THMIQQ_40 Loi de Wien

G.P.
Questions de cours thermique
Rayonnement thermique:
Le flux surfacique  du rayonnement d'équilibre à la température T est réparti sur les
différentes longueurs d'onde  selon une distribution spectrale g  ,T  . La loi de Planck
donne
2
d  2 h c
1
g  ,T =
=
5
hc
d

exp
−1
kBT
Donner les noms des trois constantes fondamentales qui apparaissent et une valeur
numérique approchée de ces constantes.
Préciser les flux dont il est question dans cette loi.
Énoncer la loi de Wien et la démontrer en partant de la loi de Planck.
Réponse:
Les trois constantes:
c
: vitesse de la lumière avec
h : constante de Planck avec
W =h  )
c≈3. 108 m s−1
h≈6,63 .10−34 J s
(Pour l'unité, penser à
k B : constante de Boltzmann avec
k B≈1,38 10−23 J K −1
(Pour la valeur numérique
R constante des gaz parfaits
8,314
=
penser
à k B=
pour
l'unité
penser
à
23 et
N A nombre d ' Avogadro
6,02. 10
1
E c molécule de gaz parfait monoatomique=3× k T )
2
Les flux concernés:
La loi de Planck concerne des flux hémisphériques (pour un demi espace).
Il s'agit des flux incidents et partant (les deux flux sont égaux à l'équilibre radiatif) qui sont
indépendants de la nature des corps opaques en équilibre radiatif et thermique avec le rayonnement.
(les flux émis et absorbés dépendent eux de la nature des corps opaques)
Énoncé de la loi de Wien:
La densité spectrale de flux surfacique du rayonnement d'équilibre présente un maximum pour une
longueur d'onde M inversement proportionnelle à la température T .
On a M T ≈3000 m. K (voir démonstration pour la valeur exacte)
Démonstration:
G.P.
Questions de cours thermique
2
2 h c
1
hc
g  , T =
5
hc
on choisit =
comme nouvelle variable à T

exp 
−1
kBT
 k BT
donné
5
g =
2kBT
4
h c
3
5
5
5
5

2kBT
=
f 
4 3
exp−1
h c
On dérive f  pour obtenir l'extremum de g  . On obtient pour cet extremum

exp −=1−
à résoudre par calcul approché pour obtenir  d'où M T . Il est finalement
5
plus simple de déterminer graphiquement à la calculatrice le max de f  . On trouve pour ce
maximum: x=4,96511 et y=21,2014 .
Finalement M T =2898 m. K