 ). Nous appliquons le Théorème
4.3.2 à la solution v et nous avons que u ≤ v par le Théorème de comparaison.
Le cas général où M est un processus d’Itô donné par (4.18) est une conséquence directe du
théorème précédent. Nous annonçons notre principe du maximum sous sa forme optimale
Théorème 4.4.4. ([12]) Soit p ≥ 2 et u ∈ Uloc (ξ, f, g, h) solution faible de l’EDPS (4.1). Si
u ≤ M sur la frontière parabolique {[0, T [×∂O} ∪ {{0} × O}, alors pour tout t ∈ [0, T ] :
∗p/2 0,M 2 ∗p/2
Ek(u − M )+ kp∞,∞;t ≤ k(t)E k (ξ − m)+ kp∞ + k(f 0,M − b)+ k∗p
| kθ;t + k|h0,M − σ|2 kθ;t
θ,t + k|g
(4.20)
0,M
0,M
0,M
avec f (s, x) = f (s, x, M, 0), g (s, x) = g(s, x, M, 0), h (s, x) = h(s, x, M, 0) et k est une
fonction dépendante seulement des constantes de structures de l’EDPS.
Dans un travail en cours de préparation [16] en collaboration avec Laurent Denis et Marta
Sanz, nous donnons une extension de ce théorème dans le cas où l’EDPS est dirigée par un
bruit espace-temps avec une corrélation spaciale adéquate.
4.5
Cas d’une EDPS de type Burger
Gyöngy et Rovira [GR00] ont étudié l’équation (4.1) avec g localement lipschitzien et à
croissance polynômiale en y. Ils ont obtenu des estimations de la norme Lp de la solution. Leur
50
cadre de travail se restreint aux coefficients f , g et h dependant seulement de la solution u.
Dans [12], nous proposons de généraliser leurs résultats pour les EDPS quasi-linéaires. Plus
précisement, nous supposons que le coefficient g vérifie les propriétes suivantes : il existe des
constantes C > 0 et r ≥ 1, et deux fonctions ḡ, ĝ telles que
(i) la fonction g se décompose de la façon suivante : g(t, ω, x, y, z) = ḡ(t, ω, x, y, z)+ ĝ(t, ω, y),
∀(t, ω, x, y, z) ∈ R+ × Ω × O × R × Rd .
P
1
0
0 2 2
d
≤ C 1 + |y|r + |y 0 |r |y − y 0 | + α |z − z 0 |,
(ii)
i=1 |gi (t, ω, x, y, z) − gi (t, ω, x, y , z )|
1
P
d
2 2
0
(t,
ω,
x)|
(iii)
|ḡ
(t,
ω,
x,
y,
z)
−
ḡ
≤ C|y| + α |z|.
i
i=1 i
Nous considérons seulement le cas de l’équation (4.1) avec la condition de Dirichlet nulle
au bord. En effet sous cette hypothèse, l’effet de la croissance polynômiale en y du terme ĝ dans
la formule d’Itô (4.11) va être nulle pour la raison suivante :
Lemme 4.5.1. Soit u ∈ H01 (O), ψ ∈ C 1 R avec des dérivées bornées et F une fonction
mesurable bornée. Alors
Z
∂i ψ(u(x)) F (u)(x) dx = 0, ∀i = 1, · · ·, d.
O
Nous obtenons alors le résultat suivant
Théorème 4.5.1. Pour un certain θ ∈ [0, 1[ et p ≥ 2, et sous une condition de contraction
2
supplémentaire : α + β2 + 72β 2 < λ. Alors il existe une unique solution de l’EDPS (4.1) de type
Burger. De plus, on a
∗p ∗p/2 0 2 ∗p/2 E kukp
≤ k (t) E kξkp + f 0 + |ḡ 0 |2 + |h | ,
∞,∞;t
∞
θ;t
θ;t
θ;t
L’idée naturelle de la preuve est d’approximer le coefficient g par une suite de fonctions
globalement lipschitziennes g n (t, w, x, y, z) := g(t, w, x, ((−n) ∨ y) ∧ n, z). De la même façon, on
définit ḡ n , ĝ n , tel que g n = ḡ n + ĝ n . Nous appliquons la formule d’Itô (4.11) pour la solution un
de l’EDPS associée à (ξ, f, g n , h). Cependant par le Lemme 4.5.1, on a
Z tZ
Z tZ
n
l−2
n
n
n
n
|us (x)| ∂i us (x) gi (s, x, us , ∇us ) dx ds =
|uns (x)|l−2 ∂i uns (x) ḡin (s, x, uns , ∇uns ) dx ds.
0
O
0
O
Comme, on a
|ḡ(t, ω, x, uns , ∇uns )| ≤ |ḡ 0 (t, ω, x)| + C|uns | + α |∇uns |,
51
Nous obtenons l’estimation uniforme en appliquant le Théorème 4.4.4 en remplaçant g par
ḡ,
∗p/2 ∗p ∗p/2 E kun kp∞,∞;t ≤ k (t) E kξkp∞ + f 0 θ,t + |ḡ 0 |2 θ;t + |h0 |2 θ;t ,
où k(t) ne depend que de C, α and β.
Le principe du maximum pour une EDPS de type Burger avec une condition au bord générale,
similaire au Théorème 4.4.4 reste un problème ouvert.
52
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