Formule des compléments

Formule des compléments
Références :
Amar, Matheron, Analyse complexe, p 249-251
Théorème.
On rappelle qu’on définit la fonction Gamma d’Euler par :
ż `8
@z P ts P C|<psq ą 0u , Γpzq “
tz´1 e´t dt
0
On a l’égalité suivante :
@z P ts P C|0 ă <psq ă 1u , ΓpzqΓp1 ´ zq “
π
sin πz
Démonstration. D’après le théorème des zéros isolés, il suffit de prouver l’égalité pour z “ α Ps0, 1r. Soit donc
α Ps0, 1r.
En utilisant le théorème de Fubini, on obtient :
ˆż `8
˙ ˆż `8
˙ ż `8 ż `8
α´1 ´t
´α ´s
ΓpαqΓp1 ´ αq “
t
e dt
s e ds “
s´α tα´1 e´t´s dt ds
0
0
0
0
ż `8 ż `8 ˆ ˙α
t
dt
“
e´ps`tq ds
s
t
0
0
#
u “ s`t
s
On réalise le changement de variables donné par le système
et dont le jacobien vaut
v “
t
ˇ
˜
¸ˇ
ˇ
1
1 ˇˇ 1
s
1 v
v`1
ˇ
ˇdet 1 ´s ˇ “ ` 2 “ ` “
ˇ
ˇ
t
t
t
t
t
t
t2
On en déduit donc :
ż `8 ż `8
v ´α e´u
ΓpαqΓp1 ´ αq “
0
0
du dv
“
v`1
ż `8
0
1
α
v pv ` 1q
ż `8
ż `8
e´u du dv “
0
0
dv
.
` 1q
v α pv
Le lemme suivant termine la preuve.
Lemme.
On a l’égalité suivante :
ż `8
@α Ps0, 1r,
0
π
dt
“
tα p1 ` tq
sin πα
ż `8
dt
.
α p1 ` tq
t
0
bien définie car c’est l’intégrale d’une fonction mesurable positive ; on a même Iα ă `8. En effet :
1
t ÞÑ α
est continue sur s0, `8r (donc localement intégrable) ;
t p1 ` tq
1
1
En 0 : α
„
, qui est intégrable car 0 ă α ă 1 ;
t p1 ` tq tÑ0 tα
1
1
En `8 : α
„
, qui est intégrable car α ` 1 ą 1.
t p1 ` tq tÑ`8 tα`1
Démonstration. @α Ps0, 1r, on définit Iα :“
Iα est
—
—
—
Adrien LAURENT
1
ENS Rennes - Université de Rennes 1
ˇ
ˇ Ωzt´1u
ˇ
`
1
On note Ω “ CzR , on prend la définition de l’argument associée à Ω et on note f : ˇˇ
z
ˇ
Ñ
ÞÑ
C
1
,
α
z p1 ` zq
où l’on convient z α “ rα eiαθ quand z “ reiθ , où θ Ps0, 2πr.
La fonction f est holomorphe sur Ωzt´1u et possède un pôle
simple en ´1 avec :
Respf, ´1q “ lim p1 ` zqf pzq “
zÑ´1
1
“ e´iπα
p´1qα
iε
Pour R ą 1 et ε ă 1, on définit le chemin orienté (voir dessin)
`
´
γε,R “ Cε Y Iε,R
Y Γε,R Y Iε,R
, où :
ˇ
„
"
*
ˇ
π 3π
— Cε “ εeiθ ˇˇθ P
,
;
2 2
ı
”
a
˘
— Iε,R
“ ˘εi, ˘εi ` R2 ´ ε2 ;
ˇ
(
— Γε,R “ Reiθ ˇθ P rθˆ
ε,R , 2π ´ θε,R
˙s ,
ε
avec θε,R “ arctan ?
.
R2 ´ ε2
Le théorème des résidus donne donc :
ż
f pzq dz “ 2iπe´iπα
−1
Γε,R
+
Iε,R
Cε
−iε
R
−
Iε,R
γε,R
On va passer à la limite quand R Ñ `8 et ε Ñ 0.
‚ Sur Cε , on a
ˇż
ˇ
ˇ
ˇ
Cε
ˇ
ˇ
f pzqdz ˇˇ ď
1
πεp1´αq
ˆ πε “
ÝÑ 0.
´ εq
1 ´ ε εÑ0
εα p1
‚ Sur Γε,R , on a
ˇ ˇż
ˇż
ˇ
ˇ ˇ 2π
ˇ
ˇ
R1´α
ˇ
ˇ
f pzq dz ˇˇ ď 2π
f pzq dz ˇ ď ˇˇ
ÝÑ 0.
ˇ
ˇ
ˇ Γε,R
R ´ 1 RÑ`8
0
`
‚ Sur Iε,R
, on a
ż ?R2 ´ε2
ż
`
Iε,R
f pzq dz “
ż ?R2 ´ε2
f pεi ` tq dt “
0
1
dt.
pt ` εiq p1 ` t ` εiq
α
0
α
Or pt ` εiq ÝÑ tα , donc comme
εÑ0
1
pεi ` tq ÝÑ 1R`˚ ptq α
;
t p1 ` tq
ˇ
ˇ
1
ˇ
ˇ
— ˇ1s0,?R2 ´ε2 s ptqf pεi ` tqˇ ď 1R`˚ ptq
qui est intégrable,
α
|t ´ ε| p1 ` tq
par théorème de convergence dominée, on déduit :
ż
lim
f pzq dz “ Iα
—
1s0,?R2 ´ε2 s ptqf
`
Iε,R
α
‚ Enfin, de la même façon, en utilisant le fait que pt ´ εiq ÝÑ tα e2iπα ( 2 ), on a :
εÑ0
ż
lim
´
Iε,R
f pzq dz “ ´e´2iπα Iα
Conclusion : en tenant compte de l’orientation des intégrales, notre théorème des résidus donne
`
˘
1 ´ e´2iπα Iα “ 2iπe´iπα .
On a donc bien
Iα “
π
.
sin πα
1. Il est important d’insister sur ce point ! Si l’on prenait la détermination sur s ´ π, πr, nos intégrales ne seraient pas définies.
2. C’est ici que notre définition de l’argument sur s0, 2πr prend du sens : dans le premier cas, on est à partie imaginaire positive,
alors qu’ici on tend vers t à partie imaginaire négative.
Adrien LAURENT
2
ENS Rennes - Université de Rennes 1
Remarques : ‚ J’admets qu’appeler un contour Γε,R quand on étudie la fonction Γ n’est pas très malin.
‚ Une application importante de la formule des compléments est le prolongement méromorphe sur C de ζ (voir
Amar, Matheron, p252-254).
La fonction ζ sert partout et son prolongement permet notamment de donner du sens à des sommes non définies
du type 1 ` 2 ` 3 ` 4 ` 5 ` .... Elle permet aussi d’étudier les nombres premiers et leur répartition.
Cela devrait suffire comme application. ♥ ż
x`1
logpΓpsqqds à la page 54 du Chambert-Loir (analyse 2). (Merci
‚ Il y a une autre application au calcul de
x
Clééééééééééééééééééééééément Vince !)
Adapté du travail de Florian Lemonnier.
Adrien LAURENT
3
ENS Rennes - Université de Rennes 1