probleme de tournees de vehicules avec chargement et fenetres

8e Conférence Internationale de MOdélisation et SIMulation - MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie
Évaluation et optimisation des systèmes innovants de production de biens et de services Ż
PROBLEME DE TOURNEES DE VEHICULES AVEC
CHARGEMENT ET FENETRES HORAIRES (2L-CVRPTW)
S. KHEBBACHE-HADJI1 ,
1
MGSI/ IUT de Montreuil
140 rue de la Nouvelle France
93100 MONTREUIL - France
[email protected],
C. PRINS2 , A. YALAOUI2
2
ICD-LOSI/ UTT
12 rue Marie Curie, BP 10 010
Troyes, Cedex - France
[email protected], [email protected]
RÉSUMÉ : La majorité des études portant sur les problèmes de tournées de véhicule (VRP) s’assurent de
la faisabilité du chargement en vérifiant que le poids des objets affectés aux véhicules ne dépasse pas une limite
supérieure. Très peu d’études s’intéressent à la faisabilité de l’agencement des objets dans les camions. Le
problème combinant l’optimisation du chargement des véhicules conjointement à celle de l’établissement des
tournées, en prenant en compte la contrainte des fenêtres horaires a été introduit très récemment. Cet article
résume les travaux réalisés sur ce nouveau problème d’une part; et les complète d’autre part par des nouveaux
résultats. Après avoir proposé une modélisation, nous rappelons nos résultats sur la minimisation du coût
des tournées (cas mono-objectif ). Les résultats de diverses heuristiques et d’un algorithme mémétique y sont
rappelés. Suite à cela, une étude multi-objectifs, pour la minimisation conjointe du coût des tournées et du
nombre de véhicules, est développée à travers un algorithme génétique NSGA-II. L’ensemble des résultats des
différentes approches est alors analysé.
MOTS-CLÉS : Tournées de véhicules, Placement à deux dimensions, Mono-objectif, Multi-objectif,
Fenêtres horaires, Optimisation.
1
INTRODUCTION
Le problème de tournées de véhicule, considérant les
contraintes de chargement et de fenêtres horaires,
noté 2L-CVRPTW (Two loading capacitated vehicle
routing problem with time windows), a été introduit
très récemment (Khebbache et al. 2009a). De
nombreuses études se sont intéressées au VRP avec
fenêtres horaires, voir par exemple (Bräysy et Gendreau, 2005), mais très peu concernent le problème
de tournées de véhicule avec prise en compte du
chargement. Dans la grande majorité des études,
on suppose que la demande d’un client consiste en
un ensemble d’objets avec un poids donné, et on
s’assure que le poids total des objets d’une tournée
ne dépasse pas le poids que peut supporter un
véhicule. Toutefois, la prise en compte de l’aspect
chargement dans l’établissement des tournées (de
livraison et/ou prélèvement) est incontournable
dès lors qu’il s’agit d’objets ayant une forme particulière engendrant des contraintes au niveau de
l’agencement dans la zone de chargement du véhicule.
L’une des premières études ayant porté sur le
problème de VRP avec intégration du problème de
Bin Packing (Wäscher et al., 2006) est celle menée
par (Iori et al. 2007). Les auteurs ont présenté une
approche basée sur un branch and cut. L’algorithme
peut résoudre des instances avec au plus 30 clients
et 90 objets. Ces limites ne correspondent pas aux
problèmes très concrets que l’on peut rencontrer.
Ceci souligne la nécessité de développer des méthodes
heuristiques et métaheuristiques pour résoudre ce
problème NP-difficile (Khebbbache et al. 2009a,
2009b). (Gendreau et al. 2007) ont proposé une
recherche tabou pour le même problème. Ils ont
considéré le problème de strip packing (Wäscher et
al., 2006) à deux dimensions afin de vérifier la faisabilité des routes en terme de chargement. En 2009,
(Zachariadis et al., 2009) ont quant à eux proposé
une recherche tabou guidée. L’aspect chargement
du problème est traité en utilisant des heuristiques
bien connues pour le problème de placement comme
Bottom left et Maximum Touching perimeter.
Comme introduit précédemment, un autre aspect
important pour la résolution des problèmes de
tournées de véhicule est la prise en compte des
fenêtres horaires (VRPTW), ce qui permet de refléter la réalité en terme de disponibilité des clients,
comme souligné par (Labadi et al. 2008). Dans
la littérature, on rencontre souvent deux objectifs
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En ce qui concerne le problème de tournées de
véhicles avec fenêtres horaires et chargement (2LCVRPTW), qui combine les différents aspects
évoqués précédemment, il y a très peu de travaux.
Le problème a été introduit par (Khebbache et al.,
2009a) qui l’ont défini et ont proposé 6 heuristiques
différentes. Ils ont ensuite développé un algorithme
mémétique (Khebbache et al. 2009b) pour la minimisation du coût des tournées. (Khebbache et al.
2009c) ont également introduit une approche multi
objectif pour la minimisation conjointe du coût des
tournées et du nombre de véhicules. Les seuls autres
travaux qui se rapprochent concernent le problème à
3 dimensions (3L-VRPTW) et le problème de chargement de conteneurs (CLP), introduits par (Moura
et al. 2008a, 2008b). Dans (Moura et al. 2008b),
les auteurs proposent une étude multi-objetif. En
effet, ces dernières années, l’approche multi-objectif
a suscité de nombreuses applications aux problèmes
de tournées de véhicules. Par exemple, en ce qui
concerne les problèmes de tournées sur noeuds avec
fenêtres horaires, (Ombuki et al. 2006) ont appliqué
l’algorithme NSGA-II pour la minimisation de la
distance totale et la minimisation du nombre de
véhicules.
L’objet de cet article est d’abord de proposer un
modèle mathématique pour le 2L-CVRPTW et de
résumer nos travaux dans les cas mono et multiobjectifs en les complétant. Le problème est donc
définit et modélisé à la section 2. Les premiers résultats (heuristiques et métaheuristiques pour le problème mono-objectif) sur le 2L-CVRPTW de (Khebbache et al. 2009a, 2009b) sont rappelés dans les
sections 3 et 4. Suite à cela, une étude multi-objectif
est développée, complétant les idées introduites dans
(Khebbache et al. 2009c) à la section 4. Ce document
se termine par une conclusion et une discussion sur
les perspectives de cette étude.
2
DEFINITION DU PROBLEME ET MODELISATION
2.1
Définition du problème
Considérons un graphe non orienté G = (V, E), où V
est l’ensemble des sommets incluant les n clients et un
dépôt central (noeud 0), et E = {(i, j) : i, j ∈ V, i 6=
j} est l’ensemble des arêtes. A chacune d’entre elles
est associé un coût cij = cji qui représente la distance
(coût) entre les clients i et j. Considérons une flotte
(W,H)
(0,H)
H−edge
pour le VRPTW : la minimisation du nombre de
véhicules (Solomon, 1987) et la minimisation de la
distance totale parcourue (coût des tournées). De
nombreuses métaheuristiques sont disponibles pour
minimiser en priorité le nombre de véhicules. Par
exemple, (Rochat et Taillard 1995) ont proposé une
recherche tabou, (Berger et al. 2003) ont conçu un
algorithme génétique et (Kontoravdis et Bard, 1995)
un GRASP. Seulement deux travaux sont dédiés à la
minimisation de la distance totale parcourue (Tan
et al. 2001) et (Alvarenga et al. 2007). En 2008,
(Labadi et al. 2008) ont proposé un algorithme
mémétique pour le VRPTW qui prend en compte les
deux objectifs dans une fonction linéaire.
W−edge
(0,0)
(W,0)
Figure 1: Surface de chargement
illimitée de véhicules homogènes de capacité Q, avec
une surface rectangulaire (figure 1) de chargement de
hauteur H et de largeur W (Q = H × W ).
Un ensemble D de m articles doit être livré aux
clients. L’article t (t = 1, 2, . . . , m) possède une hauteur ht ≤ H et une largeur wt ≤ W . D est partitionné en n sous-ensembles D1 ∪ D2 ∪ . . . ∪ Dn , où
Di est le sous-ensemble d’articles requis par le client
i, avec un poids total connu de qi . Chaque client i a
(W,H)
(0,H)
vtk
(0,0)
utk
(W,0)
Figure 2: Position d’un objet t dans véhicule k
une fenêtre horaire qui lui est associée, notée [ei , li ];
où ei et li sont respectivement l’heure de service au
plus tôt et celle au plus tard. D’autre part, les objets
doivent être placés dans la surface de chargement sans
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subir de rotation. Toutes les données sont supposées
être des entiers positifs. La surface de chargement
est représentée par un repère cartésien dont le coin
inférieur gauche est en (0,0), sa largeur est parallèle
à l’axe des abscisses et sa longueur à l’axe des ordonnées. La surface de chargement est donc limitée par
le rectangle de la figure (fig.1).
La position d’un objet t dans le véhicule k est définie
par les coordonnées (utk ,vtk ), comme illustré à la figure 2.
Le 2L-CVRPTW est défini par les cinq contraintes
suivantes :
qu’un seul véhicule quitte chaque client i. La continuité d’une tournée est garantie en utilisant les contraintes (3). Le poids des véhicules est respecté via
les contraintes (4).
min
K X
n
n
X
X
cij xijk
(1)
xijk = 1 ∀i = 1, . . . , n
(2)
k=1 i=0 j=0,j6=i
n
K
X
X
j=0,j6=i k=1
n
X
xijk =
• Chaque tournée doit commencer et se terminer
au dépôt.
• Chaque client doit être servi par un seul véhicule.
• Le poids total des objets des clients affectés à une
même tournée ne doit pas dépasser la capacité
d’un véhicule.
• Il doit exister un chargement réalisable des objets dans la surface de chargement, c’est-à-dire
un placement des objets rectangulaires, sans
chevauchement, respectant les dimensions de
chacun.
• Chaque client doit être servi pendant sa fenêtre
horaire.
Notons enfin qu’il existe deux variantes du 2LCVRP : le cas non restreint (considéré dans cette
étude) et le cas séquentiel (Khebbache et al. 2009a),
où aucun objet ne doit gêner le déchargement de la
commande d’un client quand le véhicule arrive chez
ce dernier.
2.2
Modélisation
Afin de compléter les travaux existants qui ne proposaient pas de modélisation, un modèle de programmation linéaire mixte pour le 2L-CVRPTW est
développé dans cette section. Il permet une spécification non-ambiguë du problème et peut être utilisé
pour résoudre des instances de petite taille avec un
solveur. Dans cette modélisation, M est un nombre
infini, K la taille de la flotte (introduit pour limiter
la taille du modèle; dans le pire cas, K = n). Des
variables de décision binaires xijk sont utilisées, et
prennent la valeur 1 si le véhicule k va directement
de i à j (0 sinon). Le temps de trajet entre les clients
i et j est une donnée notée tij . L’instant d’arrivée du
véhicule k au client i est noté aik . Afin de gérer le
placement des objets dans les zones de chargement,
on définit les variables ytk , qui prennent la valeur 1 si
l’objet t est dans le véhicule k (0 sinon).
La fonction-objectif (1) à minimiser est la longueur
totale des tournées. Les contraintes (2) assurent
j=0,j6=i
n
X
n
X
xjik
j=0,j6=i
∀k = 1, ...K, ∀i = 0, ...n
n
X
xijk qi ≤ Q ∀k = 1, ...K
(3)
(4)
i=1 j=0,j6=i
aik + tij ≤ ajk + M (1 − xijk ) ∀i = 0, ...n,
∀j = 0, ...n, i 6= j, ∀k = 1, ...K
aik ≥ ei ∀i = 0, ...n, ∀k = 1, ...K
aik ≤ li ∀i = 0, ...n, ∀k = 1, ...K
m
X
ytk wt × ht ≤ W × H ∀k = 1, ...K
t=1
n
X
(5)
(6)
(7)
(8)
xijk = ytk ∀i = 1, ...n,
j=1
∀k = 1, ...K, ∀t ∈ Di
utk + wt ≤ W + M (1 − ytk )
∀t = 1, ...m, ∀k = 1, ...K
vtk + ht ≤ H + M (1 − ytk )
∀t = 1, ...m, ∀k = 1, ...K
utk + wt ≤ ut0 k + M (2 − ytk − yt0 k )
or ut0 k + wt0 ≤ utk + M (2 − ytk − yt0 k )
or vtk + ht ≤ vt0 k + M (2 − ytk − yt0 k )
or vt0 k + ht0 ≤ vtk + M (2 − ytk − yt0 k )
∀t, t0 = 1, ...m, t 6= t0 , ∀k = 1, ...K
xijk ∈ {0, 1} ∀i = 0, ...n,
∀j = 0, ...n, i 6= j, ∀k = 1, ...K
ytk ∈ {0, 1} ∀t = 1, ...m, ∀k = 0, ...K
aik ≥ 0 ∀i = 0, ...n, ∀k = 0, ...K
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
Les contraintes (5) sont utilisées pour empêcher les
sous-tours et déterminer le temps d’arrivée. Les contraintes (6) et (7) garantissent que les fenêtres de
temps sont respectées pour chaque noeud. Les contraintes (8) garantissent que la surface d’un véhicule
n’est pas dépassée. Avec les contraintes (9), lorsqu’un
client est visité par un véhicule, tous ses articles sont
placés dans ce véhicule. En utilisant les contraintes
(10) et (11), chaque article est réellement placé dans
le véhicule qui le transporte. Les contraintes (12) évitent des chevauchements de deux articles t et t0 dans
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un véhicule. Les trois derniers groupes de contraintes
définissent les domaines et les signes des variables.
3
ETUDE MONO-CRITERE
Les principaux résultats sur l’étude mono-critère sont
rappelés avant de détailler l’optimisation de l’étude
multi-critère.
3.1
3.1.1
Heuristiques
Heuristiques pour le 2L-CVRPTW
Six heuristiques ont été proposées dans (Khebbache
et al. 2009a), capables de fournir de bonnes solutions
en un temps de calcul raisonnable. Elles combinent
deux heuristiques pour le VRPTW et trois pour le
placement des articles dans les véhicules. Les deux
heuristiques de tournées sont l’heuristique séquentielle d’insertion de (Solomon 1987) et l’heuristique
d’insertion parallèle de (Potvin et Rousseau 1995).
Les trois heuristiques de placement sont obtenues en
adaptant à notre problème l’algorithme constructif
de (Alvarez-Valdes et al. 2005), la méthode maximum touching perimeter de (Lodi et al. 2002) et
la méthode SHF de (Ben Messaoud 2004). A titre
d’exemple, la structure générale de l’heuristique de
Solomon, combinée avec des heuristiques de placement, est présentée dans l’algorithme 1. Chaque
itération de la boucle interne vérifie chaque client i
non visité avec un chargement de véhicule L et appelle l’heuristique de placement afin de vérifier la faisabilité du chargement. L’heuristique essaie d’abord
d’ajouter les objets de i sans déplacer ceux déjà
chargés. En cas d’échec, elle décharge le véhicule et
tente de replacer tous les objets. Si le chargement est
réalisable, le coût C de la meilleure insertion pour i
dans la tournée courante T et la position d’insertion
associée k sont calculés. Si des insertions faisables
sont trouvées, alors la moins coûteuse parmi cellesci, définie par son client imin , son coût Cmin et sa
position kmin est exécutée. Sinon la boucle interne
s’arrête.
La méthode de Potvin et Rousseau consiste en
une version parallèle de l’heuristique séquentielle
d’insertion de Solomon. Plus de détails sur les heuristiques de placement sont disponibles dans (Khebbache et al. 2009a).
3.1.2
Analyse des performances
Étant donné que le 2L-CVRPTW n’a jamais
été traité en littérature, aucune instance n’était
disponible. De chaque instance de (Iori et al. 2007),
3 autres instances dont le nombre d’articles est
différent ont été générées (Khebbache et al. 2009a).
La surface du véhicule est définie par W = 20
et H = 40. L’ensemble des problèmes peut alors
Algorithm 1 – Structure générale des heuristiques du 2L-CVRPTW dérivées de l’heuristique de
Solomon
1: repeat
2:
Initialiser une nouvelle tournée T comme une
boucle sur le dépôt et un véhicule vide
3:
L←0
4:
loop
5:
Cmin ← +∞
6:
for chaque client non visité i avec L + qi ≤ Q
do
7:
Appeler une heuristique de placement
pour voir si les articles de i peuvent être
chargés
8:
if oui then
9:
Calculer le coût C de l’insertion la moins
chère de i dans T et sa position associée
k
10:
if C < Cmin then
11:
Cmin ← C
12:
imin ← i
13:
kmin ← k
14:
end if
15:
end if
16:
end for
17:
sortir lorsque Cmin = +∞
18:
Insérer le clientimin à la position kmin dans
la tournée T
19:
Mettre à jour le chargement du véhicule
20:
L ← L + qimin
21:
end loop
22: until tous les clients sont insérés
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être classé en 3 classes A, B, C, en fonction de la
taille des fenêtres horaires. Les résultats ont été
classes
A
B
C
Description
small
middle
large
TW size
[5-20]
[15-30]
[30-45]
Table 1: Differentes classes
comparés à la borne inférieure de (Martello et Vigo
1998) pour le nombre de véhicules. En général, les
combinaisons basées sur l’heuristique du maximum
touching perimeter donnent de meilleurs résultats,
particulièrement pour la classe A. Les temps moyens
d’exécution sont faibles. Concernant le nombre de
tournées, l’écart à la borne n’est pas très stable en
fonction des instances, du fait de l’introcution des
contraintes de chargement et des fenêtres horaires
(Khebbache et al. 2009a).
Suite à l’étude de ce nouveau problème à travers
quelques heuristiques spécifiques développées, et du
fait de la complexité du problème, un algorithme
mémétique a été développé (Khebbache et al. 2009b).
3.2
Algorithme mémétique
Les algorithmes mémétiques sont des algorithmes
génétiques hybridés avec une recherche locale, les rendant ainsi plus puissants (Moscato, 1999). Ils reposent, comme les algorithmes génétiques classiques,
sur les principes de sélection et de croisements des
parents afin d’obtenir des enfants. On applique alors
une recherche locale sur les enfants obtenus, puis on
applique à ceux retenus une mutation avec une faible
probabilité. Un mécanisme de sélection définit ensuite la population qui va constituer la génération
suivante. Le processus est répété jusqu’à ce qu’une
condition d’arrêt soit satisfaite.
3.2.1
Algorithme mémétique pour le 2LCVRPTW
L’algorithme mémétique développé dans (Khebbache
et al. 2009b), pour la minimisation de la distance
totale parcourue, propose un codage des solutions reposant sur une séquence S de n clients sans délimiteurs de tournées. Cette séquence peut être interprétée comme un tour géant dans lequel les capacités
des véhicules, les fenêtres de temps et les contraintes
de chargement sont ignorées. Une procédure optimale
de découpage (split (Prins 2004)) a été adaptée pour
calculer la meilleure solution du problème relative à
la séquence S, en vérifiant les capacités des véhicules,
les fenêtres de temps et les contraintes de chargement
(Khebbache et al. 2009b).
La population contient un nombre fixé de chromosomes. Elle est initialisée en utilisant les solutions
obtenues par les heuristiques présentées à la section
précédente, complétées par des solutions obtenues
aléatoirement.
Les parents sont choisis en utilisant un tournoi binaire
et subissent ensuite un croisement de type (OX).
On applique la recherche locale avec une probabilité
donnée aux solutions obtenues suite au croisement.
Elle utilise des mouvements de type Or-Opt, 2-Opt,
échange de clients et 2-Opt*.
L’algorithme n’utilise pas de mutation, comme suggéré dans (Labadi et al., 2008). La diversité de la
population est ici garantie par un critère de dispersion des coûts qui consiste à accepter une nouvelle
solution seulement si son coût est suffisamment différant des coûts des autres solutions de la population.
3.2.2
Analyse des performances
L’algorithme mémétique ainsi développé a été testé
sur les mêmes instances que les heuristiques de
la section précédente. Les résultats obtenus sont
comparés à ceux donnés par les heuristiques et à la
borne pour le nombre de véhicules.
L’algorithme mémétique améliore les résultats des
heuristiques sur toutes les instances, avec un pourcentage d’amélioration global de 21,32%. Toutefois,
on peut noter que le nombre moyen de véhicules,
toutes instances considérées, est de 19,20 pour le
mémétique, contre 16,70 pour les heuristiques. Ce
phénomène est d’autant plus important pour les
instances de grande taille. En effet, l’algorithme
mémétique a été développé pour minimiser le coût
(la distance) de la solution. Bien que le nombre de
véhicules utilisés reste relativement lié à ce coût, on
est parfois obligé d’augmenter le nombre de véhicules
afin de faire diminuer le coût global de la solution.
L’algorithme mémétique développé est très performant pour la minimisation du coût des tournées en
terme de distance parcourue, mais si l’on considère le
coût d’utilisation d’un véhicule supplémentaire relativement à la diminution du coût, on peut s’intérroger
sur l’intérêt pour une société de privilégier l’un par
rapport à l’autre. Ceci nous a donc poussé à nous
intéresser à la minimisation conjointe du coût de la
solution et du nombre de véhicules à travers une étude
multi-objectif.
4
ETUDE MULTI-CRITERE
Dans cette section, le problème de minimisation conjointe du coût des tournées et du nombre de véhicules
est présentée. Cette étude a été initialisée dans
MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie
(Khebbache et al. 2009c) et est ici approndie et détaillée, avec entre autres de nouveaux résultats.
4.1
4.1.1
été repris du fait du caractère muti-objectif de cette
étude, pour ne pas favoriser un objectif par rapport
à l’autre. La taille de la population a été fixée à 30.
NSGA-II
Principe
(Deb et al. 2002) ont proposé un algorithme élitiste
qu’ils ont appelé NSGA-II. Il consiste à générer
une population d’enfants à partir de la population
de parents, à fusionner ces deux populations pour
appliquer une procédure de tri basée sur l’optimalité
de Pareto (Deb et al. 2002). Le tri de NSGA-II
classe les solutions de la population fusionnée selon
les rangs de Pareto. Le premier rang de Pareto, aussi
appelé front de Pareto, est composé de l’ensemble
des solutions non-dominées de la population. Le
deuxième rang comprend l’ensemble des solutions qui
sont non-dominées lorsque l’on exclut les solutions
du premier rang de la population, et ainsi de suite
pour les autres rangs.
4.1.3
Analyse des performances
Cette approche multi-objectif a été testée sur les
mêmes instances (décomposées en 3 classes A, B et
C) que pour le problème mono-objectif. Pour chaque
instance, les solutions obtenues ont été comparées à
celle donnée par l’algorithme mémétique, de manière
à apprécier l’augmentation du coût si l’on essaie de
diminuer le nombre de véhicules.
Une synthèse des résultats est donnée au tableau 2.
Pour chaque classe, on indique la valeur moyenne de
la borne inférieure (LB) sur le nombre de véhicules,
le coût moyen (C) et le nombre moyen de véhicule
(R), d’une part pour le NSGA-II et d’autre part
pour le mémétique. On notera que les valeurs
LB
Classe A
Classe B
Classe C
11.60
11.60
11.60
NSGA-II
C
R
1423.41 17.93
1527.38 15.42
1632.12 16.31
Mémétique
C
R
1195.00 19.17
1395.64 21.75
1329.53 22.04
Table 2: Valeurs moyennes pour les différenres classes
Figure 3: Principe du NSGA-II (Deb et al. 2002)
La nouvelle population est générée, de sorte que la
taille de la population soit constante, et en utilisant
une mesure de densité (crowding distance), qui pénalise les groupes de solutions trop rapprochées (figure 3).
4.1.2
Algorithme
Afin de mettre en oeuvre cette méthode, les différents
codages et réglages utilisés pour l’agorithme mémétique présenté à la section précédente ont été repris.
L’opérateur de croisement (OX) a été conservé et le
critère de dispersion des coûts n’a quant à lui pas
moyennes pour le NSGA-II sont ici calculées en
prenant la solution du front de Pareto qui a le moins
de véhicules.
Par exemple, pour la classe A, le nombre moyen de
véhicules utilisés est de 17,93 pour les meilleures
solutions du front en terme de nombre de véhicules
contre 19,17 pour l’algorithme mémétique.
On
notera que ceci se fait moyennant une augmentation
moyenne de 19.3 % du coût obtenu par l’algorithme
mémétique, pour cette même classe, passant d’un
coût moyen de 1195.00 à 1423.41 pour le NSGA-II.
En moyenne, toutes classes confondues, il y a une
réduction de 20.52% du nombre de véhicules entre
la meilleure solution du front pour ce critère et la
solution du mémétique. Cette réduction est surtout
visible pour les instances à plus de 100 clients,
comme l’illustre le tableau 3. A la figure 4 (où le
coût de la solution est indiqué en abscisses et le
nombre de véhicules en ordonnées), on peut observer,
pour une instance donnée, les solutions obtenues par
les heuristiques, le reste de la population initiale et le
front de Pareto. On peut remarquer sur l’ensemble
des instances testées que, en moyenne, la solution
obtenue avec l’algorithme mémétique (représentée
par carré à la figure 5) est dans 16% des cas dans le
front des solutions non-dominées (représenté par ♦).
Dans le reste des cas, le NSGA-II ne retrouve pas la
solution du mémétique. Ceci nous encourage donc
MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie
n
m
LB
15
24
31
20
20
29
46
21
21
31
37
22
22
32
41
25
25
40
61
29
29
43
49
30
30
56
82
50
50
82
103
75
75
112
155
100
100
157
212
120
120
183
242
150
150
225
298
199
199
299
497
240
240
370
490
252
252
367
507
255
255
387
786
Moyenne
1
3
3
1
4
4
1
3
3
1
4
4
1
5
5
1
5
4
1
5
6
1
9
9
1
12
14
1
18
18
1
20
21
1
25
27
1
33
34
1
40
42
1
39
43
1
41
38
11.60
15
Figure 4: Evolution du front Pareto
MA
C
R
320.31
5
352.18
6
328.59
5
442.79
5
492.89
6
501.18
7
527.90
6
546.25
6
541.16
6
815.22
5
912.86
7
868.70
6
574.66
6
673.15
8
668.44
9
806.48
7
927.44
7
877.20
7
517.02
5
594.79
9
643.06
9
754.58
8
950.63
13
970.50
15
1135.09
13
1409.25
20
1387.09
20
1309.45
13
1821.22
26
1838.18
27
1632.43
11
3451.71
29
3233.40
26
1609.00
34
2334.49
34
2396.88
36
1963.27
45
2932.56
45
2979.93
46
904.22
20
1470.43
53
1541.80
57
1059.88
20
1736.31
51
1809.63
56
908.55
15
2085.06
52
1807.54
47
1257.61
19.20
font de Pareto
C
R
320.30
5
354.60
5
340.12
5
442.78
5
512.95
6
508.47
6
527.90
6
577.29
6
541.16
6
815.21
5
944.72
6
883.95
6
574.66
6
682.31
8
726.17
8
806.48
7
961.73
7
950.47
7
517.01
5
685.33
7
687.40
9
788.34
7
1041.77
13
1070.10
14
1158.42
12
1479.63
19
1519.59
20
1342.15
13
2023.53
25
2051.11
26
1706.24
8
4259.29
28
4043.18
25
2993.33
16
1838.40
10
2731.65
33
3493.98
20
2178.76
11
3453.94
42
975.42
10
1795.02
52
1845.52
55
1162.72
10
2164.29
50
2375.83
55
928.75
10
2395.04
52
2146.62
46
1423.41
17.93
Table 3: Résultats de la classe A
à rajouter des mouvements de recherche locale dans
l’algorithme génétique afin d’améliorer les résultats.
Figure 5: Front Pareto et solution du mémétique pour
une instance.
Dans cette section, les résultats obtenus suite à cette
première étude multi-objectif ont montré qu’il est
possible d’obtenir des solutions avec un nombre de
véhicules plus petit, moyennant une augmention du
coût. La diminution du nombre de véhicules est
d’autant plus importante que le nombre de clients est
important. Toutefois, la solution du mémétique n’est
pas retrouvée dans le front de Pareto final pour toutes
les instances, ce qui souligne le fait que la recherche
locale utilisée par l’algorithme mémétique est d’une
grande efficacité. Ceci conduit alors à chercher à
réaliser un algorithme mémétique multi-objectif afin
d’améliorer les résultats obtenus sur cette partie.
MOSIM’10 - 10 au 12 mai 2010 - Hammamet - Tunisie
5
CONCLUSION
Dans cette communication, une étude d’un nouveau problème a été proposée, tout d’abord en considérant l’aspect mono-objectif, puis le cas multiobjectif. La minimisation du coût des tournées pour
le 2L-CVRPTW conduit à une minimisation du nombre de véhicules utilisés, jusqu’à un certain seuil. Il
est ensuite possible de diminuer encore le nombre
de véhicules, moyennant une augmentation du coût.
Nous travaillons actuellement sur l’introduction d’une
recherche locale multi-critère permettant d’améliorer
les résultats obtenus.
Cette étude s’est intéressée au cas d’un agencement
non restreint dans les véhicules, mais il est assez
courant de rencontrer des contraintes d’agencement
limitant les mouvements de manutention à effectuer
pour décharger un objet (cas séquentiel). Une perspective à court terme serait de généraliser toute cette
approche à ce cas de figure, ce qui devrait avoir un
impact direct sur les algorithmes de vérification du
chargement et engendrer une augmentation du nombre de véhicules et du coût. D’autre part, le problème
étudié dans cet article est directement inspiré des
problèmes de décision rencontrés dans les sociétés de
transport logistique. Une autre perspective intéressante serait de traiter des versions à données aléatoires comme le nombre d’objets de chaque type demandé par les clients.
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