1 Rappels de cours 2 Méthodes et exemples

Niveau : 1e
Fiche méthode : comment montrer qu’une suite est géométrique
F. Demoulin
1 Rappels de cours
Définition 1.1 Une suite (un ) est dite géométrique s’il existe un réel q tel que, pour tout n de N, on
ait :
un+1 = qun .
Le réel q est appelé la raison de la suite (un ).
Le mode de génération des termes d’une suite géométrique est simple : on passe d’un terme au
terme de rang suivant en multipliant toujours par q.
×q
•
u0
×q
•
u1
×q
•
u2
×q
•
u3
×q
•
u4
×q
•
u5
•
u6
...
Propriété 1.1 Toute suite (un ) de terme général un = aq n où a et q sont deux réels non nuls est
une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 = a.
2 Méthodes et exemples
Point méthode 1 Pour montrer qu’une suite est géométrique, on peut montrer que le quotient
u n+1
u n est toujours constant.
On revient à la
définition 1.1.
Puisque l’on divise par un , il faut prouver au préalable que la suite (un ) est à termes non nuls.
Exemple. Soit (un ) la suite définie, pour tout n de N, par un =
Montrer que cette suite est géométrique.
2
3n .
Pour tout n de N, 3n 6= 0. La suite (un ) est donc à termes non nuls.
On a, pour tout n de N :
2
un+1
2
3n
3n
1
n+1
= 3 2 = n+1 ×
= n+1 = .
un
3
2
3
3
3n
De plus, u0 = 320 = 2.
La suite (un ) est donc la suite géométrique de raison
1
3
et de premier terme u0 = 2.
Point méthode 2 Pour montrer qu’une suite est géométrique, on exprime un+1 en fonction de un
et on vérifie que un+1 se met sous la forme qun .
On revient à nouveau à la
définition 1.1.
Exemple. Soit (un ) la suite définie par u0 = −1 et, pour tout n de N, par un+1 = 3un .
Montrer que (un ) est géométrique.
Pour tout n de N, un+1 = 3un .
De plus, u0 = −1.
La suite (un ) est donc la suite géométrique de raison 3 et de premier terme u0 = −1.
Point méthode 3 Pour montrer qu’une suite est géométrique, on cherche deux réels non nuls a et
q tels que un = aq n .
On s’appuie sur la
propriété 1.1.
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Niveau : 1e
Fiche méthode : comment montrer qu’une suite est géométrique
F. Demoulin
Exemple. Soit (un ) la suite définie, pour tout n de N, par un = 2 × (−1)n .
Montrer que cette suite est géométrique.
Pour tout n de N, un est de la forme aq n avec a = 2 et q = −1.
D’après la propriété 1.1, (un ) est la suite géométrique de raison −1 et de premier terme u0 = 2.
3 Exercice
Montrer que la suite (un )n∈N est géométrique.
b) un = 32n .
¡ ¢n
d) un = 12 .
a) un = −5n .
c) u0 = 2 et, pour tout n de N, un+1 = −2un .
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