EVALUATION DES CDS ET CDO

EVALUATION DES CDS ET CDO
ARMAND NGOUPEYOU
15 novembre 2007
Credit Default Swap
Le Credit Default Swap de maturité T est un contrat de protection
qui porte sur le défaut d’un emprunteur("Single Name").L’acheteur
de la protection verse périodiquement (la plupart par trimestre)une
prime au vendeur jusqu’au moment du défaut de l’emprunteur en
contrepartie le vendeur de la protection s’engage à rembourser le
préjudice subi par l’acheteur au moment du défaut.
Evaluation d’un CDS
On suppose qu’une banque veut se protéger contre le risque de
perte d’un capital N qu’elle a prêté à une firme ,pour se protéger
elle entre en CDS.Plusieurs paramètres sont utiles pour évaluer ce
CDS :
Quelle est la probabilité de défaut de la firme ?
Quel recouvrement de la dette la banque peut elle espérer de
la firme après le défaut ?
Quel critère peut on utiliser pour donner un juste prix qui
correspond au vendeur et à l’acheteur du contrat ?
Probabilité de défaut
On se place dans un espace de probabilité (Ω, P)
Soit τ le temps de défaut de la firme ,on définit l’intensité de
défaut de la firme par :
P{(τ < t + h)|τ > t}
= λ(t)
h
h→0
lim
Expression de la probabilité de défaut :
Qτ (t) = 1 − e −
Rt
0
λ(s)ds
Taux de recouvrement
Le taux de recouvrement représente le pourcentage perçu de dette
reçu après le défaut de l’emprunteur. On supposera que le taux de
recouvrement vaut 0.4
Voir l’article d’Andersen Piterbarg "Random Recovery Rate" pour
une meilleure modélisation du taux de recouvrement.
Payment Leg
La jambe de paiement représente la somme total versée par
l’acheteur de la protection pour se couvrir.
Echéances fixées par le vendeur 0 ≤ t1 ≤ .. ≤ tn = T
Somme verśee par l’acheteur
n
X
E(
e −rti X (ti − ti−1 )N1τ >ti )
i=1
+ Accrual Payment :
n
X
E(
e −r τ X (τ − ti−1 )N1τ ∈[ti −1 ,ti ] )
i=1
Au total :
n
n
X
X
PL = E (
e −rti X (ti −ti−1 )N1τ >ti )+E (
e −r τ X (τ −ti−1 )N1τ ∈[ti −1 ,ti ] )
i=1
i=1
Default Leg
La jambe de défaut représente la somme totale versée par le
vendeur à l’assuré.
n
X
DL = E (
e −r τ (1 − R)N1τ ∈[ti −1 ,ti ] )
i=1
Spread CDS
le spread CDS est déterminé tel que :
PL = DL
Ainsi :
Pn
−r
i=1 e
(ti −1 +ti )
2
(1 − R)(Q(ti−1 ) − Q(ti ))
(t
+t )
Pn
−r i −12 i
−rti α (1 − Q(t ) + 1
e
e
αi (Q(ti−1 ) − Q(ti ))
i
i
i=1
i=1
2
X =P
n
αi = ti − ti−1
Collateralized Debt Obligation
Le Collateralized Debt Obligation de maturité T est un contrat de
protection qui porte sur le défaut de plusieurs
emprunteurs("Muli-Names").Ils sont vendus en tranches [a,b]
représentant la proportion minimale et maximale de perte dont on
veut assurer.Comme les CDS l’acheteur de ce contrat verse une
prime périodique au vendeur en contrepartie si la proportion
minimale de perte est atteinte ,le vendeur verse à chaque fois qu’il
y’a défaut le préjudice subi par l’acheteur jusqu’au moment où la
proportion maximale est atteinte.
Evaluation du spread d’un CDO
Pour déterminer le spread d’un CDO,nous devons déterminer la
jambe de défaut et la jambe de paiement en tenant compte des
corrélations.
Pour cette évaluation nous devons repondre à plusieurs questions.
Comment tenir compte de la corrélation entre les instants de
défauts lors de l’évaluation ?
Comment est structuré un CDO et comment les défauts des
firmes affectent la tranche CDO ?
Quelles sont les techniques employées pour calculer la jambe
de paiement et la jambe de défaut ?
Copules
Une copule est une fonction de distribution mutivariée dont les
marginales sont uniformément distribuées sur [0,1]
Propriétés des copules
Pour tout u=(u1 , u2 .....un ) ∈ [0, 1]n
C(u) est croissante en chaque composante ui pour tout
i=1.......n
C(u)=0 s’il existe une composante ui nulle
C (1, 1...., ui .....1, 1) = ui pour tout i=1...n
Théorème de SKLAR
Soit F une fonction de distribution n-mutivariée dont les margianles
Fi sont connues pour tout i=1..n alors il existe une n-dimensionelle
fonction copule C telle que pour tout x = (x1 , ....xn )
F (x1 , x2 , ...xn ) = C (F (x1 ), F (x2 )....F (xn ))
(un ))
C (u1 , u2 ....un ) = F (FX−1
(u1 ), ......FX−1
n
1
Exemples de copule
Copule gaussienne
C (u1 , u2 , .....un , R) = ΦR (Φ−1 (u1 ), ......Φ−1 (un ))
Copule de Student
C (u1 , ...un , ν, R) = tR,ν (tν−1 (u1 )........tν−1 (un ))
Copule de Clayton
n
X
C (u1 , u2 , ...un ) = (
ui−θ − n + 1)
i=1
−1
θ
Copule gaussienne à un facteur et caractérisation des temps
de défaut
l’indicateur de défaut d’une entreprise i sera définie par :
Xi = ρV +
p
1 − ρ2 Vi
Pour i=1..M
Où V , V1 , ..Vn sont n+1 variables alétaoires gaussiennes
indépendantes
Les instants de défaut seront déterminés tels que :
Fτi (τi ) = FXi (Xi )
Soit :
τi =
−1
Log (1 − FXi (Xi ))
λi
Probabilité conditionnelle des instants de défauts
P(τi < t/V ) = Φ(
(Φ−1 (Q(t)) − ρV )
p
)
1 − ρ2
Tranche CDO et perte
Soit MaL ,aH (t) la perte supportée par la tranche [aL , aH ] à un
instant donné t :
MaL ,aH (t) = 0.1Lt ≤aL + (Lt − aL ).1Lt ∈[aL ,aH ] + (aH − aL ).1Lt ≥aH
0ù :
Lt =
M
1 X
(1 − R)1τi ≤t
M
i=1
E (MaL ,aH (t)) = E ((Lt − aL )+ − (Lt − aH )+ )
Approche de Laurent et Gregory
E (MaL ,aH (t)) =
M
X
k
k
[((1 − R) − aL ) −((1 − R) − aH ) ]P[Nt = k]
M
M
+
+
k=0
Calcul de P(Nt = K )
E [u N(t) ] =
I
X
P(N(t) = k)u k
k=0
= E (E [u
N(t)
]/V ) = E (u
P
i
( M
k=0 Nt
/V ) =
M
Y
i
E (u Nt )/V )
i=1
(E [u N(t) ]/V ) =
M
Y
u 0 P(τi > t/V ) + u 1 P(τi ≤ t/V )
i
= E(
I
Y
i|V
(1 − p i|V )t + upt )
Approche de Laurent et Gregory
M
Y
i|V
i|V
((1−pt )+upt ) = u M ΦM (v )+u M−1 ΦM−1 (v )+...........Φ0 (v )
i
Z
P(N(t) = k) =
Φk (v )f (v )dv
R
Où f représente la fonction de densité du facteur V
Approche de Hull et White
La méthode de Hull et White consiste à déterminer P(N(t)=k) de
manière récursive :
|V
π0
=
M
Y
i|V
qt
i=1
|V
π1
=
|V
π0
M
X
wi
i=1
Avec
i|V
wi =
|V
|V
πk = π0
X
1 − qt
i|V
qt
wz(1) wz(2) ...wz(k)
Où z(1), z(2)...z(k) reprśentent les k firmes ayant fait défaut avant
l’instant t
Jambe de défaut
DL =
m
X
j=1
e
0 0
−r (tj +tj−1 )
2
0
0
(E (MaL ,aH (tj )) − E (MaL ,aH (tj−1 )))
Jambe de paiement
La somme versée au total par l’acheteur vaut :
A=
n
X
X (ti − ti−1 )e −rti (aH − aL − E (MaL ,aH (ti )))
i=1
+ Accrual Payment
B=
m
X
j=1
0
X(
0
tj + tj−1
2
−ti (j))e
0 0
−r (tj +tj−1 )
2
0
0
(E (MaL ,aH (tj ))−E (MaL ,aH (tj−1 )))
ti (j) est le plus grand réel ti tel que tj0 ≥ ti
Spread d’un CDO
le spread du CDO est déterminé tel que :
PL = DL
Exemple de contrat
Point d’attachement :aL = 0.03
Point de détachement :aH = 0.06
Nombre de défaut minimum nL affectant la tranche :
nL =
aL
× M = 6.25
(1 − R)
Nombre de défaut maximum nH affectant la tranche :
nH =
aH
× M = 12.5
(1 − R)
Le capital total que supporte notre tranche CDO :
Ktot = M(aH − aL )K = 125 ∗ (0.06 − 0.03) ∗ K = 3.75K
.
Exemple de contrat
La tranche sera affectée à partir du septième défaut.Le
remboursement se fera comme suit :
Au septième défaut le vendeur de la protection versera à
l’assuré :
DL = 0.75 ∗ (1 − R) ∗ K = 0.45K
Du huitième au douzième défaut le vendeur versera au total :
DL = (12 − 8 + 1) ∗ (1 − R) ∗ K = 3K
Au triezième défaut le vendeur de la protection versera :
DL = 0.5 ∗ (1 − R) ∗ K = 0.3K
Somme totale versée par le vendeur on trouve :
S = 0.45K + 3K + 0.3K = 3.75K
Base Correlation et Implied Copula
Utiles pour pricer les tranches de CDO non standards (peu
liquides).Deux paramètres à calibrer :
L’intensité de défaut
La corrélation
Base Correlation
Intensité de défaut
Connaissant le spread de index CDS ,l’intensité de défaut
moyen est obtenu en inversant la formule du spread d’un CDS
Base Correlation
Corrélation
Déterminer la corrélation d’une tranche non standard en
utilisant la méthode de base corrélation d’arbitrage : la
propriété de non arbitrage :
A0A :
C (0, aH i , ρB i ) =
i
X
C (aLm , aH m , ρm )
(1)
m=1
Où aLm et aH m représente respectivement les points
d’attachement et de détachement de la tranche m
la perte sur la tranche [0, aH i ] est égale à la somme des pertes
sur les tranches [0, aL1 ], [aL1 , aL2 ], ....[aLi , aH i ]
interpolation
Base Correlation
Méthode : Corrélation tranche non standard [aLm , aH m ]
Interpolation des bases correlation de [0, aLm ] et [0, aH m ]
permettant de calculer la perte sur ces tranches et déduire la
perte sur la tranche [aLm , aH m ] en AOA
Connaissant la perte sur la tranche ,on déterminera la tranche
correlation par inversion de la formule de la perte
Connaissant la corrélation on sait calculer le spread d’une
tranche de CDO.
Exemple calcul d’une tranche non standard avec la base
correlation
Le spread de l’index CDS 01/06/2007-20/06/2017 :41 bp
att-det
20/06/2017
0.03
35
0.06
292
0.09
85
0.12
39
Fig.: Spread tranche CDO itraxx
0.22
12
Exemple calcul du spread d’une tranche non standard avec
la base correlation
Quelques résultats :
att-det
Base-Correlation
0.04-0.05
276.34
0.04-0.1
142.63
0.02-0.08
260.28
Fig.: Pricing des tranches non standards
0.02-0.1
206.77
Implied Copula
On suppose que l’intensité de défaut moyenne d’une firme est une
variable alétaoire fonction du facteur commun V influençant le
défaut des firmes :
λ = λ(V )
Discrétiser λ(V ) en n points :
λ1 , λ2 , ...λn
et associer les probabiltés respectives à chaque λ pour pouvoir
dt́erminer le spread d’une tranche non standard
Implied Copula
Choix des intensités
Pour choisir implicitement les intensités on dispose des spreads
de six produits : l’index CDS+ les cinq tranches standards de
CDO
Valeur d’un produit :V (s, λ) = PL(s, λ) − DL(s, λ)
Pour choisir les intensités ,on fixe les bornes λmin et λmax
λmin = 0
λmax est déterminé tel que P(τ ≤ T ) = 1
les λk k=1.. n-1 sont définis tels que l’ensemble défini par :
{
6
X
V (λ1 , sm ), ....
m=1
6
X
V (λn−1 , sm )}
m=1
couvre uniformément l’intervalle :
6
6
X
X
]
V (λmin , sm ),
V (λmax , sm )[
m=1
m=1
Implied Copula
choix des probabilités
Les probabilités associées aux intensités sont définies telles que
l’espérance de chacun des six contrats soit nulle :
P
Vm = nk=1 πk Vm (λk ) = 0
m = 1..6
Pn
sc :πk ≥ 0
k=1 πk = 1
Reformulation du problème en un problème d’optimisation :
6
n−1
X
X
(πk+1 + πk−1 − 2πk )2
minπ {
Vj2 (π)) + c
}
λk+1 − λk−1
sc :
j=1
n
X
πk = 1
i=0
k=2
πk ≥ 0
(1)
Approche dynamique :Schonbucher(2006)
On se place sur un espace de probabilité filtré (Ω, (Ft )t≥0 , Q).On
définit le processus de perte à un instant t :
L(t) =
I
X
1(τi ≤t)
i=1
l’approche developpée par Schonbucher consiste à déterminer les
probabilités conditionnelles :
p(t, T ) = (p0 (t, T ), ....pI (t, T ))
définies par :
pn (t, T ) = P(L(T ) = n|Ft ))
Pour tout m = 0...I , t ≤ T
Time inhomgenous Markov chains )
Hypothese :
Sachant les informations en t ,L(T) se comporte comme une
chaîne de Markov inhomogène
La probabilité de transition vérifie l’equation de Kolomogorov :
d
P(t, T ) = P(t, T )A(T )
P(t, t) = Id
(1)
dT
A est le de générateur de L dont les coefficients vérifient :
I
X
ank (T ) = 0
pour tout n=0...I
X
ank (T ) = −an,n (T )
k=0
on définit :
an (T ) =
k=0,k6=n
Expression de P en fonction des coefficients de A
Pnm (t, T ) = 0
m<n
Z T
Pnm (t, T ) = exp(−
an (s)ds)
m=n
t
Z
Pm,m (t, T ).
t
T m−1
X
k=n
Pnk (t, s)
akm (s)ds
Pmm (t, s)
m>n
Théorème de représentation
Il existe toujours une chaîne de Markov inhomogène L’ de matrice
de transition A(t,T) tel que la solution associée à l’equation de
Kolmogorov P(t,T) reproduit la distribution de perte de L :
p(L(T ) = n|Ft ) = PL0 (t),n (t, T )
Consistence
A sera consistent à L si :
p(L(T ) = n|Ft ) = PL(t),n (t, T )
Propriété de la consistence
Sous cette hypothèse de consistence :
Le processus de perte L(t) a pour intensité λL (t) = aL(t) (t, t)
PL(t),n (t, T ) et an (t, T )PL(t),n (t, T ) sont des Q martingales
an (t, T ) est une martingale sous PnT définie par :
E Q (1L(T )=n |Ft )
PL(t),n (t, T )
dPnT
|Ft =
=
= Zt
dQ
pn (0, T )
PL(t),n (0, T )
Dynamique de A(t,T) et P(t,T)
dan (t, T ) = µn (t, T )dt + σn (t, T )dWt
et
dPn,m (t, T ) = unm (t, T )dt + vnm (t, T )dWt
dPL(t),m (t, T ) = uL(t − ),m (t, T )dt + vL(t − ),m dWt + φm (t, T )dLt
Grâce à la solution de l’equation de Kolomogorov on peut établir
des relations entre le drift et la volatilité de P en fonction de ceux
de A
Relation de consistence
PL(t − ),m (t, T )µm (t, T ) = −σm (t, T )vL(t − ),m
Grâce à l’estimation de la volatilité des am on pourra évaluer le
spread d’un CDS et d’un CDO de façon dynamique
spread d’un CDS
Jambe de paiement
Z
T
1
(I − L(s))ds|Ft ) =
βs
E(
t
T
Z
B(t, s)
t
I
X
(I − n)pn (t, s)ds
n=0
Jambe de défaut
Z
E(
t
T
1
dL(s)|Ft ) =
βs
Z
T
B(t, s)
t
I
X
am (t, s)pm (t, s)ds
m=0
Spread
RT
t
B(t, s)
s(t, t, T ) = R T
t
PI
B(t, s)
m=0 am (t, s)pm (t, s)ds
PI
n=0 (I
− n)pn (t, s)ds
spread d’un CDO
Jambe de de paiement :
T
Z
E[
t
1
(NU − L(s))1{NL ≤L(s − )<NU } ds|Ft ]
b(s)
T
Z
B(t, s)
=
t
NX
U −1
(NU − n)pn (t, s)
n=NL
Jambe de défaut :
Z T
E(
t
Z
1
1
dL(s)|Ft )
−
b(s) {NL ≤L(s )<NU }
T
B(t, s)
=
t
NX
U −1
m=NL
pm (t, s)am (t, s)
spread d’un CDO
RT
t
s(t, t, T ) = R T
t
PNU −1
m=NL pm (t, s)am (t, s)ds
PNU −1
B(t, s) n=NL (NU − n)pn (t, s)
B(t, s)
Perpectives de recherche
Couverture optimale d’un portefeuille d’actifs soumis à un
risque de défaut en achetant des CDS et des CDO