Rapport : Le problème de Jean de Florette

Rapport : Le problème de Jean de Florette
1.
a) Question traitée par la majorité des candidats, avec un taux d'erreur de 50 % environ. Beaucoup d'élèves pensent que le fait que 2 L soient produits implique que la loi
de vitesse soit :
dL
= 2k1 HL
dt
Il faut penser à voir les deux eets : la réaction consomme un L pour en produire deux.
Au nal, la loi de vitesse n'a pas le facteur 2.
L'autre erreur est de simplier la réaction en H → L, car cette réaction n'est plus
élémentaire, il ne s'agit que d'un bilan macroscopique. On ne peut donc pas en déduire
de loi de vitesse.
Toutes les copies, qui, probablement par automatisme de cours, ont trouvé des exponentielles décroissantes, ont par contré été impitoyablement sanctionnées.
b) Sans calculette, on attendait juste la façon de mener le calcul. Il s'agissait d'un
corrolaire de la question précédente, les points ont été comptés dès que la réponse était
logique avec la précédente, même si elle était fausse dans l'absolu.
Certains candidats ont eu le courage de tenter le calcul, et ont parfois été sanctionné
pour de grossières erreurs de calculs. On rappelle, à toutes ns utiles :
exp(ab) = exp(a)b et non exp(a) exp(b)
ln(10) = 2.3 et non ln(10) = 1
A = B ∗ exp(50x) ⇒ x =
A
ln( B
)
50
et non x =
A
50B
Cette question a été particulièrement mal traitée. La plupart des candidats n'ont vu
que les descendants directs du premier couple, une partie d'entre eux ayant quand même
du mal à en déduire un taux de multiplication (ce dernier était explicitement déni dans
l'énoncé). Le couple engendrait alors 6 lapereaux, soit un taux de multiplication de 4
(6 descendants + 2 lapins au départ, divisé par les deux lapins initiaux). Un taux de
multiplication inférieur à 1 est censé choquer le candidat. La comparaison avec le cas
australien était dicile sans valeur numérique, mais les candidats ayant compris que la
mort et la prédation limitaient le taux de multiplication ont été dûment rétribués.
Tout les candidats ayant compris que la première portée pouvait se reproduire ont été
notés en conséquence.
L'erreur pour ces derniers consistait à considérer que les 3 premiers descendants étaient
soit un mâle et deux femelles, soit l'inverse. On raisonnait en moyenne, "1.5 individus"
était parfaitement acceptable. Quelques candidats ont cependant réussi à trouver la
bonne valeur.
d) Le plus simple était d'utiliser le taux de multiplication de la question c). Un petit
commentaire sur la vraisemblance du résultat était apprécié.
c)
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2. Si on regarde l'équation diérentielle vériée par L, on voit que la forme ne change pas,
il s'agit toujours d'une exponentielle. Aucun élève n'a vérié ceci avant de continuer.
Beaucoup d'erreur dans cette question, les élèves cherchant la condition "population
constante", au lieu du "population croissante" stipulé par l'énoncé. D'autre part, k1 et
k2 n'ont pas la même dimension. Sans l'équation diérentielle, beaucoup ont écrit, un
peu rapidement, k1 > k2 au lieu de k1 H > k2 .
3. a) Cette question a été particulièrement mal traitée, seuls quelques élèves ont réussi à
poser correctement l'équation, aucun n'a réussi à la résoudre. Il s'agit d'un cas cinétique
assez proche du cours : les deux espèces H et L varient, mais un bilan de matière permet
de se restreindre à une variable, l'avancement x de la réaction. Il s'agit ensuite d'une
intégration par séparation des variables (5 élèves sont arrivés jusque là, aucun n'a réussi
à intégrer correctement).
b) Conformément à ce que demandait l'énoncé, on attendait un soin particulier aux
valeurs initiale, limite et au temps caractéristique. Pour la valeur initiale L = f (t =
0) = L0 était trivial, mais la moitié des élèves qui ont tracé la courbe ont réussi à se
tromper. D'autre part, une conservation de la matière montre que la valeur limite est
L0 + H0 (chaque H consommé crée un L).
On ne considérait que la croissance des lapins avec l'herbe, en aucun cas leur mort.
Toute décroissance de L = f (t) était donc fausse.
Aucun élève n'a traité correctement cette question, certaines copies ayant toutefois eu
des intuitions assez bonnes.
4. a) Cette question, pourtant assez simple, a été peu traitée. Mais pour les élèves qui s'y
sont attaqué, les réponses étaient en général juste.
A noter qu'ici l'approximation de l'état quasi-stationnaire n'était pas valable (l'évolution des populations donnée en infra permettait de s'en convaincre).
b) Très peu d'élèves ont répondu à cette question. La réponse correcte correspondait
à reprendre le système diérentiel précédent, et remplacer les dérivées temporelles par
0, H par H0 .
Certaines copies ont uniquement remplacé H par H0 , trouvant, après des calculs en
général faux, des populations exponentiellement décroissantes. Trouver une population
stationnaire dépendant du temps n'a pas semblé les choquer outre mesure...
c) Cette question était probablement la plus simple du problème, il s'agissait de commenter les courbes en utilisant les 3 équations diérentielles précédentes. La majorité
des copies l'a traité, mais un seul élève a réussi à interpréter correctement les courbes...
Le système diérentiel précédent montrait que la dérivée de la population de lapin était
du signe de k1 H − k2 R et celle de la population de renard du signe de k2 L − k3 . On
remarque que la courbe rouge (a)) part de son minimum. Si jamais il s'agit de la population de lapin, et que la population de renard décroît, alors les renards sont voués à
une extinction très rapide, car leur population sera toujours décroissante (L < kk23 pour
tout t).
Le fait que dans la première partie, lorsque les lapins sont seuls, leur population croît
exponentiellement, ne présage en rien de leur évolution en présage des renards.
Les commentaires des oscillations et du déphasage était par contre corrects en général.
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