MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

MATHÉMATIQUES
FINANCIÈRES I
Cinquième cours
ACT2025 - Cours 5
Rappel:
• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt
ACT2025 - Cours 5
Rappel:
• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt
• Taux instantané de l’intérêt constant
ACT2025 - Cours 5
1
Rappel:
• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt
• Taux instantané de l’intérêt constant
• Date de comparaison
ACT2025 - Cours 5
Rappel:
• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt
• Taux instantané de l’intérêt constant
• Date de comparaison
• Diagramme d’entrées et sorties
ACT2025 - Cours 5
Rappel:
• Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt
• Taux instantané de l’intérêt constant
• Date de comparaison
• Diagramme d’entrées et sorties
• Équation de valeur
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2
Rappel:
Si nous connaissons la fonction d’accumulation A(t)
alors le taux instantané de l’intérêt est
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Rappel:
Si nous connaissons le taux instantané de l’intérêt δx pour
tout x entre 0 et t, ainsi que le principal A(0), alors nous
pouvons déterminer la fonction d’accumulation
ACT2025 - Cours 5
Rappel:
Le montant d’intérêt gagné pendant la période allant de 0
jusqu’au temps t
Le montant d’intérêt gagné pendant la période allant du
temps t = a jusqu’au temps t = b est
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3
Nous allons maintenant considérer des questions relatives au
temps, à la durée d’un prêt: échéance moyenne, duplication
du capital
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Échéance moyenne:
L’échéance moyenne est le moment t* pour lequel un
versement de (s1 + s2 + ... + sn) dollars est équivalent à n
versements de s1, s2 , ... , sn dollars respectivement payables
aux moments t 1, t2, ... , tn .
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Échéance moyenne: (suite)
Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant:
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Échéance moyenne: (suite)
L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0
est :
Rappelons que
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Échéance moyenne: (suite)
De ceci, nous obtenons que
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Échéance moyenne: (suite)
De ceci, nous obtenons que
Donc
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5
Échéance moyenne: (suite)
Finalement nous obtenons
ACT2025 - Cours 5
Échéance moyenne: (suite)
Finalement nous obtenons
ou encore
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Échéance moyenne: (suite)
Dans cette dernière équation, δ désigne le taux instantané
de l’intérêt constant équivalent au taux d’intérêt composé i,
c’est-à-dire
eδ = (1 + i) ou encore δ = ln(1 + i)
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Échéance moyenne approché:
Il est possible d’approximer la valeur de t* par l’échéance
moyenne approchée:
En effet,
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Échéance moyenne approché: (suite)
Pour démontrer cette formule, il faut utiliser la série
binomiale
si α, x sont des nombres réels et -1 < α < 1 et développer
νt = (1 + i)-t en série.
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Exemple 1:
Anastasia doit rembourser un prêt en faisant 4 versements :
1500$, 3500$, 3000$, 2500$ payable respectivement à la fin
de la 5e, 7e, 8e et 12e année. Le taux d’intérêt composé de ce
prêt est 6% par année. Le total des versements de ce prêt est
10500$. Supposons qu’elle préfèrerait faire un seul versement
de 10500$ pour rembourser ce prêt.
Quand doit-elle faire ce remboursement?
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Exemple 1: (suite)
Nous devons calculer l’échéance moyenne. Par ce qui
précède, nous obtenons le diagramme suivant:
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Exemple 1: (suite)
Le taux d’intérêt est i = 6% par année. L’équation de valeur
avec comme date de comparaison t = 0 est
1500(1.06)-5 + 3500(1.06)-7 + 3000(1.06)-8 + 2500(1.06)-12
||
10500(1.06)-t*
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Exemple 1: (suite)
Nous obtenons que l’échéance moyenne est alors
t* = 8.038029924 années
soit environ après 8 ans, 13 jours, 21heures et 8 minutes.
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Exemple 1: (suite)
Par contre, nous obtenons que l’échéance moyenne approchée
est
soit environ après 8 ans, 69 jours, 12heures et 34 minutes.
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Remarque 1:
Il est possible de montrer que nous avons toujours
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Remarque 1: (suite)
L’inégalité
est une conséquence de l’inégalité entre la moyenne
géométrique et la moyenne arithmétique:
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Duplication du capital:
Combien faut-il de temps pour qu’un capital investi double?
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Duplication du capital: (suite)
Si nous investissons un capital de K dollars au taux d’intérêt
composé i, nous voulons déterminer le temps nécessaire t pour
que la valeur accumulée après cette période soit 2K. En
équation, nous avons
K(1 + i)t = 2K
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Duplication du capital: (suite)
Après simplification, nous obtenons (1 + i)t = 2. En prenant
le logarithme des deux côtés de l’égalité, nous obtenons
t ln(1 + i) = ln(2)
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Duplication du capital: (suite)
Après simplification, nous obtenons (1 + i)t = 2. En prenant
le logarithme des deux côtés de l’égalité, nous obtenons
t ln(1 + i) = ln(2)
Finalement
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Duplication du capital: (suite)
Cette valeur
peut être approximée par la règle de 72.
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Duplication du capital: (suite)
Cette valeur
peut être approximée par la règle de 72. Plus précisément,
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Exemple 2:
Si le taux d’intérêt composé est i = 5% par année, alors il
faudra pour que le capital double
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Exemple 2:
Si le taux d’intérêt composé est i = 5% par année, alors il
faudra pour que le capital double
Par la règle de 72, nous obtenons comme approximation
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Triplication du capital:
Combien faut-il de temps pour qu’un capital investi triple?
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Triplication du capital: (suite)
Nous pouvons procéder exactement comme pour la
duplication du capital et obtenir que le temps nécessaire pour
que le capital triple est
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Triplication du capital: (suite)
Cette valeur
peut être approximée par la règle de 114.
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Triplication du capital: (suite)
Cette valeur
peut être approximée par la règle de 114. Plus précisément,
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Exemple 3:
Si le taux d’intérêt composé est 6% par année, alors il faudra
pour que le capital triple
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Exemple 3:
Si le taux d’intérêt composé est 6% par année, alors il faudra
pour que le capital triple
Par la règle de 114, nous obtenons comme approximation
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Nous allons maintenant considérer des
questions relatives au taux d’intérêt.
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Situation 1:
Considérons une situation très simple. Le flux financier a une
seule entrée P et une seule sortie A. Nous connaissons la
durée de la transaction n.
Dans une telle situation, le diagramme d’entrées et sorties est
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Situation 1: (suite)
L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = n
est
P(1 + i)n = A
où P, A et n sont connus.
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Situation 1: (suite)
L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = n
est
P(1 + i)n = A
où P, A et n sont connus.
Nous obtenons facilement que
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Situation 2:
Considérons une situation plus complexe. Le flux financier a
plusieurs entrées et plusieurs sorties. Nous connaissons les
moments où ces montants sont versés.
Dans une telle situation, l’équation de valeur nous permet
d’écrire une équation sous la forme
f(i) = 0 où f(x) est une fonction connue
après avoir transféré tous les termes d’un côté de l’équation de
valeur à l’autre.
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Situation 2: (suite)
Pour résoudre ce type de questions, nous verrons deux
méthodes dans le cours:
• Méthode de bissection
• Méthode de Newton-Raphson
Nous allons maintenant expliquer la méthode de bissection.
Nous verrons plus tard celle de Newton-Raphson.
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Exemple 4:
Déterminons le taux d’intérêt d’un prêt dont le flux financier
est représenté par le diagramme d’entrées et sorties suivant:
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Exemple 4: (suite)
L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9
est
5000(1 + i)9 + 5000(1 + i)7
||
4000(1 + i)5 + 4000(1 + i)3 + 2000(1 + i) 2 + 3000
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Exemple 4: (suite)
En transférant tout vers la gauche, nous obtenons
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Exemple 4: (suite)
En transférant tout vers la gauche, nous obtenons
Ainsi i est un zéro de la fonction f(x), où
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Exemple 4: (suite)
Nous pouvons noter que
f(4%) = -833.0496513 et f(6%) = 601.3797796
Donc la fonction f a un zéro entre 4% et 6%.
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Exemple 4: (suite)
Nous pouvons noter que
f(4%) = -833.0496513 et f(6%) = 601.3797796
Donc la fonction f a un zéro entre 4% et 6%.
Nous subdivisons cet intervalle en deux, nous évaluons la
fonction f au point milieu 5% pour savoir dans quel sousintervalle se trouve le zéro. Nous répétons ensuite cet
algorithme avec le sous-intervalle plus petit. Nous obtenons
le tableau.
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Exemple 4: (suite)
i
f(i)
4%
-833.0496513
6%
5%
601.3797796
-148.4830568
5.5%
218.011650
5.25%
32.690028
5.125%
-58.410764
5.1875%
-12.989460
5.21875%
5.203125%
9.817942
-1.593838
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Exemple 4: (suite)
Donc nous pouvons conclure que le taux d’intérêt recherché
est approximativement 5.2% par période de capitalisation. Si
nous voulons plus de précision, il faut alors poursuivre nos
calculs en subdivisant de plus en plus l’intervalle de départ.
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