Complément de cours1 : Fonctions de Rn dans Rp

Université Chouaib Doukkali
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques et Informatique
El Jadida
Complément de cours1 : Fonctions de Rn dans Rp
Soit Ω un ouvert de Rn et soit f : Ω −→ Rp , une application.
Dénition 1 On dit que f admet pour limite l ∈ Rp lorsque x tend vers a dans Ω
si
∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ Ω, ||x − a|| < δ =⇒ ||f (x) − l|| < ε.
On écrit l = lim f (x).
x→a
Notons que si la limite existe, elle est unique.
Dénition 2 On dit que f est continue en a si lim f (x) = f (a). On dit que f est
x→a
continue sur Ω si elle est continue en tout point de Ω.
Remarques 1 a) Pour prouver la continuité d'une fonction de plusieurs variables
en un point a de son domaine, on majore |f (x) − f (a)| par une expression mieux
connue, tendant vers 0 avec ||x − a||.
b)Pour prouver la discontinuité d'une fonction de plusieurs variables en un point a
de son domaine, on prouve que pour x tendant vers a le long d'un chemin particulier,
f (x) ne tend pas vers f (a).
c) Quelques majorations utiles :
|x| ≤
p
x2 + y 2 ,
|y| ≤
p
x2 + y 2 ,
1
|xy| ≤ (x2 + y 2 ).
2
Exercice 1 Etudier la continuité des fonctions dénies sur R2 par
½
f (x, y) =
(
f (x, y) =
x sin y1 , y =
6 0
0, y = 0
(
,
f (x, y) =
x2 y
, (x, y)
x4 +y 2
6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
(
x3 +y 3
, (x, y)
x2 +y 2
6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
,
f (x, y) =
x4 y
, (x, y)
x6 +y 4
6 (0, 0)
=
0, (x, y) = (0, 0)
Exercice 2 Même question pour la fonction dénie sur R3 par
(
f (x, y, z) =
1
xy 3 z 3
,
x4 +y 6 +z 8
0,
(x, y, z) 6= (0, 0, 0)
(x, y, z) = (0, 0, 0)
(Responsable : Prof. Lesfari, [email protected], http ://lesfari.com)
2
A. Lesfari
Soit a = (a1 , ..., an ) ∈ Ω ⊂ Rn , f : Ω −→ Rp . Notons
Ωi = {xi ∈ R : (a1 , ..., ai−1 , xi , ai+1 , ..., an ) ∈ Ω}, 1 ≤ i ≤ n
et considérons l'application suivante :
f i : Ωi −→ Rp ,
xi 7−→ f (a1 , ..., ai−1 , xi , ai+1 , ..., an ).
Dénition 3 On dit que f i est la ième fonction partielle de f au point a (c'est une
fonction vectorielle).
Proposition 1 Si f est continue en a, alors chaque f i est continue en ai . La réciproque est fausse.
Soit a ∈ Rn , Ω un voisinage de a, f : Ω −→ Rp , et u ∈ Rn avec u 6= 0.
f (a + λu) − f (a)
existe, alors on l'appelle dérivée de
λ→0
λ
λ6=0
Dénition 4 Si la limite lim
f en a dans la direction u et on la note
∂f
(a) ou ∂u f (a).
∂a
Un cas particulier important de dérivée directionnelle est celui de dérivée partielle.
La dérivée partielle de f au point a par rapport à la ième variable, s'obtient en prenant pour u le ième vecteur ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) de la base canonique (e1 , ..., en )
∂f
(a) ou fi0 (a). D'après la dénition des dérivées directionnelles,
de Rn . On la note
∂xi
on a
∂f
(a) =
∂xi
=
lim
λ→0
λ6=0
lim
λ→0
λ6=0
f (a + λei ) − f (a)
,
λ
f (a1 , ..., ai + λ, ..., an ) − f (a1 , ..., ai , ..., an )
.
λ
Au fond, on calcule la dérivée au point ai de la ième fonction partielle de f au point
a:
xi 7−→ f (a1 , ..., ai−1 , xi , ai+1 , ..., an ).
∂f
(a), on xe toutes les va∂xi
riables, sauf la ième , et on dérive la fonction d'une variable ainsi obtenue.
En d'autres termes, pour calculer la dérivée partielle
Remarques 2 a) L'existence des dérivées partielles en un point n'assure pas la
continuité de la fonction en ce point, ni l'existence des dérivées directionnelles en
ce point.
b) L'existence de toutes les dérivées directionnelles en un point n'implique pas la
continuité de la fonction en ce point.
Soit a ∈ Rn , Ω un voisinage de a et f : Ω −→ Rp , une application.
3
A. Lesfari
Dénition 5 On dit que f est diérentiable en a s'il existe une application linéaire
L : Rn −→ Rp , telle que :
∀h ∈ Rn ,
f (a + h) = f (a) + L(h) + ε(h),
ε(h)
= 0 (i.e., ε(h) = o(||h||)). De façon équivalente (il sut de poser
h→0 ||h||
h6=0
avec lim
x = a + h), s'il existe une application linéaire L : Rn −→ Rp , telle que :
f (x) = f (a) + L(x − a) + ε(x − a),
avec
ε(x − a)
= 0. L'application L si elle existe, est unique et s'appelle la
||x − a||
x∈Ω\{a}
lim
x→a
diérentielle de f au point a. On la note df (a) ou dfa .
Signalons l'observation triviale suivante : La fonction f à valeurs dans Rp est
diérentiable en a si et seulement si ses composantes fj sont diérentiables en a.
Proposition 2 Si f est diérentiable au point a, alors f est continue en a. (La
réciproque est fausse en général).
On montre que si f est diérentiable en a, alors f est dérivable suivant tout
vecteur u de Rn et
∂f
(a) = df (a)u,
∂u
pour chaque u de Rn . Cette formule implique que si L est l'application linéaire
intervenant dans la dénition de la diérentiabilité de f en a, alors
L(u) =
∂f
(a),
∂u
∀u ∈ Rn
d'où l'unicité de L.
Proposition 3 Si f est diérentiable au point a, alors les dérivées partielles
existent et on a
∂f
(a)
∂xi
n
X
∂f
df =
dxi .
∂xi
i=1
(La réciproque est fausse en général).
Exercice 3 Quelle est la valeur approchée de (1, 02)3,01 ?
Remarque 1 La seule existence des dérivées partielles ne sut pas à assurer la
diérentiabilité. Par contre, on a le théorème suivant très utile en pratique.
∂f
(1 ≤ i ≤ n) de f existent dans un
∂xi
voisinage de a et sont continues en a, alors f est diérentiable en a. (La réciproque
est fausse en général).
Théorème 1 Si les dérivées partielles
4
A. Lesfari
Proposition 4 (Condition susante de diérentiabilité dans le cas des fonctions
∂f
∂f
et
existent au point (a, b) et que l'une est
∂x
∂y
continue au point (a, b), alors f est diérentiable en (a, b).
f (x, y) de deux variables) : Si
Dénition 6 On dit que f est continûment diérentiable ou de classe C 1 sur Ω
lorsque les dérivées partielles
∂f
de f existent et sont continues sur Ω.
∂xi
Si f est de classe C 1 sur Ω, alors f est diérentiable sur Ω.
Exercice 4 Etudier la diérentiabilité des fonctions dénies sur R2 par
(
p
f (x, y) = x2 + y 2 ,
(
f (x, y) =
xy 3
1
, (x, y)
x2 +y 2
(x2 + y 2 )2 sin √
f (x, y) =
0, (x, y) = (0, 0)
(
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
x4 +y 2
6= (0, 0)
,
f (x, y) =
4
4
xy xx4 −y
, (x, y) 6= (0, 0)
+y 4
0, (x, y) = (0, 0)
Exercice 5 Montrer que la fonction f de R2 dans R dénie par
f (x, y) =
|x|y 3
,
x2 + y 2
admet un prolongement continue à l'origine. Etudier la diérentiabilité en tout point
de la fonction prolongée.
Exercice 6 Soit f une fonction de classe C 1 de R dans R. On pose
(
g(x, y) =
f (x)−f (y)
,
x−y
f 0 (x),
x 6= y
x=y
a) Etudier la continuité de g sur R2 .
b) Si f 00 (a) existe, g est-elle diérentiable en (a, a)?
Proposition 5 Soient
f, g : Ω ⊂ Rn −→ Rp ,
h : Ω ⊂ Rn −→ R,
des fonctions diérentiables au point a ∈ Ω. Alors f + g et f h sont doérentiables
en a et on a
d(f + g)(a) = df (a) + dg(a),
d(f h)(a) = h(a)df (a) + f (a)dh(a).
f
est diérentiable en a et
h
µ ¶
f
(df (a))h(a) − f (a)dh(a)
d
(a) =
.
h
h2 (a)
Si de plus, h(a) 6= 0, alors
5
A. Lesfari
Proposition 6 (Diérentiabilité d'une fonction composée) : Soient a ∈ Rn , Ω un
voisinage de a et f : Ω −→ Rp . Posons b = f (a) et soit ∆ un voisinage de b et
g : 4 −→ Rq . On suppoe que f est diérentiable en a et g est diérentiable en b.
Alors g ◦ f est diérentiable en a et
d(g ◦ f )(a) = dg(b).df (a).
Exercice 7 On considère une fonction f de R3 dans R appartenant à C 1 (R3 ). On
pose,
∀(x, y) ∈ R2 ,
F (x, y) = f (cos x2 , xy, f (y, y, y)).
Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de F par rapport à x et à y en un point
(a, b) ∈ R2 . On exprimera les dérivées partielles de F en fonction de celles de f .
Exercice 8 Même question pour la fonction
∀(x, y) ∈ R2 ,
F (x, y) = f (cos x2 , xy, f (x, y, x)).
Considérons l'application f : Ω ⊂ Rn −→ Rp , x 7−→ y = f (x). On a
y1 = f1 (x1 , ..., xn ),
y2 = f2 (x1 , ..., xn ),
..
.
yp = fp (x1 , ..., xn ).
On suppose que les dérivées partielles
∂fi
(a), 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ n, a ∈ Ω, existent.
∂xj
Dénition 7 On appelle matrice jacobienne de f en a, la matrice d'ordre p × n
suivante :



Jf (a) = 


∂f1
∂x1 (a)
∂f2
∂x1 (a)
...
...
..
.
∂fp
∂x1 (a) ...
∂f1
∂xn (a)
∂f2
∂xn (a)
..
.
∂fp
∂xn (a)
Si p = 1, Jf (a) se réduit à un vecteur de Rn ,
µ
¶
∂f
∂f
grad f =
(a), ...,
(a) ,
∂x1
∂xn






(f ≡ f1 ),
appelé gradient de f ; (On le note grad f ou ∇f ).
Si n = p, le déterminant de la matrice Jf (a) s'appelle jacobien de f en a et on
écrit
∂(f1 , ..., fn )
det Jf (a) =
(a).
∂(x1 , ..., xn )
Exprimé en terme de matrice jacobienne, la proposition 6 (sur la diérentielle
d'une fonction composée) fournit le résultat suivant :
6
A. Lesfari
Proposition 7 On a
Jg◦f (a) = Jg (f (a)).Jf (a).
Supposons de plus que f est bijective avec g = f −1 . D'où det Jg◦f (a) = 1, et par
conséquent
∂(f1 , ..., fn )
1
=
.
∂(x
,
∂(x1 , ..., xn )
1 ..., xn )
∂(f1 , ..., fn )
Cette formule est très utile car permet souvent d'éviter l'inversion explicite d'une
fonction.
Proposition 8 (théorème des accroissements nis) : Soient Ω un ouvert de Rn et
f : Ω −→ R une application, a ∈ Ω, h ∈ Rn tels que le segment [a, a + h] = {a + th :
0 ≤ t ≤ 1} soit inclus dans Ω. On suppose que f est diérentiable sur Ω. Alors, il
existe un réel θ ∈]0, 1[ tel que :
f (a + h) − f (a) =
n
X
i=1
hi
∂f
(a + θh),
∂xi
avec h = (h1 , ..., hn ) ∈ Rn .
Remarque 2 Le théorème des accroissements nis n'est plus vrai pour les fonctions
à valeurs vectorielles (en particulier à valeurs complexes).
Proposition 9 (Inégalité des accroissements nis) : Soient Ω un ouvert de Rn et
f : Ω −→ Rp une application, a ∈ Ω, h ∈ E tels que le segment [a, a + h] soit inclus
dans Ω. On suppose que f est continue sur [a, a + h], diérentiable sur ]a, a + h[ et
que :
∃M, ∀x ∈]a, a + h[, k df (x) k≤ M.
Alors,
k f (a + h) − f (a) k≤ M k h k .
∂f
∂xi
existent au point a ∈ Ω et sont continues en a, on sait que f est de classe C 1 en a. Si
ces dérivées partielles possèdent elles-mêmes des dérivées partielles, on les appellent
dérivées partielles secondes et on note
µ
¶
∂2f
∂
∂
(a) =
(a).
∂xj ∂xi
∂xj ∂xi
Soient a ∈ Rn , Ω un voisinage de a et f : Ω −→ Rp . Si les dérivées partielles
Si ces dérivées partielles secondes existent au voisinage de a et sont continues en
a, on dit que f est de classe C 2 en a. On dénit ainsi par récurrence les dérivées
partielles k èmes et la notion de fonction de classe C k . On dit enn qu'une fonction
est de classe C ∞ en a si toutes ses dérivées partielles, de tous les ordres, existent au
voisinage de a et sont continues en a.
7
A. Lesfari
Exercice 9 Soient f : R2 −→ R et g : R −→ R, dénies par


g(xy)
si (x, y) 6= (0, 0)
2
,
f (x, y) =
g(x ) + g(y 2 )

0 si (x, y) = (0, 0)
(
g(x) =
1
e− x2 si x 6= 0
0 si x = 0
Montrer que la fonction f est de classe C ∞ sur R2 \{0}.
Proposition 10 (théorème ou lemme de Schwarz) : Soit f : Ω ⊂ Rn −→ R et
∂2f
∂2f
et
existent en
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
tous les points d'un voisinage U de a et que ces deux fonctions sont continues en a.
Alors,
∂2f
∂2f
(a) =
(a).
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
a ∈ int Ω. Soient i 6= j ∈ {1, ..., n}. Supposons que
Remarques 3 a) Pour désigner les dérivées partielles d'ordre ≤ k d'une fonction f
de n variables de classe C k , on utilise parfois la notation suivante :
Dα f =
∂ |α| f
,
(∂xn )αn ...(∂x1 )α1
avec α = (α1 , ..., αn ) : n-uple d'entiers ≥ 0 et |α| = α1 + · · · + αn ≤ k .
b) Une variante du théorème précédent : Soient f : Ω ⊂ Rn −→ R, a ∈ int Ω et
i 6= j ∈ {1, 2, ..., n}. Si f est deux fois diérentiable en a, alors
∂2f
∂2f
(a) =
(a).
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
Exercice 10 Montrer que l'interversion des dérivées partielles n'est cependant pas
légitime dans tous les cas.(Réponse : il sut de considérer l'exemple
(
2
2
xy xx2 −y
, (x, y) 6= (0, 0)
+y 2
f (x, y) =
0, (x, y) = (0, 0)
On montre que
∂2f
∂y∂x (0, 0)
= −1 et
∂2f
∂x∂y (0, 0)
= 1).
Proposition 11 (Formule de Taylor) : Soient a ∈ Rn , Ω un voisinage de a et
f : Ω −→ R. Soit h ∈ Rn , tel que le segment [a, a + h], soit contenu dans Ω. On
suppose que f ∈ C r+1 sur Ω. Alors, il existe θ ∈]0, 1[ tel que :
f (a + h) = f (a) +
n
n
X
∂f
∂2f
1 X
(a)hi +
(a)hi1 hi2 + · · ·
∂xi
2
∂xi2 ∂xi1
i=1
+
+
1
r!
i1 ,i2 =1
n
X
∂rf
i1 ,...,ir =1
∂xir ...∂xi1
1
(r + 1)!
n
X
i1 ,...,ir+1 =1
(a)hi1 ...hir
∂ r+1 f
(a + θh)hi1 ...hir+1 .
∂xir+1 ...∂xi1
8
A. Lesfari
Soient Ω ⊂ Rn , un ouvert, f : Ω −→ Rp et a ∈ Ω. On dit qu'un polynôme
P : Rn −→ Rp , de degré ≤ n est un développement limié de f à l'ordre n au point
a, si ||f (a + x) − P (x)|| = o(||x||n ). Dans le cas où f est n-fois diérentiable au
point a, la formule de Taylor (proposition 11), exprime précisément que f admet un
développement limité P à l'ordre n au point a.
Exercice 11 Quelle est la valeur approchée de (0, 95)2,01 ?
Proposition 12 (théorème d'inversion locale) : Soit Ω un ouvert de Rn et
f : Ω −→ Rn ,
une fonction de classe C 1 . Soit x0 ∈ Ω, b0 = f (x0 ). Supposons que df (x0 ) soit
inversible (i.e., det Jf (x0 ) 6= 0). Alors, il existe un voisinage U (x0 ) de x0 et un
voisinage V (b0 ) de b0 tels que la restriction de f à U (x0 ) soit une bijection de U (x0 )
sur V (b0 ). En outre, la réciproque
f −1 : V (b0 ) −→ U (x0 ),
est de classe C 1 . (Si f est de classe C k , k ∈ N∗ , alors f −1 est également de classe C k .
Exercice 12 Soit Ω ⊂ Rn , un ouvert et f : Ω −→ Rn , une fonction de classe C 1 .
Soit x0 ∈ Ω, b0 = f (x0 ). Supposons que : ∀x ∈ Ω, df (x) est un isomorphisme.
Montrer que :
a) ∆ ⊂ Ω, ouvert=⇒ f (4) ⊂ Rn , ouvert.
b) f injective au voisinage de chaque point de Ω.
c) f peut ne pas être injective sur Ω tout entier même si Ω est connexe.
Exercice 13 Soit f : Ω ⊂ Rn −→ Rn , une fonction de classe C 1 sur l'ouvert Ω et
supposons que df (x) est un isomorphisme pour tout x ∈ Ω. Montrer que f (∆) est
ouvert dans Rn pour chaque ouvert ∆ ⊂ Ω.
Exercice 14 Sous les hypothèses de l'exercice précédent, montrer que
a) f est injective au voisinage de chaque point de Ω.
b) f peut ne pas être injective sur Ω tout entier (même lorsque Ω est connexe).
Dénition 8 Un bijection f d'un ouvert Ω de Rn sur un ouvert f (Ω) de Rn qui est
de classe C k , k ∈ N∗ , ainsi que sa réciproque f −1 s'appelle un diéomorphisme de
classe C k .
Exercice 15 Plaçons nous dans la situation du théorème d'inversion locale dont
nous utilisons les notations : Ω, f, x0 , U, V et f1 . Montrer que pour tout voisinage
ouvert W ⊂ U de x0 , f (W ) est un voisinage ouvert de f (x0 ), et f est bijective de
W sur f (W ) avec une réciproque de classe C 1 (C k si f l'est).
9
A. Lesfari
Proposition 13 (théorème des fonctions implicites) : Soit Ω un ouvert de Rn × Rp
et g : Ω −→ Rp une fonction de classe C 1 . Soit (a, b) ∈ Ω. Supposons que :
(i) g(a, b) = 0. µ
¶
∂gi
(ii) la matrice
(a, b)
est inversible.
∂yj
1≤i,j≤p
Montrer qu'il existe un voisinage U (a) de a dans Rn et un voisinage V (b) de b dans
Rp , avec U (a) × V (b) ⊂ Ω, tels qu'il existe une fonction unique f : U (a) −→ V (b),
avec
(i)' b = f (a).
(ii)' g(x, f (x)) = 0, ∀x ∈ U (a).
Cette fonction f est de classe C 1 . De plus, si g est de classe C k (k ≥ 1), f est de
classe C k .
Exercice 16 On considère la relation :
g(x1 , ..., xn , y) = 0,
où g : Rn × R −→ R est de classe C 1 et soit (a, b) ∈ Rn × R avec g(a, b) = 0 et
∂g
(a, b) 6= 0. Montrer que qu'il existe f dénie et de classe C 1 au voisinage de a
∂y
dans Rn avec
∂g
∂f
∂x (a, b)
(a) = − ∂gi
.
∂xi
(a, b)
∂y
Exercice 17 On considère deux surfaces d'équations :
x2 (y 2 + z 2 ) = 2,
et
(x − z)2 + y 2 = 1.
Peut-on représenter la courbe intersection de ces surfaces par des équations de la
forme y = f1 (x) et z = f2 (x) au voisinage du point (1, 1, 1) ? Si oui, calculer f10 (1)
et f20 (1).
Exercice 18 On considère la courbe d'équation :
g(x, y) = y 2 − 2x3 − x2 = 0.
Peut-on représenter cette courbe
√ par une équation x = f (y).
a) au voisinage du point (1, 3) ?
b) au voisinage du point (0, 0) ?
Si oui, calculer la dérivée de f au point considéré.
Exercice 19 On suppose que les variables réelles x, y, z sont liées par la relation
f (x, y, z) = 0. Montrer que sous des hypothèses à préciser
∂x ∂y ∂z
= −1.
∂y ∂z ∂x
10
A. Lesfari
Exercice 20 On considère la surface d'équation :
xy − z ln y + exp xz = 1.
Cette surface peut-elle être représentée,
a) par une équation de la forme z = f (x, y) au voisinage du point (0, 1, 1) ?
b) par une équation de la forme y = h(x, z) au voisinage du point (0, 1, 1) ?
Si oui, calculer les dérivées premières de f et h au point considéré.
Exercice 21 Soit f l'application de R2 dans R2 dénie par
(x, y) ∈ R2 −→ f (x, y) = (x2 − y 2 − 2xy, y) ∈ R2 .
1) Montrer que f dénit une bijection de U = {(x, y) ∈ R2 : x > y} sur V =
{(u, v) ∈ R2 : u + 2v 2 > 0}.
2) f est-elle un homéomorphisme de U sur V ?
3) f est-elle un diéomorphisme de classe C 1 de U sur V ?
4) Soit g une fonction continument dérivable de R dans R, et h l'application
(x, y) ∈ R2 −→ h(x, y) = g(x2 − y 2 − 2xy) ∈ R.
∂h
∂h
et
.
∂x
∂y
4.2) Montrer l'égalité
4.1) Calculer
∀(x, y) ∈ R2 ,
(x + y)
∂h
∂h
+ (x − y)
= 0.
∂x
∂y
(∗)
4.3) On cherche les fonctions de classe C 1 de U dans R vériant l'égalité (*).
(i) Soit h1 une fonction de classe C 1 vériant l'égalité (*). Montrer que l'application g1 :
(u, v) ∈ V 7−→ g1 (u, v) = h1 ◦ f (u, v) ∈ R,
∂g1
est de classe C 1 et vérie
= 0.
∂v
∂H
(ii) On admet que si une fonction H de classe C 1 de V dans R vérie
=0
∂v
alors H ne dépend pas de la variable u.
En déduire la forme générale des fonctions vériant l'égalité (*) dans U .
Exercice 22 Soient Ω un ouvert de Rn et f : Ω −→ Rn une application diérentiable
injective. Montrer que f est un diéomorphisme de Ω sur f (Ω) si et seulement si le
rang de f en tout point de Ω est n.
Exercice 23 Soient Ω un ouvert de E et f : Ω −→ F une application diérentiable
de rang constant r. Montrer que pour tout a ∈ Ω, il existe
(i) un voisinage ouvert U (a) de a dans Ω.
(ii) un voisinage ouvert V (b) de b = f (a) dans F, contenant f (U (a)).
(iii) un diéomorphisme local g : U (a) −→ W de E et un diéomorphisme
local h : V (b) −→ W 0 de F.
tels que l'on ait :
(h ◦ f ◦ g −1 )(x1 , ..., xn ) = (x1 , ..., xr , 0, ..., 0),
∀(x1 , ..., xn ) ∈ W.
11
A. Lesfari
Dénition 9 On dit qu'une fonction f : Rn −→ Rp , est homogène de degré α si,
pour λ ∈ ∗+ et tout x ∈ R, on ait
f (λx) = λα f (x).
Si f et g sont homogènes de degré α, alors f + g est homogène de degré α. Si f
est homogène de degré α et g est homogène de degré β , alors f g est homogène de
f
degré α + β et
est homogène de degré α − β . Si f est homogène de degré α et
g
∗
s
s ∈ R , alors f est homogène de degré αs . Si f est diérentiable et homogène de
degré α, alors les dérivées partielles de f sont homogènes de degré α − 1.
Proposition 14 Si f est diérentiable en x et homogène de degré α, alors on a la
formule d'Euler :
n
X
k=1
xk
∂f
(x) = αf (x).
∂xk
Exercice 24 Déterminer f : (R∗+ )3 −→ R homogène de degré α en (y, z), β en (z, x)
et γ en (x, y).
Exercice 25 Soit E , F deux espaces vectoriels réels normés et f : E −→ F , vériant
f (x + y) = f (x) + f (y),
∀x, y ∈ E.
On suppose que f est bornée sur la boule unité de E. Montrer que :
a) ∀λ ∈ Q, ∀x ∈ E, f (λx) = λf (x).
b) f est continue en tout point de E .
c) f est linéaire.
Exercice 26 On appelle cône (positif ) d'un evn E une parte C de E vériant :
∀x ∈ E, ∀λ > 0, λx ∈ C. Vérier que C = {(x, y) ∈ R2 : y − x ≥ 0} est un cône
√
positif et que f : (x, y) 7→ y − x est homogène (préciser son degré).
Exercice 27 Déterminer les fonctions ϕ de classe C 1 telles que :
µ ¶
x
ϕ
= f (x)g(y).
y
Soient Ω un ouvert de Rn , f : Ω −→ R et a ∈ Ω.
Dénition 10 a) On dit que f possède en a un maximum (resp. minimum) local ou
relatif s'il existe un voisinage V de a inclus dans Ω tel que :
∀x ∈ V,
f (x) ≤ f (a)
(resp. f (x) ≥ f (a)).
b) On dit que f possède en a un maximum (resp. minimum) global si :
∀x ∈ Ω,
f (x) ≤ f (a)
(resp. f (x) ≥ f (a)).
c) Un extremum est un maximum ou un minimum.
12
A. Lesfari
Proposition 15 (Condition nécessaire) : Si f est diérentiable en a et présente un
extremum en a, alors df (a) = 0.
Soit Ω un ouvert de Rn , f : Ω −→ R une fonction de classe C 2 et a ∈ Ω tel que :
df (a) = 0.
Dénition 11 On appelle matrice hessienne (ou tout simplement hessienne) de f
en a, la matrice suivante :
 ∂2f
2 (a)
 ∂∂x2 f1

 ∂x ∂x (a)
H(f, a) =  2 . 1

..

2
∂ f
∂xn ∂x1 (a)
∂2f
∂x1 ∂xn (a)
∂2f
(a)
∂x22
...
∂2f
∂xn ∂x2 (a)
...
...
..
.
∂2f
∂x1 ∂xn (a)
∂2f
∂x2 ∂xn (a)
..
.
∂2f
(a)
∂x2

 µ
¶

∂2f

(a)
.
=

∂xj ∂xi
1≤i,j≤n

n
A la matrice hessienne H de f en a (comme toute matrice carée d'ordre n), on
associe la forme quadratique Q : Rn −→ R, dénie par
n
X
∂2f
(a)hi hj ,
Q(h) =
∂xj ∂xi
∀h = (h1 , ..., hn ) ∈ Rn .
i,j
Cette forme quadratique est parfois notée d2 f (a) et sa valeur en h, d2 f (a)(h). Rappelons qu'une forme quadratique Q est dite
- dénie positive si ∀h ∈ Rn , h 6= 0, Q(h) > 0.
- semi-dénie positive si ∀h ∈ Rn , Q(h) ≥ 0.
- dénie négative si ∀h ∈ Rn , h 6= 0, Q(h) < 0.
- semi-dénie négative si ∀h ∈ Rn , Q(h) ≤ 0.
- indénie si ∃h, g ∈ Rn avec Q(h) > 0 et Q(g) < 0.
Proposition 16 (Conditions susantes) : Soit Ω un ouvert de Rn , f : Ω −→ R
une fonction de classe C 2 et a ∈ Ω tel que : df (a) = 0.
1) Si d2 f (a) est une forme quadratique dénie positive, alors f possède un minimum
local au point a.
2) Si d2 f (a) est une forme quadratique dénie négative, alors f possède un maximum
local au point a.
3) Si la forme quadratique d2 f (a) est indénie, alors f n'a pas d'extremum au point
a.
Proposition 17 Si f possède un minimum local (resp. un maximum local) au point
a, alors d2 f (a) est semi-dénie positive (resp. semi-dénie négative).
Remarque 3 On démontre en algèbre qu'une forme quadratique Q associée à une
matrice symétrique H est dénie positive (resp. semi-dénie positive) si et seulement si toutes les valeurs propres de la matrice H sont strictement positives (resp.
positives).
13
A. Lesfari
Proposition 18 (Conditions susantes) : Soit Ω un ouvert de Rn , f : Ω −→ R
une fonction de classe C 2 et a ∈ Ω tel que : df (a) = 0.
1) Si les valeurs propres de la matrice hessienne H(f, a) sont strictement positives,
alors f possède un minimum local au point a.
2) Si les valeurs propres de la matrice hessienne H(f, a) sont strictement négatives,
alors f possède un maximum local au point a.
3) S'il existe deux valeurs propres λ1 et λ2 de H(f, a) de signe contraire, f ne possède
ni maximum, ni minimum local au point a.
Remarque 4 Comme f est de classe C 2 , on montre que la matrice H(f, a) est sy-
métrique et toutes ses valeurs propres sont réelles. De plus, toutes ses valeurs propres
sont strictement positives si et seulement si H(f, a) est dénie positive. De même,
toutes ses valeurs propres sont strictement négatives si et seulement si H(f, a) est
dénie négative.
Exercice 28 (Conditions nécessaires) : Dans les hypothèses de la proposition précédente, montrer que :
1) Si f possède un minimum local au point a, toutes les valeurs propres de la matrice
hessienne H(f, a) sont positives ou nulles.
2) Si f possède un maximum local au point a, toutes les valeurs propres de la matrice
hessienne H(f, a) sont négatives ou nulles.
Dans le cas de fonctions de deux variables f (x, y) de classe C 2 , on peut se passer
du calcul explicite des deux valeurs propres de la matrice hessienne et se contenter
du signe du déterminant. Soit a un point critique, i.e., tel que : df (a) = 0. Posons
r=
∂2f
(a),
∂x2
s=
La matrice hessienne
µ
H=
a pour déterminant :
∂2f
(a),
∂x∂y
r s
s t
t=
∂2f
(a).
∂y 2
¶
,
det H = rt − s2 .
L'équation caractéristique est alors
µ
¶
λ − r −s
det
= λ2 + (r + t)λ + (rt − s2 ) = 0.
−s λ − t
Si det H < 0, les deux racines sont de signes contraires et la matrice hessienne est
indénie. On n'a donc pas d'extremum en a. On dit dans ce cas que f admet un
point col ou point selle en a. Si det H > 0, les deux racines sont de même signe et f
admet un extremum en a. C'est un minimum local si r > 0 et un maximum local si
r < 0. En résumé, on a
Proposition 19 (Conditions susantes dans le cas de fonctions de deux variables) :
1) Si det H > 0 et r > 0, alors f admet un minimum local au point a.
2) Si det H > 0 et r < 0, alors f admet un maximum local au point a.
3) Si det H < 0, alors f n'admet pas d'extremum local au point a.
14
A. Lesfari
Remarque 5 Si det H = 0, il faut faire une étude plus complète de f .
Exercice 29 Déterminer les extremums de la fonction :
f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 15x − 12y.
Exercice 30 Déterminer les extremums de la fonction :
f (x, y) = sin x. sin y.
Les extremums étudiés précédemment sont dites libres. Mais bien des cas, on
cherche à maximiser ou à minimiser une fonction, mais en tenant compte de certaines
contraintes : on parle dans ces cas d'extremums liés.
Dénition 12 Soient f : Ω ⊂ Rn −→ R et g : Ω ⊂ Rn −→ Rp , deux fonctions
données et a ∈ Ω. On dit que f possède au point a un maximum local sous les
contraintes g(x) = 0 si
∃ε > 0, ∀x ∈ A = {x ∈ Ω : g(x) = 0}, ||x − a|| < ε =⇒ f (x) ≤ f (a).
La fonction f possède au point a un minimum local sous les contraintes g(x) = 0 si
∃ε > 0, ∀x ∈ A = {x ∈ Ω : g(x) = 0}, ||x − a|| < ε =⇒ f (x) ≥ f (a).
Si f possède au point a un maximum ou un minimum local sous les contraintes
g(x) = 0, on dit que f possède au point a un extremum local sous les contraintes
g(x) = 0.
Proposition 20 Soient f : Ω ⊂ Rn −→ R et g : Ω ⊂ Rn −→ Rp , deux fonctions
de classe C 1 . Supposons que f possède au point a un extremum sous les contraintes
g(x) = 0 et que la matrice jacobienne Jg (a) de g au point a soit de rang p. Alors, il
existe des constantes λ1 , ..., λp (appelées multiplicateurs de Lagrange) telles que :
p
X ∂gi
∂f
(a) =
(a).
λi
∂x
∂x
i=1
Méthode des multiplicateurs de Lagrange : Si le point a est un extremum local
de f sous les contraintes g(x) = 0, alors les relations suivantes permettent en général
de déterminer a :
p
X
∂gi
∂f
λi
i)
(a) =
(a).
∂x
∂x
i=1
ii) g(a) = 0.
Exercice 31 Chercher un extremum de la fonction :
f (x, y) = x21 + x22 ,
sous la contrainte : g(x1 , x2 ) = x21 − x22 − 1 = 0.
15
A. Lesfari
Exercice 32 Chercher les extremums de la fonction :
f (x, y, z) = x ln x + y ln y + z ln z,
sous la contrainte : x + y + z = a,
(a > 0).
Exercice 33 Déterminer les extremums de la fonction f dénie sur R3 par
f (x, y, z) = exp x + exp y + exp z,
lorsque (x, y, z) est soumis à la contrainte : x + y + z = 0.
Exercice 34 Soit f, g ∈ C 1 (R3 , R), S = {(x, y, z) ∈ R3 : g(x, y, z) = 0}. On suppose
que la diérentielle de g est non nulle en tout point de S. Montrer que si f admet
un extremum sur S en a ∈ S, il existe λ ∈ R, tel que : df (a) = λdg(a).
Exercice 35 Soit A ∈ Mn (R) symétrique dénie positive et f ∈ Rn . On leur associe
l'application
F : Rn −→ R,
x 7−→ F (x) =
1
< Ax, x > − < f, x > .
2
a) Etudier la diérentiabilité de F .
b) Calculer grad F .
c) Déterminer les extremums de F .
Exercice 36 Soit n ∈ N∗ . Dans ce problème, on considère l'espace vectoriel Rn muni
du produit scalaire canonique et on désigne par f une fonction de classe C 2 sur Rn .
On dit que f est convexe sur Rn si :
∀(x, y) ∈ (Rn × Rn ), ∀ ∈ [0, 1], f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).
1) Soit g une fonction de classe C 2 et convexe sur R telle que : ∃x0 ∈ R, g 0 (x0 ) = 0.
Montrer que g admet un minimum en x0 .
2) a) Montrer que f est convexe sur Rn si et seulement si pour tout (x, y) ∈ (Rn ×Rn ),
la fonction ϕx,y dénie sur R par :
∀t ∈ R, ϕx,y (t) = f (x + yt),
est convexe sur R.
b) Montrer que pour tout (x, y) ∈ (Rn × Rn ), ϕx,y est de classe C 2 sur R. Déterminer alors, pour tout (x, y) ∈ (Rn × Rn ), ϕ0x,y et ϕ00x,y en fonction des dérivées
partielles de f.
c) Soient x ∈ Rn et Ax ∈ Mn (R), Ax = (aij )1≤i,j≤n , la matrice dénie par
∀(i, j) ∈ [1, n]2 , aij =
∂2f
(x).
∂xi ∂xj
Soit alors ψx l'endomorphisme de Rn dont la matrice dans la base canonique de Rn
est Ax . Montrer que les valeurs propres de Ax sont positives ou nulles si et seulement
A. Lesfari
16
si ∀y ∈ Rn , hψx (y), yi ≥ 0.
d) En déduire que f est convexe sur Rn si et seulement si pour tout x ∈ Rn ,
toutes les valeurs propres de Ax sont positives ou nulles.
∂f
(x0 ) = 0,
3) Soit x0 ∈ Rn . Montrer que si f est convexe sur Rn et si ∀i ∈ [1, n],
∂xi
alors f admet un minimum en x0 .