PROGRAMME DE COLLE S19 - MPSI Saint-Brieuc

MPSI du lycée Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr
semaine du 3+20 février 2014
PROGRAMME DE COLLE S19
NB :
seules les démonstrations des théorèmes, propositions étoilées ne sont pas exigées.
DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
Formule de Taylor-Young
Polynômes de Taylor d’une fonction de classe C n
Définition : Soit f ∈ C n (I, R) et a ∈ I. On appelle polynôme de Taylor de f en a de degré inférieur ou égal à n,
le polynôme Tn défini par :
n
Tn (x) = f (a) +
X f (k) (a)
f ′ (a)
f ′′ (a)
f (n) (a)
(x − a) +
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n =
(x − a)k .
1!
2!
n!
k!
k=0
Formule de Taylor-Young
Théorème*.— Formule de Taylor-Young —.Soit n ∈ N un entier naturel et f : I → R une fonction de classe C n sur
un intervalle I contenant a. Alors
∀x ∈ I,
f (x) = f (a) +
f ′ (a)
f (n) (a)
(x − a) + · · · +
(x − a)n + o (x − a)n
x→a
1!
n!
Développements limités
Définitions
¯ f : I \ {a} → R et n ∈ N. On dit que f admet un développement limité à
Définition : Soit I un intervalle, a ∈ I,
l’ordre n au voisinage de a s’il existe un polynôme P ∈ Rn [X] tel que
(DLn (a)) ∀x ∈ I\{a}, f (x) = P (x−a)+ o (x−a)n = a0 +a1 (x−a)+a2 (x−a)2 +· · ·+an (x−a)n + o (x−a)n
x→a
x→a
Définition : Soit I un intervalle nom majoré, f : I → R et n ∈ N. On dit que f admet un développement limité à
l’ordre n au voisinage de +∞ s’il existe un polynôme P ∈ Rn [X] tel que
(DLn (+∞))
∀x ∈ I∩R+⋆ f (x) = P
1
a1 a2
an
1 1 + o
= a0 + + 2 +· · ·+ n + o
n
x +∞ x
x x
x +∞ xn
Savoir-faire : pour déterminer un développement limité au voisinage de a (resp. ±∞), le changement de variable
x = a + t (resp. x = 1/t) permet de se ramener au voisinage de 0.
Théorème*.— Développement de Taylor-Young —.Soit f ∈ C n (I, R), a ∈ I. Alors f possède un développement
limité à l’ordre n au point a donné par la Formule de Taylor-Young.
Propriétés des fonctions admettant un DL
Théorème*.— Unicité du développement limité —. Soit a ∈ I¯∪ {±∞}. Soit f : I \ {a} → R une fonction possédant
un développement limité d’ordre n au voisinage de a :
f (x) = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + · · · + an (x − a)n + o (x − a)n .
Les coefficients a0 , a1 , . . . , an sont alors uniquement déterminés.
Corollaire*.— Régularité des fonctions possédant un DLn (a) —. Soit f : I → R une fonction admettant un
développement limité à l’ordre n ∈ N en un point a de I :
f (x) = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + · · · + an (x − a)n + o (x − a)n .
Si n ≥ 0, alors f est continue au point a et f (a) = a0 .
Si n ≥ 1, alors f est dérivable au point a et f ′ (a) = a1 .
1
¯ et f : I \ {a} → R admet un DLn (a), (n ∈ N) alors f est prolongeable par continuité en a
Remarque : lorsque a ∈ I,
˜
en posant f (a) = a0 . Si de plus, n ∈ N⋆ , alors ce prolongement est dérivable en a et f˜′ (a) = a1 .
Développements limités usuels
Théorème.— Au voisinage de l’origine, les fonctions usuelles admettent des développements limités de tous ordres :
α ∈ R,
ex
=
ch (x)
=
sh (x)
=
cos(x)
=
sin(x)
=
tan(x)
=
(1 + x)α
1
1−x
1
1+x
=
=
x2
x3
x4
xn
+
+
+ ···+
+ o(xn )
2!
3!
4!
n!
x4
x6
x8
x2n
x2
+
+
+
+ ··· +
+ o(x2n )
1+
2!
4!
6!
8!
(2n)!
x3
x5
x7
x2n+1
x+
+
+
+ ···+
+ o(x2n+1 )
3!
5!
7!
(2n + 1)!
x2
x4
x6
x8
x2n
1−
+
−
+
− · · · (−1)n
+ o(x2n )
2!
4!
6!
8!
(2n)!
x3
x5
x7
x2n+1
x−
+
−
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+1 )
3!
5!
7!
(2n + 1)!
x3
2x5
x+
+
+ o(x5 )
3
15
xn
x2
+ o(xn )
1 + α x + α (α − 1) + · · · + α (α − 1) · · · (α − n + 1)
2!
n!
1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · + xn + o(xn )
=
1 − x + x2 − x3 + x4 − · · · + (−1)n xn + o(xn )
ln(1 + x)
=
Arctan (x)
=
1+x+
x2
x3
x4
xn
+
−
+ · · · + (−1)n−1
+ o(xn )
23
35
4
n
x
x
x2n+1
x−
+
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+2 )
3
5
2n + 1
x−
Obtention de développements limités
Théorème*.— Opérations sur les développements limités —. Soit f et g admettent des DL d’ordre n à l’origine :
avec (P, Q) ∈ Rn [X] × Rn [X]
f (x) = P (x) + o xn et g(x) = Q(x) + o xn ,
Alors
(f + g)(x) = (P + Q)(x) + o xn
(f × g)(x) = R(x) + o xn , où R ∈ Rn [X] est le polynôme P × Q tronqué à l’ordre n.
si de plus f (0) = 0, (g ◦ f )(x) = R(x) + o xn , où R est le polynôme Q ◦ P tronqué à l’ordre n.
n
X
1
= R(x) + o xn où R est le polynôme
(−1)k P k (x) tronqué à l’ordre n.
1 + f (x)
k=0
Z x
P (t) dt + o(xn+1 )
si F est une primitive de f sur I, alors F (x) = F (0) +
si de plus f (0) = 0,
0
Savoir-faire : la mise en œuvre de ces opérations ne s’improvise pas ! vous devez vous entrainer !
Applications des développements limités
◮
au calcul des limites, et à la recherche d’équivalents de fonctions
◮
à l’étude locale des fonctions : continuité, dérivabilité
◮
à la recherche de tangentes, à l’étude des positions relatives du graphe et d’une tangente
◮
à l’étude des branches infinies des fonctions au moyen d’un développement limité au voisinage de ±∞
2