Exercices : 01 -Électricité

1 – Exercices : 01 - Électricité - Électronique
Sciences Physiques MP 2016-2017
Exercices : 01 - Électricité - Électronique
A. Régime linéaire
1. Modèles de Thévenin et de Norton
On considère le circuit de la figure 1. L’objectif est de montrer l’équivalence du modèle de Thévenin d’un
générateur de tension avec le modèle de Norton d’un générateur de courant. Dans les deux cas le circuit
électrique doit faire passer la même intensité dans le circuit d’utilisation modélisé par une résistance Ru .
R
A
Thévenin
Ru
B
b
R
b
b
b
I0
b
Ru
E
b
b
b
b
b
b
A
b
Norton
B
Figure 1 – Montage linéaire en continu
1. Dans le cas du modèle de Thévenin, déterminer l’expression de l’intensité traversant la résistance Ru et
de la tension aux bornes de cette résistance.
2. Le générateur de courant impose l’intensité I0 dans sa branche. Déterminer l’expression de I0 en fonction
de E et de R pour que le courant passant dans la résistance Ru soit le même que celui déterminé à la
question précédente.
3. Montrer qu’il y a bien équivalence des deux montages.
2. Modèle équivalent Thévenin
On considère le circuit de la figure 2. L’objectif est de donner de la portion comprise entre les points A et B
un modèle Thévenin équivalent afin de déterminer la tension aux bornes de la résistance d’utilisation Ru ainsi
que le courant qui la traverse.
R
A
Ru
B
b
b
b
b
b
b
R
R
R
b
b
b
b
b
I0
b
E0
b
Figure 2 – Montage linéaire en continu
1. Le circuit proposé présente un générateur de courant décrit par le modèle de Norton. Transformer ce
générateur de courant en générateur de tension selon le modèle de Thévenin.
2. Jouer avec les associations de générateurs et leurs transformations possibles pour donner un modèle Thévenin équivalent aux bornes de Ru . On notera ET h et RT h ses deux caractéristiques.
3. Déterminer l’intensité iAB qui circule dans la résistance Ru .
4. Pour quelle valeur de la résistance d’utilisation Ru , la puissance absorbée par cette résistance sera-t-elle
maximale ?
Réponses : le modèle de Thévenin possédera une force électromotrice E1 = RI et une résistance interne en série
R ; on peut lui associer la résistance R en série pour former un générateur de tension de fem E1 et de résistance
JR Seigne
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Nantes
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Exercices : 01 - Électricité - Électronique – 2
2R ; le générateur de tension est transformé en générateur de courant de courant de courant électromoteur E/R
et de résistance R, cette résistance se retrouve en parallèle avec une résistance R, on peut alors associer R en
parallèle avec R ce qui donne une résistance R/2 ; on revient à un générateur de tension de fem E/2 et de
résistance interne R/2 ; il ne reste plus qu’à associer les deux générateurs de tension pour obtenir le modèle de
E
E+2RI
Thévenin Rth = 52 R, Eth = 12 E + RI ; Icc = 5R
+ 25 I ; iAB = 2R
; Ru = Rth = 52 R.
u +5R
3. Mesures en courant continu
La déformation d’une lame est mesurée par une jauge de contrainte, formée d’un fil conducteur. La résistance
R(z, ϑ) de cette jauge du déplacement vertical z de la jauge et de la température ϑ, selon la loi générale
R = R0 [1 + αz + β(ϑ − ϑ0 )], ϑ0 étant une température de référence, et β(ϑ − ϑ0 ) étant du même ordre de
grandeur que αz.
′
On dispose en fait deux jauges sous la lame, de sorte que pour celles-ci R+ et R+
correspondent à α = A > 0
(la déformation de la lame provoque un allongement de la jauge), et deux autres jauges sur la lame, de sorte que
′
pour celles-ci R− et R−
correspond à α = −A < 0 (la déformation de la lame provoque un raccourcissement de
la jauge). β a la même valeur pour les quatre jauges.
1. Ces jauges sont branchées comme sur le schéma de la figure 3. Elles sont diposées dans ce montage pour
avoir une tension v maximale lorsque la lame est courbée. Déterminer alors v quand une résistance ρ1 est
branchée entre A et B. Quels sont alors les effets de la température sur la mesure de z ?
R+
b
R−
A
b
b
v
b
b
′
R−
b
B
′
R+
b
b
e
Figure 3 – Mesure passive de déformation
2. La déformation z est en fait mesurée par un montage utilisant trois amplificateurs opérationnels idéaux
(figure 4). Exprimer v puis v ′ et v ′′ ; commenter.
b
+
b
b
ρ4
b
b
b
b
b
ρ2
ρ1
v
v′
b
ρ2
b
b
b
b
b
b
b
b
b
+
b
b
-
ρ3
b
jauges
b
b
ρ3
ρ4
+
v ′′
b
b
b
b
b
b
Figure 4 – Mesure active de déformation
Az
Réponses : Montage en croix, v = e 1+β(θ−θ
≃ eAz(1 − β(θ − θ0 )) au premier ordre v ≃ eAz ; ET h ≃ eAz,
0)
ρ1
RT h ≃ R0 (1 − β(θ − θ0 ), v ≃ eAz ρ1 +R0 (1−β(θ−θ
, les effets de la température se font sentir par l’intermédiaire
0 ))
du terme R0 (1 − β(θ − θ0 )) ; v ≃ eAz, v ′′ ≃ −(1 + 2 ρρ21 ) ρρ34 eAz, le terme évoqué précédemment n’intervient plus,
on peut aussi amplifier le signal proportionnel à z.
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3 – Exercices : 01 - Électricité - Électronique
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4. Prise de Terre
Afin de protéger une installation, on ajoute un fil de Terre (jaune et vert) relié à une tige très conductrice de
forme cylindrique plantée sur une longueur L dans le sol ; le rayon de la tige est rT et la tige se termine par une
hémisphère. Voir le schéma de la figure 5.
rT
L
dr
r
Terre
Figure 5 – Schéma de la prise de Terre enfoncée dans le sol
1. Rappeler l’expression de la résistance Rb d’un barreau de section S, de longueur ℓ et de résistivité ρ.
2. Justifier que la résistance du sol (de la Terre) peut s’exprimer par la relation :
Rs =
Z
∞
rT
ρ
dr
S(r)
où ρ est la résistivité du sol, S(r) est l’aire latérale d’un cylindre de longueur L et de rayon r plus l’aire
de l’hémisphère de rayon r. Préciser l’expression de S(r).
3. Déterminer l’expression littérale de la résistance Rs . Effectuer l’application numérique avec L = 3 m,
ρ = 100 Ω · m et rT = 1 cm.
4. Le code de l’électricité demande que la résistance de mise à la Terre soit inférieure à 25 Ω. La solution
consiste à placer plusieurs tiges en parallèle toutes reliées par un câble électrique de résistance Rc . On
obtient finalement le schéma de la figure 6.
Rc
b
b
b
Rs
b
B
Rs
b
Rs
Rc
b
b
b
b
b
b
Rc
A
Figure 6 – Schéma équivalent aux diverses prises de Terre
Le câble possède un diamètre D = 8 mm, une conductivité σ = 6 × 107 S · m−1 et une longueur d = 5 m.
Déterminer la valeur de Rc et comparer à Rs .
5. Si Rn est la résistance de n blocs (Rc , Rs ), établir une relation de récurrence entre Rn+1 et Rn . Lorsque
n → ∞, la résistance AB tend vers une limite finie. Déterminer l’expression de cette limite en fonction de
Rc et Rs . Commenter.
5. Régime critique
On considère le circuit représenté sur la figure 7.
L’interrupteur étant ouvert, les intensités i1 et i2 sont nulles et le condensateur est déchargé. On le ferme dans
de telles conditions.
1. Déterminer, presque sans calculs et en les justifiant, les valeurs de i1 , i2 , i et u juste après la fermeture de
l’interrupteur.
2. Même question lorsqu’au bout d’un temps suffisamment long, le régime permanent est établi.
3. Écrire, sans le résoudre, le système d’équations permettant d’obtenir l’équation différentielle vérifiée par
la tension u.
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Exercices : 01 - Électricité - Électronique – 4
b
b
b
i1
b
L
E
R
C
b
u
b
b
i2
i
R
b
b
b
Figure 7 – Recherche du régime critique
4. Voici quatre propositions pour l’équation différentielle vérifiée par la tension u dont une seule est correcte.
Toujours sans résoudre le système précédent, expliquer pourquoi trois équations sont fausses et déterminer
la bonne équation.
1
R du
2u
E
d2 u
1
R du
2u
E
d2 u
+
+
=
b) 2 +
+
+
=
a) 2 −
dt
RC
L dt
LC
LC
dt
RC
L dt
LC
LC
d2 u
1
R du
u
E
d2 u
1
R2 du
2u
E
+
+
=
d) 2 +
+
+
=
c) 2 +
dt
RC
L dt
LC
LC
dt
C
L dt
LC
LC
5. Quelle relation doit-il exister entre R, C et L pour que la solution de l’équation différentielle corresponde
à un régime critique ?
Pour la suite, on prendra C = 1, 0 µF et L = 20 mH.
6. Déterminer la (les) valeur(s) de R correspondant au régime critique.
7. Déterminer, en fonction du temps, l’expression complète de la tension u.
8. Donner une estimation du temps nécessaire pour que le régime permanent soit établi dans le circuit (c’est
à dire pour que la valeur de u diffère de moins de 1% de sa valeur finale).
6. Ligne à retard
Une ✭✭ cellule à retard ✮✮ est représentée sur la figure 8.
b
b
L/2
ue
b
b
ie
is
L/2
us
C
b
b
Figure 8 – Cellule à retard
1. On branche à l’entrée de la cellule un générateur de tension parfait sinusoı̈dal et on laisse la sortie ouverte :
étudier qualitativement le comportement de la tension de sortie us à basse et haute fréquence.
On branche à l’entrée de la cellule un générateur de courant parfait sinusoı̈dal et la sortie est courtcircuitée : étudier qualitativement le comportement du courant de sortie is à basse et haute fréquence.
2. On se place dans le cas général, pour des signaux harmoniques de pulsation ω. Exprimer les relations
donnant les grandeurs
en fonction des grandeurs d’entrée ue et ie . On mettra le résultat
de sortie us et is us
α β
ue
sous la forme
=
. Vérifier alors les résultats de la première question.
is
γ δ
ie
3. Exprimer, sans calculs, ue et ie en fonction de us et is .
4. On se place dans ce qui suit à basse fréquence : on se limitera aux termes d’ordre deux au maximum
en ω. Montrer qu’il existe une valeur particulière de R telle que, si on branche la résistance R en sortie
du montage, alors le montage complet présente une impédance apparente R à l’entrée. Exprimer R en
fonction de L et C. On supposera dans ce qui suit que R est branchée à la sortie du montage.
5. Montrer que le montage se comporte comme un déphaseur pour les grandeurs de sortie us et is , relativement
aux grandeurs correspondantes à l’entrée. Calculer le déphasage ϕ(ω) correspondant.
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6. On impose enfin à l’entrée un signal de forme quelconque, mais dont les variations sont suffisamment lentes
pour que la condition de basse fréquence reste satisfaite. Montrer que le signal de sortie est identique au
signal d’entrée, à un retard τ près, que l’on déterminera.
2
2
LCω
Réponses : H = uuse en BF |H| = 1 et en HF |H| = 0, idem pour H = iise , α = δ = 1− LCω
2 , β = −jLω(1− 4 ),
1
γ = −jCω, circuit ouvert en BF us = ue en HF us =
2 ue → 0 si ω → ∞, court-circuit en BF is = ie en HF
1− LCω
2
q
ue
δ −β
us
1
L
is =
i
→
0
si
ω
→
∞,
matrice
inverse
Det
=
αδ
−βγ
=
1
et
=
,
R
=
2 e
C , à
1− LCω
ie
−γ α
is
2
√
1
, ϕ(ω) = − arctan √1 1 ω√LC , à l’ordre le plus bas ϕ(ω) = − arctan ω LC, retard
l’ordre 2 uuse =
LCω2
Lω
1− 2 +j R
− 2
ω LC
√
τ de l’ordre de LC.
7. Comparaison de l’efficacité de deux filtres
On considère le montage de la figure 9 dans lequel l’amplificateur opérationnel est idéal et fonctionne en régime
linéaire. La tension d’entrée e(t) est sinusoı̈dale de pulsation ω variable.
b
C2
b
b
b
+
b
b
b
R
R
e(t)
s(t)
C1
b
b
b
b
Figure 9 – Filtre
1. Déterminer sans calcul la nature du filtre.
2. Déterminer le nombre minimal d’équations nécessaires pour exprimer s et fonction de e des impédances
ou admittances des éléments du circuit et pouvoir calculer T = s/e. Écrire ces équations.
3. Pourquoi peut-on éliminer les expressions suivantes de T :
T =
1−
jRC1 ω
2
R C1 C2 ω 2 +
T =
j2RC1 ω
1−
+ j2C1 ω
1
1 − R2 C1 C2 ω 2 + j2RC2 ω
√
4. On a C2 = 2C1 . Montrer que |T |2 = 1/(1 + x4 ) avec x = ω/ω0 et ω0 = 1/( 2RC1 ). Tracer le diagramme
de Bode pour |T |2 . Superposer le diagramme de |T 1 |2 = 1/(1 + x2 ). Quel est l’avantage de |T | par rapport
à |T 1 | ?
T =
1
RC1 ω(RC2 ω + j2)
1
R2 C1 C2 ω 2
T =
Réponses : BF C circuit ouvert, HF C fil, passe-bas, 2 équations Re + Rs + jC2 ωs = VA ( R2 + jC2 ω) et VRA =
1
(R
+ jC1 ω)s, non passe-bas, non homogène, non passe-bas, si C2 → 0 T = 1 alors que diviseur de tension donne
1
T = 1+2jRC
, |T 1 | pente à −40 dB par décade meilleur filtre que −20 dB par décade.
1ω
B. Puissance
8. Adaptation d’impédance
√
Un générateur d’impédance interne Z g = Rg + jXg , délivrant une fem sinusoı̈dale e(t) = E0 2 cos ωt est
connecté aux bornes d’une charge d’impédance Z u = Ru + jXu . L’admittance Y u correspondant à l’impédance
Z u est notée Y u = Gu + jHu .
1. Calculer l’intensité efficace I qui circule dans le circuit.
2. Calculer la puissance moyenne Pu absorbée sur une période par l’impédance de charge Zu .
3. Exprimer la puissance moyenne Pu en fonction de Ru et I.
4. Déterminer les relations qui existent entre Ru , Xu , Rg et Xg pour que Pu soit maximale. On dit alors
qu’il y a adaptation d’impédance.
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Clemenceau
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E0
(ru +rg )2 +(xu +xg )2
Réponses : I = √
; Pu = Ru I 2 ; Ru = Rg et Xu = −Xg .
9. Alimentation d’un moteur
On considère un générateur de tension sinusoı̈dale de valeur efficace E0 = 12 V et de résistance interne Rg = 50 Ω.
Ce générateur fonctionne à la fréquence f = 50 Hz. Il alimente un petit moteur électrique dont le modèle est
constitué d’une résistance interne r = 10 Ω en série avec une bobine idéale de coefficient d’autoinductance L tel
que Lω = L2πf = 30 Ω.
1. Représenter le circuit électrique correspondant au montage décrit.
2. Déterminer littéralement et numériquement l’impédance Z m du moteur. En déduire le déphasage entre le
courant traversant le moteur et la tension à ses bornes.
3. Déterminer la puissance moyenne consommée par le moteur.
4. Déterminer la puissance moyenne délivrée par la source idéale de tension. En déduire le rendement du
transfert de puissance entre le générateur idéal de tension et le moteur.
10. Étude d’un séchoir électrique
Un séchoir électrique est modélisé par la mise en parallèle d’une résistance chauffante R, réglable et d’un moteur
de soufflerie, modélisé par une bobine d’inductance propre L et de résistance r invariables.
L’appareil présente quatre états possibles de fonctionnement, soufflerie à froid (F) si R n’est pas branchée ou
bien, selon la valeur de la résistance branchée, chauffage modéré (I), moyen (II) ou fort (III).
L’ensemble est alimenté en courant industriel alternatif (220 V, 50 Hz). On branche à l’entrée de l’appareil
un dispositif permettant de mesurer le déphasage ϕ entre la tension d’alimentation et le courant qui traverse
l’ensemble.
La puissance totale consommée par l’appareil est indiquée par le constructeur ; elle figure dans le tableau cidessous, en même temps que le déphasage mesuré. η mesure le rapport des puissances utilisées au chauffage et
à la propulsion de l’air.
Mode
Puissance
|ϕ|
η
F
476 W
I
1 000 W
II
2 000 W
0, 81 rad
III
3 000 W
0, 61 rad
0
1. Déterminer l’admittance complexe Y du moteur de la soufflerie. En déduire r et L.
2. Compléter le tableau ci-dessus.
3. Commenter les valeurs numériques de cos ϕ. Pourquoi faudrait-il augmenter cette valeur ? Comment réaliser cette augmentation sans consommer plus de puissance ?
Lω
r
r 2 +L2 ω 2 − j r 2 +L2 ω 2 ,
R2πf L
U2
r 2 +L2 ω 2 +rR , PII − PF = RII
1
R
Lω
− j r2 +L
2 ω 2 , PF =
r
2
r 2 +L2 ω 2 U
Y =
tan |ϕ| =
d’où RII = 31, 8 Ω, r = 5 Ω, L = 0, 07 H
Mode
Puissance
|ϕ|
η
cos ϕ
F
476 W
1, 35 rad
0
0, 22
+
r
r 2 +L2 ω 2
Réponses : Y =
I
1 000 W
1, 13 rad
1, 10
0, 43
II
2 000 W
0, 81 rad
3, 20
0, 69
d’où r2 + L2 ω 2 = 102r,
III
3 000 W
0, 61 rad
5, 30
0, 82
La valeur de cos ϕ augmente en effet le chauffage prend plus d’importance et il s’agit d’une simple résistance où
tension et courant ont en phase. Cette valeur doit être élevée pour que, pour une même puissance appelée, elle
génère une intensité dans les fils du réseau EDF plus faible, limitant ainsi les pertes par effet Joule. Condensateur
en parallèle.
C. Régime non linéaire
11. Détecteur de crête
On considère le montage de la figure 10 composé d’une diode supposée idéale et d’un condensateur parfait de
capacité C = 1 µF.
1. À la date t = 0, le condensateur est déchargé, il reçoit alors le signal e(t) représenté sur la figure 10.
Représenter le signal s(t) que l’on obtient en sortie du montage.
On apporte une petite modification au circuit de la figure 10. On obtient alors celui de la figure 11.
2. Comment est modifié le comportement du circuit ? Discuter en fonction de la valeur de R.
JR Seigne
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e(t)
iD
b
uD
e(t)
b
b
s(t)
C
b
b
t
Figure 10 – Détecteur de crête
iD
uD
e(t)
b
b
b
b
R
s(t)
C
b
b
b
b
Figure 11 – Détecteur de crête pratique
3. Le signal e(t) est maintenant une tension sinusoı̈dale de fréquence 500 Hz dont on souhaite mesurer la
tension efficace. Représenter ce que l’on peut obtenir pour s(t). Quelle valeur de R faut-il prendre afin
que le circuit de la figure 11 se comporte comme un détecteur de crête ? Quel montage électrique simple
proposeriez-vous afin de mesurer à la sortie de celui-ci directement la tension efficace ?
12. Détecteur de crête et modulation
Le montage de la figure 12 porte le nom de détecteur de crête. Dans ce montage, la diode est idéale, sans seuil :
elle est soir ✭✭ passante ✮✮ (iD > 0 et uD = 0), soit ✭✭ bloquante ✮✮ (iD = 0 et uD 6 0). On pose τ = RC.
iD
uD
b
ue
b
b
b
R
us
C
b
b
b
b
Figure 12 – Détecteur de crête
1. La tension d’alimentation ue (t) est sinusoı̈dale, de pulsation ω : ue (t) = ue0 sin ωt. On suppose que τ ω ≫ 1.
À l’instant initial, la capacité n’est pas chargée. Déterminer us (t).
2. La tension d’alimentation ue (t) est un signal de haute fréquence ω, dont l’amplitude ue0 (t) varie lentement
à la pulsation Ω, avec τ ω ≫ 1 et τ Ω ≪ 1. Déterminer us (t).
3. Conclure et justifier la dénomination ✭✭ détecteur de crête ✮✮ pour ce montage.
Réponses : diode passante ue = us tant que id ≥ 0 or id =
T
4
π
2ω ,
environ =
ensuite diode bloquée, us = ue0 exp −
de suite, us (t) = ue0 (t), us suit la crête de ue (t).
t− T4
τ
Ue0
R [sin ωt + ωτ
cos ωt] ≃ Cωue0 cos ωt, id ≥ 0 jusqu’à
tant que ue < us , quasiment jusqu’à t =
5T
4
et ainsi
13. Enregistrement d’une figure d’interférences
Dans un dispositif d’interférences, on obtient une intensité lumineuse variant périodiquement
selon un axe Ox
x
d’un écran. La loi donnant l’évolution de l’intensité lumineuse est : φ = φ0 1 + cos 2π
où i est appelé
i
interfrange. Pour enregistrer cet éclairement grâce à un ordinateur, on utilise le déplacement à vitesse constante
vph et étalonnée d’une photodiode selon l’axe Ox de l’écran grâce à un rail rectiligne, voir le schéma de la figure
13.
JR Seigne
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vph
Dispositif d’interférences
photodiode
LASER
D
rail
Figure 13 – Montage d’enregistrement de l’intensité lumineuse
La conversion de l’intensité lumineuse en une tension électrique pouvant être acquise par l’ordinateur s’effectue
au moyen du montage électronique de la figure 14. L’amplificateur opérationnel utilisé est supposé idéal et en
régime linéaire.
b
b
R1
b
R2
b
-
id
hν
ud
b
b
b
b
+
us
us1
C
b
b
b
b
Figure 14 – Montage électronique de la photodiode
La photodiode est une jonction entre deux zones de silicium dopée de façon différente créant ce que l’on appelle une jonction P N . Lorsqu’elle est éclairée cette jonction va permettre à des électrons liés de quitter leur
niveau d’énergie pour devenir en quelque sorte des électrons libres et participer à la conduction du courant. La
caractéristique de la photodiode est donnée par la loi :
id = I0 exp
eud
− (I0 + Iph )
kB T
où Iph est l’intensité du courant dû aux électrons libérés par le flux lumineux. On parle de courant photoélectrique. Ce dernier est proportionnel à l’intensité lumineuse φ reçue : Iph = βφ.
1. Déterminer l’expression de us1 en fonction de l’intensité lumineuse φ.
2. Déterminer l’expression de us1 en fonction du temps t.
3. Quelle est la nature du filtre constitué par la cellule R2 C placée au niveau de la sortie de l’amplificateur
opérationnel ? Déterminer sa fréquence de coupure.
4. Établir en fonction du temps l’expression de us .
5. Conclure sur le rôle de la cellule R2 C sachant que l’objectif est de pouvoir mesurer l’interfrange i.
14. Multiplieur électronique
On considère le montage de la figure ci-contre. L’amplificateur opérationnel est considéré comme idéal fonctionnant en régime linéaire.
La diode est une diode réelle. L’intensité qui la traverse en fonction
de
la tension à ses bornes est de la forme iD = I0 exp (αuD ) − 1 .
i2
b
uD
iD
R′
b
b
b
b
b
b
1. Établir l’expression de us en fonction de ue et u
c.
+
us
1
ue
Quelle valeur donner à uc pour que us = − ln
?
α
RI0
2. On permute les positions de R et de la diode. Quelle est la nouvelle expression de us ? Quelle est la nouvelle
valeur u′c qui assure us = −RI0 exp (αue ) ?
uc
i1
ue R
b
b
3. On considère le montage de la figure 15 ; les diodes sont identiques et uc et u′c ont les valeurs déterminées
précédemment. Déterminer us en fonction de ue1 , ue2 , R et I0 .
ue
ue2
Réponses : us = − α1 ln(1 + RI
+ Ru′ cI0 ), uc = −R′ I0 ; us = RI0 (1 − exp(αue )) − RR′ u′c , u′c = R′ I0 ; us = − ue1
RI0 .
0
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b
b
b
R
b
b
b
u′c
-
R′
b
b
b
+
b
b
ue2
R0
R0
b
b
R
b
b
b
b
-
b
b
R′
-
b
R0
R′
b
b
b
+
b
b
+
us
b
b
uc
b
R
b
b
b
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Figure 15 – Montage non linéaire
JR Seigne
Clemenceau
Nantes