TP6 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

TP 6 : Résolution numérique du système de Lotka-Volterra
Problème 1:Modéle Proie-Prédateur de Lotka-Volterra
En mathématiques, les équations de Lotka-Volterra, que l’on désigne aussi sous le terme de ”modèle
proie-prédateur”, sont un couple d’équations différentielles non-linéaires du premier ordre, et sont
couramment utilisées pour décrire la dynamique de systèmes biologiques dans lesquels un prédateur
et sa proie interagissent. Elles ont été proposées indépendamment par Alfred James Lotka en 1925
et Vito Volterra en 1926. En 1926, Volterra proposa un modèle simple de système proie–prédateur
(par exemple le couple requin–sardine ou autre afin d’expliquer les oscillations dans les campagnes
de pêche dans l’Adriatique. Il s’écrit

y˙1 (t) = ay1 (t) − by1 (t)y2 (t)



| {z }
| {z }

croissance
proies consommées
y˙2 (t) = qy1 (t)y2 (t) −



| {z }

croissance
py2 (t)
| {z }
mortalité prédateurs
où t représente le temps, y1 (t) et y2 (t) comptent respectivement le nombre de proies et de prédateurs
au cours du temps et a, b, p et q sont des paramètres positifs.
La première équation se comprend comme suit : en l’absence de prédateurs, les proies se reproduisent naturellement avec un taux d’accroissement a, mais qu’elle sont mangées proportionment à
la présence de prédateurs (terme −by2 (t)). De même, en l’absence de proie, les prédateurs meurent
avec un taux p, mais leur population s’accroı̂t proportionnellement à la présence de proie (terme
qy2 (t)).
Exercice 1:
Question 1: Tracer le champs des vecteurs t −→ (ẏ1 (t), ẏ2 (t))T
En notation vectorielle ce système s’écrit
y 0 = f (t, y), y(0) = y0
(1)
avec y = (y1 , y2 )T et f = IR+ × IR2 → IR2 . f (t, x1 , x2 ) = (ax1 − bx1 x2 , qx1 x2 − px2 )T . Définir
la fonction function y=chp(t,x); donnant le champs des vecteurs t −→ (ẏ1 (t), ẏ2 (t))T . avec
(a=3,b=1 p=2 et q=1 ) A l aide de l instruction fchamp tracer ces vecteurs sur [0, 4 × [0, 6] par
pas de 0.5.
Question 2: Tracer dans le plan (y1 , y2 ) les solutions des 4 méthodes suivantes pour
dt=0.05 et dt plus petit avec l état initial y0 = (1, 2) ,a=3,b=1 p=2 et q=1
.
1. La méthode d’Euler explicite Elle est définie par
y 0 = y(0),
y n+1 = y n + dt F (tn , y n ), n = 1, ....N = f loor(T /dt).
Ecrivez une fonction function yy=eulE(y0,dt,T); qui renvoie la suite des N valeurs successives y n de la solution approchée de (??), avec un pas dt. yy = (y 0 , y 1 , ...y N ). T etant le
temps final de simulation. La fonction F etant préalablement donnée par
function y=F(x);
a=3;b=1;p=2;q=1;
y=zeros(x);
1
y(1)=x(1)*(a-b*x(2));
y(2)=x(2)*(q*x(1)-p);
endfunction
2. La méthode d’Euler implicite Elle est définie par
y 0 = y(0),
y n+1 = y n + dt f (tn , y n+1 ).
Pour calculer y n+1 il est nécessaire de calculer le zéro de la fonction φ(x) = x − dtf (t, x) − y n .
On utilise par exemple la méthode de Newton. Pour cela définir les fonctions function
yy=Phi(y0,dt,T) , les matrices (Jacobiennes) dérivées function A=DF(x) et function
A=Dphi(x) .Définir function yy=eulI(y0,dt,T) qui renvoie la suite des nite valeurs successives y n . la méthode de Newton étant définie par
function x=newton(x0,dt,eps)
err=1; x=x0;
while err>eps,
x=x-Dphi(x,dt)\ phi(x,x0,dt);
err=phi(x,x0,dt);
end
endfunction
3. La méthode du point milieu Elle est définie par
y0h = y0 ,
y n+1 = y n +
h
(f (tn , y n ) + f (tn+1 , y n+1 )), n ≥ 0.
2
dont une programmation est:
function yy=ptmil(y0,dt,T)
eps=1e-8;y=y0; yy=y;
N=floor(T/dt);
for i=1:N,
ydemi=newton(y,dt/2,eps);
y=ydemi+dt/2*F(ydemi);
yy=[yy,y];
end
endfunction
4. La méthode de Heun Elle est définie par
function yy=heun(y0,h,T)
y=y0;yy=y;
N=floor(T/h);
for i=1:N,
y=y+h/2*(F(y)+F(y+h*F(y)));
yy=[yy,y];
end
endfunction
2
Question 3: Tracer les solutions en fonction du temps. Quelles méthodes donnent
la bonne solution périodique
Problème 2: Proie Prédateur avec competition intraspecifique
Dans cet exercice , on pertube le modéle pécédent on introduisant pour les deux espéces une
compétition entre individu d ’ une meme espece qui se traduit par une mortalité proportionnelle au nombre d individus et de coefficient epsilon.

y˙1 (t) = ay1 (t) − by1 (t)y2 (t) −
y1 (t)2



| {z }

y˙2 (t) = qy1 (t)y2 (t) − py2 (t) −




compétition entre proies
y2 (t)2
| {z }
compétition entre préd
Pour le jeu de test on choisira a=3;b=1;p=2;q=1;eps=.01;
Question : Adapter la méthode du point milieu à ces équations et tracer les
solutions dans le plan (y1 , y2 )
Question : Comparer les solutions perturbée et non perturbée
Problème 3 :Introduction d’ un super-prédateur

y˙1 (t) = y1 (t) (a1 − b1 y2 (t))




y2 (t)y3 (t)

)
y˙2 (t) = y2 (t) (−a2 + b2 y1 (t) − c1 2
d + y2 (t)2


y2 (t)2


)
 y˙3 (t) = y3 (t) (−a3 + c2 2
d + y2 (t)2
Question : Adapter une méthode numérique , d ordre supérieur à 1, (RK2 ou
RK4) à ces équations
Soit la valeur a∗ =
a21 c2
a21 +b1 d2
et
(a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 , D) = 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.6, 0.75, 10) suivanr la valeur de a3 tracer dans
l’espace la trajectoire (t −→ (y1 (t), y2 (t), y3 (t)) l aide de param3d;
Cas 1: a3 = 0.005. < a∗3
Cas 2: a3 = 0.05 > a∗3
Cas 3: a3 = a∗3 = 0.007426
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