III Circuit RLC série
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III Circuit RLC série
III. Circuit ๐ ๐ฟ๐ถ seฬrie 2009-2010 III Circuit ๐ ๐ฟ๐ถ seฬrie III.1 Theฬorie Reฬgimes transitoires TP Ü Eฬquation di๏ฌeฬrentielle veฬri๏ฌeฬe par la tension ๐ข(๐ก) : d2 ๐ข ๐ 0 d๐ข ๐ข ๐ธ + + = 2 d๐ก ๐ฟ d๐ก ๐ฟ๐ถ ๐ฟ๐ถ Quโon peut eฬcrire sous la forme canonique : d2 ๐ข ๐0 d๐ข + + ๐02 ๐ข = ๐02 ๐ธ (๐ธ) d๐ก2 ๐ d๐ก โง ๏ฃด 1 ๏ฃด ๏ฃด : pulsation propre ๏ฃด โจ ๐0 = โ๐ฟ๐ถ en posant : โ ๏ฃด 1 1 ๐ฟ ๐ฟ๐0 ๏ฃด ๏ฃด ๏ฃด : facteur de qualiteฬ โฉ ๐ = ๐ = ๐ ๐ถ๐ = ๐ ๐ถ 0 Ü Solutions : Hyp : on se place dans le cas ouฬ ๐(๐ก) = ๐ธ avec, comme conditions initiales ๐ข(0โ ) = 0 et d๐ข ๐(0โ ) = ๐ถ (0โ ) = 0 d๐ก Csqce : comme il y a continuiteฬ de lโintensiteฬ ๐ traversant la bobine ainsi que de la tension ๐ข d๐ข aux bornes du condensateur : ๐(0+ ) = ๐ถ (0+ ) = 0 et ๐ข(0+ ) = 0. d๐ก (1) La solution ๐ข(๐ก) est de la forme ๐ข(๐ก) = ๐ข๐ + ๐ข๐บ (๐ก) avec : { ๐ข๐ : une solution particulieฬre de lโeฬquation avec second membre ๐ข๐บ (๐ก) : la solution geฬneฬrale de lโeฬquation homogeฬne (2) Le second membre eฬtant constant, on cherche une solution particulieฬre constante : d2 ๐ข๐ ๐0 d๐ข๐ + ๐02 ๐ข๐ = ๐02 ๐ธ, soit : ๐ข๐ = ๐ธ + d๐ก2 ๐ d๐ก ๐0 ๐ + ๐02 ๐ = 0 ๐ ( )2 ๐0 Le discriminant de cette eฬquation caracteฬristique est : ฮ = (1 โ 4๐2 ) ๐ 1 (4) reฬgime transitoire apeฬriodique : cas ouฬ ฮ > 0 โ ๐ < 2 ๐0 โ ๐0 Les racines de (โ) sont deux racines reฬelles (neฬgatives) : ๐1/2 = โ ± 1 โ 4๐2 . 2๐ 2๐ Alors : ๐ข๐บ (๐ก) = ๐ด.๐๐1 ๐ก + ๐ต.๐๐2 ๐ก d๐ข = (๐1 ๐ด.๐๐1 ๐ก + ๐2 ๐ต.๐๐1 ๐ก ) โ Soit : ๐ข = ๐ข๐ + ๐ข๐บ (๐ก) = ๐ธ + ๐ด.๐๐1 ๐ก + ๐ต.๐๐2 ๐ก et donc : d๐ก โง ๐2 ๐ธ ๏ฃด { ๏ฃด + โจ ๐ด = โ๐ โ ๐ ๐ข(0 ) =๐ด+๐ต+๐ธ =0 2 1 Avec, comme conditions initiales : โ d๐ข + ๏ฃด ๐ ๐ธ (0 ) = ๐1 ๐ด + ๐2 ๐ต = 0 ๏ฃด โฉ ๐ต= 1 d๐ก ๐2 โ ๐1 [ ] ( ) 1 ๐1 ๐ก ๐2 ๐ก โ ๐ข(๐ก) = ๐ธ 1 + โ๐2 .๐ + ๐1 .๐ ๐2 โ ๐1 (3) Eฬquation caracteฬristique (โ) associeฬe aฬ (๐ธ) : ๐2 + 1 2 ๐0 Les racines de (โ) constituent une racine double : ๐1 = ๐2 = โ = โ๐0 . 2๐ Alors : ๐ข๐บ (๐ก) = (๐ด + ๐ต.๐ก).๐โ๐0 ๐ก d๐ข โ Soit : ๐ข = ๐ข๐ + ๐ข๐บ (๐ก) = ๐ธ + (๐ด + ๐ต.๐ก).๐โ๐0 ๐ก , et donc : = [โ๐0 (๐ด + ๐ต.๐ก) + ๐ต].๐โ๐0 ๐ก d๐ก (5) reฬgime transitoire critique : cas ouฬ ฮ = 0 โ ๐ = Qadri J.-Ph. โฃ PTSI http ://atelierprepa.over-blog.com/ 5 III. Circuit ๐ ๐ฟ๐ถ seฬrie TP Reฬgimes transitoires { Avec, comme conditions initiales : โ [ ] ๐ข(๐ก) = ๐ธ 1 โ (1 + ๐0 ๐ก).๐โ๐0 ๐ก 2009-2010 { ๐ข(0+ ) =๐ด+๐ธ =0 ๐ด = โ๐ธ โ d๐ข + ๐ต = โ๐0 ๐ธ (0 ) = โ๐0 ๐ด + ๐ต = 0 d๐ก 1 (6) reฬgime transitoire pseudo-peฬriodique : cas ouฬ ฮ < 0 โ ๐ > โ 2 โ๐ ± ๐ โฃฮโฃ ๐0 ๐0 โ 2 โซ = โ ±๐ Les racines de (โ) sont deux racines complexes : ๐1/2 = « 4๐ โ 1. 2๐ 2๐ 2๐ โง ๏ฃด 2๐ ๏ฃด ๏ฃด ๐= โจ 1 ๐0 Soit : ๐1/2 = โ ± ๐๐ avec ๐0 โ 2 ๏ฃด ๐ ๏ฃด ๏ฃด ๐ = 4๐ โ 1 pseudo-pulsation โฉ 2๐ ( ) ๐ก Alors : ๐ข๐บ (๐ก) = (๐ด. cos(๐๐ก) + ๐ต. sin(๐๐ก)). exp โ ๐ ( ) ๐ก โ Soit : ๐ข = ๐ข๐ + ๐ข๐บ (๐ก) = ๐ธ + (๐ด. cos(๐๐ก) + ๐ต. sin(๐๐ก)). exp โ ๐ [( ) ( ) ] ( ) d๐ข ๐ด ๐ต ๐ก Et donc : = โ + ๐ต๐ . cos(๐๐ก) + โ โ ๐ด๐ . sin(๐๐ก) . exp โ d๐ก ๐ ๐ โง ๐ { + โจ ๐ด = โ๐ธ ๐ข(0 ) =๐ด+๐ธ =0 ๐ด ๐ธ โ Avec, comme conditions initiales : ๐ด d๐ข + = โโ โฉ ๐ต=โ (0 ) = โ + ๐ต๐ = 0 ๐๐ 4๐2 โ 1 d๐ก ๐ [ ( )] ( ) 1 ๐ก โ ๐ข(๐ก) = ๐ธ 1 โ cos(๐๐ก) + โ sin(๐๐ก) .๐ โ ๐ 4๐2 โ 1 (7) Reฬsistance critique : valeur de ๐ qui permet le reฬgime critique lorsque ๐ฟ et ๐ถ sont ๏ฌxeฬes : โ ๐ฟ ๐ ๐ = 2 โ A.N. : pour ๐ฟ = 40 ๐๐ป et ๐ถ = 0, 1 ๐๐น : ๐ ๐ = 1 265 ฮฉ ๐ถ III.2 Montage ( ) ๐ก โข Pour un reฬgime pseudo-peฬriodique : ๐ข๐บ (๐ก) = (๐ด. cos(๐๐ก)+๐ต. sin(๐๐ก)). exp โ et le deฬcreฬment ๐ ๐๐บ๐ (๐ก0 ) ๐ logarithmique sโeฬcrit : ๐ฟ = ln , soit : ๐ฟ = ce qui peut sโeฬcrire : ๐๐บ๐ (๐ก0 + ๐ ) ๐ โง 2๐ ๐ 2๐ ๏ฃด (โ =โ lorsque ๐ est « élevé ») ๏ฃด ๏ฃด 2 ๏ฃด ๐ ๐ ๐ 4๐ โ 1 โจ ๐ฟ= ๐ ๐0 ๐ ๐ ๐.๐ 0๐ ๏ฃด = โ ๐ฟ= , 1 ๏ฃด ๏ฃด 2 ๐ 2๐ฟ 0 ๏ฃด โฉ 2๐ ๐0 โ 2 ๐ฟ๐0 4๐ โ 1, en eฬlevant au carreฬ et en remplacฬงant ๐ par , on obtient : 2๐ ๐ ( )2 ๐ ๐02 = ๐ 2 + , 2 2๐ฟ ( )2 ๐0 1 1 4๐๐2 ๐ โ โข De plus, comme ,, 2 donne : = 2 + = ๐ฟ๐ถ ๐ฟ๐ถ ๐ 2๐ฟ 1 4๐ 2 ๐ฟ2 Soit, en utilisant , 1 : = 2 + 2 ๐ฟ๐ถ ๐ ๐ ๐2 , 3 โ dโouฬ : ๐ฟ = (4๐ 2 + ๐ฟ 2 ).๐ถ โข Comme ๐ = 6 http ://atelierprepa.over-blog.com/ Qadri J.-Ph. โฃ PTSI III. Circuit ๐ ๐ฟ๐ถ seฬrie 2009-2010 โข Cette dernieฬre relation injecteฬe dans , 1 donne : ๐ = 2๐ฟ๐ (4๐ 2 + ๐ฟ 2 ).๐ถ Reฬgimes transitoires TP , 4 ๐ถ eฬtant supposeฬe connue, la connaissance de ๐ฟ (deฬcreฬment logarithmique) et ๐ (pseudo-peฬriode) permettent de remonter aux caracteฬristiques du circuit : ๐ , ๐ฟ et ๐. โข Avec une bobine de 1 000 spires et une capaciteฬ ๐ถ = 0, 1 ๐๐น , on mesure ๐ = 410 ๐๐ et ๐ฟ = 0, 81 Les relations , 3 et , 4 donnent acceฬs aux valeurs : ๐ฟcalc โ 42 ๐๐ป et ๐ calc โ 165 ฮฉ โข En reฬaliteฬ, il ne sโagit pas de ๐ qui a eฬteฬ ๏ฌxeฬe aฬ 100 ฮฉ, mais de la reฬsistance totale du circuit : ๐ ๐ = ๐ + ๐ + ๐ ๐ ouฬ ๐ est la reฬsistance variable (boฤฑฬte AOIP), ๐ la reฬsistance interne de la bobine (โผ 9 ฮฉ) et ๐ ๐ la reฬsistance interne du geฬneฬrateur. Ce qui permet dโobtenir une bonne estimation de la reฬsistance interne du geฬneฬrateur : ๐ ๐ = ๐ ๐ โ ๐ โ ๐ โ 56 ฮฉ Valeur tout aฬ faitโconvenable puisque โผ 50 ฮฉ. ๐ฟ โ ๐ โ ๐ ๐ = 1 265 โ 9 โ 56 โผ 1 200 ฮฉ Ainsi ๐ ๐,theฬo = 2 ๐ถ โ 1 ๐ฟ 2๐ โข ๐calc = = 3, 9 โ ๐calc = โ 495 ๐๐ ๐ ๐ ๐ถ ๐0 โข Avec un tel circuit, le facteur de qualiteฬ maximal que lโon peut atteindre est obtenu lorsque โ 1 ๐ฟ = 9, 8 โผ 10 ๐ ๐ est minimale, donc lorsque ๐ = 0 : ๐max = ๐ ๐ + ๐ ๐ถ Qadri J.-Ph. โฃ PTSI http ://atelierprepa.over-blog.com/ 7