Corrigé CCP 2010 PC Physique 2 Problème II:Gain de temps et

Corrigé CCP 2010 PC Physique 2
Problème II:Gain de temps et économie d’énergie
Francis BROUCHIER
2 octobre 2011
1
Approche simplifiée du comportement thermique d’un habitat ; optimisation du temps de mise en température
1.1
Modélisation sommaire
1.1.1
En électricité on écrit pour une résistance R traversée par un courant I aux bornes de laquelle existe
une différence de tension ∆V : ∆V = R.I. En thermodynamique on transpose ∆V en ∆θ , R en Rth et
I en Φ, ce qui donne ∆θ = Rth .Φ . Avec ∆θ en ˚C ou en K (le problème utilise les deux options), Φ
est en W att (unité de puissance) et Rth en ˚C/W (unité fréquemment utilisée en électronique pour les
radiateurs des transistors de puissance).
1.1.2
En électricité on écrit pour un condensateur Q = C.V et I = dQ/dt = C.dV /dt. En transposant en
thermodynamique on écrit : φ = Cth .dθ/dt avec Φ en Watt, dθ/dt en ˚C/s et Cth en Joule/˚C.
1.1.3
a) Loi des nœuds
Φ = Cth .
dθ
θ(t) − θe
+
dt
Rth
b) Si θ = θc constante dθ/dt = 0 ce qui donne :
Φ0 =
1.2
1.2.1
θc − θe
Rth
A.N. Φ0 = 6 kW
Mise en température
Mise en température sous flux constant
a) Φ0 = Cth dθ/dt + (θ(t) − θe )/Rth = Cth d(θ(t) − θe )/dt + (θ(t) − θe )/Rth . On obtient une équation
différentielle du premier ordre avec second membre dont la solution est :
d(θ(t) − θe )
1
Φ0
+
.(θ(t) − θe ) =
dt
Rth .Cth
Cth
θ(t) − θe = Rth .Φ0 [1 − exp(−t/τ0 )]
b) Avec les valeurs numériques de l’énoncé on trouve :
t ∼ 3.τ0 = 22500s = 6h 15mn
1
1.2.2
Chauffage forcé au départ puis réduit en fonction du temps
a)On remplace Φ0 par Φ1 (t) et on obtient l’équation différentielle :
1
Φ0
d(θ(t) − θe )
+ (θ(t) − θe ) =
(1 + 9 exp[−t/τ ])
dt
τ0
Rth
b) Connaissant la solution générale de cette équation pour déterminer la constante A on écrit que θ(0) = θe
et on obtient :
(θc − θe ).(τ0 /τ − 10)
τ0
A=
A = 0
τ =
1 − τ0 /τ
10
c) Avec cette valeur on obtient :
θ(t) = θc − (θc − θe ) exp(−t/τ )
un calcul analogue donne pour le temps t t ∼ 2250 s ∼ 37, 5 mn
1.2.3
Chauffage évolutif en fonction de la température intérieure atteinte
a) Pour obtenir cette équation on remplace Φ0 par Φ2 et il vient :
d(θ(t) − θe )
1
k0
k
+ .(θ(t) − θe ) =
[θc − θ(t)] +
.
dt
τ0
Rth
Rth
Z
t
[θc − θ(u)]du
0
En dérivant cette équation par rapport au temps on aboutit à l’équation différentielle du second ordre
demandée :
1 dθ(t)
k dθ(t)
k0
k0
d2 θ(t)
+
+
+
θ(t)
=
θc
dt2
τ0 dt
Rth dt
Rth
Rth
En régime établi les dérivées par rapport au temps sont nulles et il reste k0 [θc − θ(t)] = 0 soit θ(t) = θc .
b) L’équation différentielle est du second ordre avec second membre constant. Sa solution générale est la
somme de la solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution particulière de l’équation
avec second membre. Le terme r est obtenu comme solution de l’équation du second degré en r :
r2 + (
k
k0
1
+
).r +
=0
τ0 Rth
Rth
Le régime critique est atteint lorsque le discriminant de cette équation est nul ∆ = 0 et la valeur de r est :
r = −(
k
1
+
)
2.Rth
2.τ0
On désire :
1
τ0
2.Rth .τ0
τ0 = − =
=
r
10
k.τ0 + Rth
20.Rth = Rth + k.τ0
k =
19.Rth
τ0
En écrivant que le discriminant de l’équation est nul on trouve la valeur de k0 :
(
19
4.k0
1
+ )2 =
τ0
τ0
Rth
k0 =
Rth 20 2
.( )
4 τ0
c) Pour t = 0 θ(0) = θe soit A0 = θe − θc . En dérivant l’expression de θ(t) on trouve :
dθ
= rA0 exp(rt)+A” exp(rt)+A”tr exp(rt)
dt
(
dθ
k
)t=0 = r.A0 +A” =
[θc −θe ]
dt
Rth
2
A” =
9
(θc − θe )
τ0
2
Économie d’énergie
2.1
2.1.1
Économie sur le chauffage de l’air neuf d’un logement
Déperditions dues au renouvellement de l’air vicié par appel d’air neuf
On peut admettre que la pression de l’air intérieur est la même que celle de l’air extérieur. En admettant
que le volume d’air à renouveler est de 300 m3 /h et en appliquant la formule de l’énoncé Φnet = Φi − Φe =
0, 34D(20 − 5), on trouve Φnet = 1530 W
2.1.2
Récupération de chaleur sur l’air extrait avec un échangeur à contre-courant
a) On écrit que le flux élémentaire échangé est égal au produit de la conductance élémentaire g.dx par
le différence de température : dΦéch = (θc − θf )g.dx
b) On écrit la loi des nœuds en θc (x), ce qui donne : G(θc (x − dx) − Gθc (x) = dΦéch
c) Gθf (x + dx) − Gθf (x) = −dΦéch
d) En faisant un développement limité au premier ordre on obtient :
G[θc (x) −
dθc
.dx] − Gθc (x) = dΦéch
dx
G[θf (x) +
dθf
.dx] − Gθf (x) = −dΦéch
dx
En remplaçant dΦéch par la valeur du a) il reste :
dθf
g
= − (θc − θf )
dx
G
dθc
g
= − (θc − θf )
dx
G
On remarque que dθc /dx = dθf /dx. En prenant les dérivées secondes, il vient :
dθf
g dθc
d2 θc
−
) = 0
= − (
2
dx
G dx
dx
de même
d2 θf
= 0
dx2
Sachant que les dérivées secondes par rapport à x sont nulles on peut écrire θc = αx + β et θf = γx + δ, où
α,β,γ et δ sont des constantes à déterminer par les conditions initiales. De dθc /dx+ gθc /G = gθf /G on tire
Gα + g(αx + β) = g(γx + δ). En identifiant les termes il vient α = γ et Gα + gβ = gδ soit θc = αx + β
et θf = αx + β + αG/g. En x = 0, θc = 20, d’où β = 20. En x = L = 15 θf = 5 = 20 + α(15 + G/g).
Avec les valeurs numériques de l’énoncé G/g = 11 ce qui donne α = −0, 58 . Finalement on obtient les
valeurs demandées :
θc = −0, 58x + 20
θf = −0, 58x + 13, 6
e) En x = 0 θf = 13, 6 ◦ C, le flux de chaleur net à fournir est donc Φnet = 653 W . On économise
877 W en ne tenant pas compte de la puissance consommée par le ventilateur pour faire circuler l’air.
Cette méthode porte le nom de "ventilation à double flux".
3