TD2

Questions courtes
[No. 1] Indiquer, dans les questions suivantes, les affirmations qui vous paraissent
vraies :
1. La positivité de la fonction {Rx (k)} d’un processus SSL signifie que :
(a) Pour tout k, Rx (k) ≥ 0.
(b) Pour tout entier d > 0, et pour tout {λi ∈ R|i = 1, . . . , d} et {ki ∈
Z|i = 1, . . . , d} on a :
d
X
λi Rx (ki ) ≥ 0
i=1
(c) Pour tout entier d > 0, et pour tout {λi ∈ C|i = 1, . . . , d} et {ki ∈
Z|i = 1, . . . , d} on a :
d X
d
X
λi λ∗j Rx (ki − kj ) ≥ 0
i=1 j=1
2. Soit {Rx (k)} la fonction d’autocovariance d’un processus SSL, alors, pour
tout k ∈ Z, on a :
(a) Rx (0) ≥ Rx (k) ;
(b) Rx (−k) = −Rx∗ (k) ;
(c) Rx (k) + Rx (−k) = 2Rx (0).
3. Soit y(n) = h(n) ⋆ x(n) où x(n) est un processus SSL et h(n) un filtre
stable de gain complexe H e2πjf . On a alors :
2
(a) Sy e2πjf = Sx e2πjf ⋆ H e2πjf ;
2
(b) Sy e2πjf = Sx e2πjf H e2πjf ;
(c) Sy e2πjf = Sx e2πjf H e2πjf .
4. Un bruit blanc {x(n)} est tel que :
(a)
(b)
(c)
(d)
Rx (k) = constante pour tout k ∈ Z.
Sx e2πjf = 0 pour tout f ∈ − 21 , 12 .
Rx (k) = 0 pour tout k ∈ Z et k 6= 0.
Sx e2πjf = 0 pour tout f ∈ − 21 , 12 et f 6= 0.
Caractéristiques d’un processus
[No. 2] Z(n) désigne un bruit réel, blanc, centré, de variance σ 2 . a et b désignent
des constantes réelles, f0 une constante sur (−1/2, 1/2). Dire si les processus suivants sont stationnaires au second ordre au sens large (on justifiera les
réponses) et, si oui, donner la moyenne, la covariance et la densité spectrale :
1. X(n) = Z(0) cos(2πf0 n) + Z(1) sin(2πf0 n),
2. X(n) = (−1)n Z(n),
3. X(n) = an + b + Z(n). Peut-on le rendre stationnaire par un simple
filtrage ?
1
Sinusoı̈de dans un bruit
[No. 3] Soit x(n) un signal sinusoı̈dal bruité donné par :
x(n) = a cos(2πf0 n + φ) + b(n)
où a et f0 sont des constantes (représentant l’amplitude et la fréquence de la
sinusoı̈de) et φ la phase, une variable aléatoire uniforme sur [−π, π]. b(n) est un
bruit blanc centré de puissance σ 2 et indépendant de φ.
1. Calculer l’autocovariance Rx (k) du signal et la puissance de ce dernier en
particulier.
2. Calculer Sx e2πjf la dsp de x(n).
3. x(n) est l’entrée d’un filtre passe-bande idéal (voir figure 1) de largeur de
bande B centré sur la fréquence f0 (f0 > B/2). Soit y(n) la sortie de ce
filtre. Calculer la puissance de y(n).
H
B
B
1
−f0
f0
f
Figure 1: Filtre passe-bande
Modélisation AR et prédiction
[No. 4] On considère un processus {x(n)} aléatoire que l’on suppose SSL. On
cherche à construire un prédicteur d’ordre 2, c’est-à-dire un estimateur x̂(n) de
x(n) à partir des deux échantillons précédents :
x̂(n) = λ1 x(n − 1) + λ2 x(n − 2)
1. Donner l’expression de λ1 et λ2 qui permet
de minimiser la puissance de
l’erreur de prédiction E |x(n) − x̂(n)|2 .
2. Donner l’expression de l’erreur de prédiction.
2
Indications - questions courtes et faciles
Assertions vraies :
1-c, 2-a, 3-b, 4-a-c-d, 5-b-c
Caractéristiques d’un processus
1. X(n) = Z(0) cos(2πf0 n) + Z(1) sin(2πf0 n) : Z(0) et Z(1) sont deux v.a.
de moyenne nulle non corrélées d’où E {X(n)} = 0 et :
C
= E {(Z(0) cos(2πf0 (n + k)) + Z(1) sin(2πf0 (n + k)))
× (Z(0) cos(2πf0 n) + Z(1) sin(2πf0 n))} = σ 2 cos(2πf0 k)
Le processus est bien SSL.
2. X(n) = (−1)n Z(n) : E {X(n)} = 0, E (−1)n+k Z(n + k)(−1)n Z(n) =
(−1)k σ 2 δ(k), SSL.
3. X(n) = an + b + Z(n) : pas SSL puisque la moyenne E {X(n)} = an + b
varie avec n.
Sinusoı̈de dans un bruit
1. On multiplie par x∗ (n − k) et on prend l’espérance mathématique :
=
=
E (x(n)x∗ (n − k))
E ((a cos(2πf0 n + φ) + b(n))(a cos(2πf0 (n − k) + φ) + b(n − k)))
E a2 cos(2πf0 n + φ) cos(2πf0 (n − k) + φ) + ← (∗)
E (b(n) × a cos(2πf0 (n − k) + φ)) + ← 0 (b(n) centré indt. de φ)
E (b(n − k) × a cos(2πf0 n + φ)) +
E (b(n)b(n − k)) ← σ 2 δ(k)
← 0 (b(n) centré indt. de φ)
(∗) = E a2 cos(2πf0 n + φ) cos(2πf0 (n − k) + φ)
=
=
Rx (k) =
a2
E (cos(2πf0 (2n − k) + 2φ) + cos(2πf0 k))
2
a2
cos(2πf0 k)
2
a2
a2
cos(1πf0 k) + σ 2 δ(k) et puissance = Rx (0) =
+ σ 2 (1)
2
2
2. Le terme en cosinus donne deux raies en ±f0 , d’amplitude a2 /4.
|a|2
Sx e2πjf =
(δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )) + σ 2
4
À une constante correspond δ(f ). Avec la propriété de modulation, au
terme exp( 2πjf0 n) correspond
Pδ(f − f0 ). Une erreur commune est de
chercher à calculer la somme +∞
k=−∞ alors que l’exponentielle n’est pas
sommable.
3
3. Les deux raies sont conservées. Lorsqu’on effectue le calcul
récupère la surface des deux “parties passantes du filtre” :
Py =
R +1/2
−1/2
, on
a2
+ 2Bσ 2
2
Modélisation AR et prédiction
1. Expression de λ1 et λ2 : il y a deux façons de procéder.
(a) La première consiste à considérer les variables aléatoires x(n),
x(n − 1)... dans un espace de Hilbert muni du produit scalaire
E {X(n1 )X ∗ (n2 )}. λ1 x(n − 1) + λ2 x(n − 2) définit un plan de cet
espace. Chercher le meilleur x(n) revient à construire sa projection
x̂(n) sur ce plan. x(n) − x̂(n) est donc orthogonal à x̂(n), soit :
E {(x(n) − x̂(n))x̂(n)} = 0 ⇒ E {(x(n)x̂(n)} = E x̂2 (n) (2)
Cette expression peut aussi s’écrire :
λ1 R(1) + λ2 R(2) = λ21 R(0) + λ22 R(0) + 2λ1 λ2 R(1)
(b) La deuxième façon consiste à exprimer la minimalité de l’erreur de
prédiction par rapport ) λ1 et λ2 :
= E (x(n) − λ1 x(n − 1) − λ2 x(n − 2))2
E (x(n) − x̂(n))2
∂
= 0 ⇒ λ1 RXX (0) − RXX (1) + λ2 RXX (1) = 0
∂λ1
∂
= 0 ⇒ λ2 RXX (0) − RXX (2) + λ1 RXX (1) = 0
∂λ2
On obtient l’équation de Yule-Walker :
R(0) R(1)
R(1)
λ1
C.S. et unicité ⇒
=
×
R(1) R(0)
R(2)
λ2
G×λ= ρ
2. Expression de l’erreur de prédiction :
=
E |x(n) − x̂(n)|2
R(0) − 2E {x(n)x̂(n)} + E x̂2 (n)
=
R(0) − 2λT ρ + λT Gλ
=
R(0) − ρT G−1T ρ
4
(3)