Estimation de la fréquence

Transcription

Philippe Ciblat
École Nationale Supérieure des Télécommunications, Paris, France
Modèles Estimation DA Estimation NDA
Plan
Philippe Ciblat
1
Modèles
2
Estimation de fréquence avec séquence d’apprentissage
Rappel : estimation de fréquence pure
Estimateurs ML
Bornes de Cramer-Rao
Illustrations numériques
3
Estimation de fréquence sans séquence d’apprentissage
Description d’estimateurs
Analyse de performances asymptotiques et non-asymptotiques
2 / 40
Philippe Ciblat
Partie 1 : Modèles
3 / 40
Modèle en bande de base (I)
Signal reçu en bande de base
ya (t) =
X
k ∈Z
!
sk ha (t − kTs ) e2iπδfa t + ba (t)
avec
{sk }k ∈Z : symboles d’une constellation quelconque
Philippe Ciblat
ba (t) : bruit additif gaussien ∼ CN (0, 2N0 ).
ha (t) : un filtre résultant d’un filtre de mise en forme ga (t), d’un
canal de propagation, d’un déphasage et d’un retard temporel.
δfa un résidu de fréquence porteuse lié soit à l’effet Doppler soit
à un défaut des oscillateurs locaux.
3 / 40
Modèle en bande de base (II)
Hypothèse
Philippe Ciblat
δfa Ts ≪ 1
⇒ δfa petit devant la largeur de bande
Système radiomobile avec effet Doppler :
porteuse f0 à 900MHz, vitesse v de déplacement à 50km/h
⇒ δfa = f0 vc = 40Hz
Oscillateurs locaux de précision de 100ppm
⇒ δfa = f0 × précision = 90kHz
4 / 40
Récepteur en bande de base (I)
Récepteur (avec ha (t) et δfa connus)
.
ya (t)
X
ha (−t)
za (t)
nT s
z(n)
Détecteur
ŝn
e−2iπδfat
n( T
s/
2)
X
Interpolateur
basé sur ha (nTs/2)
z(n)
2
Détecteur
ŝn
e−2iπ(δfaTs /2)n
.
Remarque :
Te période d’échantillonnage vérifiant le théorème de Shannon
Philippe Ciblat
Te = Ts /2 suffit souvent (car δfa est petit devant la bande)
On pose ∆f = δfa Ts
5 / 40
Récepteur en bande de base (II)
Soient deux filtres f1 (t) et f2 (t) de bande 1/Ts et δfa Ts ≪ 1
f1 (t) ⋆ (f2 (t)e
2iπδfa t
) =
=
=
=
Z
f2 (τ )e2iπδfa τ f1 (t − τ )dτ
Z
F2 (−ν)TF(τ 7→ e2iπδfa τ f1 (t − τ ))(ν)dν
Z
2iπδfa t
e
F2 (ν)F1 (ν + δfa )e2iπνt dν
e2iπδfa t (f1 (t) ⋆ f2 (t)) + o(δfa )
Applications
z(t) =
X
fa (t) ⋆ (
sk ha (t − kTs )e2iπδfa t )
k ∈Z
≈
X
(
sk (fa ⋆ ha )(t − kTs ))e2iπδfa t
k ∈Z
Modèle en bande de base ainsi validé (cf. démodulateur I/Q)
Philippe Ciblat
6 / 40
Récepteur avec ha (t) et ∆f inconnus
Schéma de principe (à temps discret)
.
n( T
s/
2)
e−iπ∆f n
X
Interpolateur
2
Détecteur
Estimation du filtre
(à la cadence Ts /2)
Estimation de ∆f
.
Schéma de principe (simplifié)
.
n( T
s/
e−iπ∆f n
2)
Interpolateur
X
2
Détecteur
(à la cadence Ts /2)
Estimation de ∆f
.
Schéma de principe (simplifié et sans filtre adapté)
Philippe Ciblat
.
n( T
s/
2)
e−2iπ∆f n
Interpolateur
basé sur ga (nTs/2)
2
X
Détecteur
(à la cadence Ts )
Estimation de ∆f
.
7 / 40
Modèle mathématique
Signal reçu
Philippe Ciblat
y (n) =
L
X
h(k )sn−k
k =0
|
{z
a(n)
!
e2iπf0 n + b(n)
}
{sn } une séquence de données (connue ou inconnue)
{h(k )} le filtre inconnu
f0 la fréquence inconnue
b(n) le bruit gaussien blanc circulaire de variance 2N0
8 / 40
Méthode d’estimation
Deux modes :
Avec séquence d’apprentissage
Data-aided (DA) ou supervisé ou avec pilote
Estimation d’harmonique avec amplitude partiellement
connue variant dans le temps
Sans séquence d’apprentissage
Non-Data-aided (NDA) ou autodidacte/aveugle
Estimation d’harmonique avec bruit multiplicatif et bruit additif
Objectif
Philippe Ciblat
1. Estimer f0 à la donnée de y (n) et sn
2. Estimer f0 à la donnée de y (n)
9 / 40
Philippe Ciblat
Partie 2 : Estimation DA
10 / 40
Estimation de fréquence pure
Modèle du signal : soit f0 la fréquence
y (n) = ae2iπf0 n + b(n)
avec a l’amplitude complexe telle que a = |a|e2iπφ0 avec φ0 la phase
Exemple :
Philippe Ciblat
Harmonic with f0=0.1 and SNR=0dB
6
4
4
4
2
2
2
0
−2
−4
−6
Real part of harmonic
6
Harmonic with f0=0.1 and SNR=−10dB
6
0
−2
−4
0
10
20
30
40
50
60
sample index
70
80
RSB=−10dB
90
100
−6
0
−2
−4
0
10
20
30
40
50
60
sample index
70
80
90
100
RSB=0dB
−6
0
10
20
30
40
50
60
sample index
70
80
90
100
RSB=10dB
10 / 40
Estimateur ML de fréquence pure
Critère ML : comme le bruit additif est gaussien blanc, on a
min J(|a|, φ, f ) =
|a|,φ,f
N−1
2
1 X y (n) − |a|e2iπ(fn+φ) N
n=0
Résultat
Si phase φ0 connue : f̂N = arg maxf ℜ
h P
N−1
1
N
n=0
y (n)e−2iπ(fn+φ0 )
P
2
N−1
Si phase φ0 inconnue : f̂N = arg maxf N1 n=0
y (n)e−2iπfn Philippe Ciblat
i
11 / 40
Preuve
Philippe Ciblat
J(|a|, φ, f )
=
N−1
1 X
|y (n)|2 + |a|2
N
n=0
−
|a|
N−1
N−1
1 X
1 X
y (n)e−2iπ(fn+φ)
y (n)e2iπ(fn+φ) +
N
N
n=0
n=0
!
Si phase connue (φ = φ0 ), maximisation du terme bleu
Si phase inconnue, φ0 ∈ [0, π[ (sinon ambiguïté avec a et −a) et
!1/2
PN−1
1
−2iπfn
y
(n)e
∂J = 0 ⇔ e2iπφ̂N = N1 Pn=0
N−1
2iπfn
∂φ φ=φ̂N
n=0 y (n)e
N
d’où
N−1
1 X
y (n)e−2iπfn J(|a|, φ̂N , f ) = constante − 2|a|
N
n=0
ce qui implique la maximisation du terme magenta
12 / 40
Illustrations numériques
Philippe Ciblat
f0 = 0.1
N = 100
Harmonic with f0=0.1, N=100 and SNR=−10dB
Harmonic with f0=0.1, N=100 and SNR=0dB
80
Harmonic with f0=0.1, N=100 and SNR=10dB
120
100
90
70
100
80
60
70
80
40
FFT norm
60
FFT norm
FFT norm
50
60
50
40
30
40
30
20
20
20
10
0
10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
frequency index
0.7
0.8
RSB=−10dB
0.9
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
frequency index
0.7
0.8
0.9
1
RSB=0dB
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
frequency index
0.7
0.8
0.9
1
RSB=10dB
13 / 40
Estimation de fréquence non pure
yN = DN (f0 )SN h + bN
avec
yN = [y (0), · · · , y (N − 1)]T
N nombre d’observations (temps d’observation = [0, NTs [)
[01,L , s0 , · · · , sN−1 ]T : séquence d’apprentissage
SN une matrice N × (L + 1) définie comme suit


s0
s−1 . . .
s−L


..
..

 s1
.
.


SN =  .


 ..
sN−1 sN−2 . . . sN−1−L
Philippe Ciblat
h = [h(0), · · · , h(L)]T
DN (f ) = diag([1, · · · , e2iπ(N−1)f ])
bN = [b(0), · · · , b(N − 1)]T : bruit blanc gaussien
14 / 40
Estimateurs ML (I)
Problème dirigé
si la fréquence est connue (problème classique)
−1 H
ĥN|f = (SH
SN yN
N SN )
si le canal est connu (référence ou voie de retour)
f̂N|h = arg max
f ∈[0,1[
H
ℜ[hH SH
N DN (f ) yN ]
Preuve : suivre la démarche du transparent 12
Lien avec le périodogramme
Philippe Ciblat
f̂N|h = arg max
f ∈[0,1[
"
N−1
1 X
a(n)y (n)e−2iπfn
ℜ
N
n=0
#
15 / 40
Estimateurs ML (II)
Problème conjoint
(
f̂N = arg maxf ∈[0,1[
ĥN
=
H
−1 H
yH
SN DN (f )H yN
N DN (f )SN (SN SN )
−1 H
(SH
SN DN (f̂N )H yN
N SN )
Preuve : suivre la démarche du transparent 12
−1 H
Soit PN = SN (SH
SN la projection sur l’image de SN .
N SN )
Soit la décompostion de Cholesky de PN = QH
N QN
Lien avec périodogramme
Philippe Ciblat
2
N−1 N−1
1 X X
′ −2iπfn′ f̂N = arg max
qn,n′ y (n )e
′
f ∈[0,1[ N
n=0 n =0
16 / 40
Bornes de Cramer-Rao : problème dirigé
Résultat

 γf |h
avec

Γh|f
=
N0
1
4π 2 N 3 hH W2 h
=
2N0
−1
N W0
WK =
K
SH
N ∆N SN
(K
N +1)
et
∆N = diag([0, 1, · · · , N − 1])
Remarque :
Estimateur ML est asymptotiquement efficace
Philippe Ciblat
17 / 40
Preuve
F (f )
=
ln p(y|f )
=
d ln p(y|f )
df
=
+
E
Philippe Ciblat
"
d ln p(y|f ) df
d ln p(y|f )
df
=
y,f0
2 #
=
Ey
"
d ln p(y|f )
df
2 #
et p(y|f ) ∝ e
−
ky−DN (f )SN hk2
2N0
−1 H
H
(y − hH SH
N DN (f ) )(y − DN (f )SN h) + cte
2N0
−1
H
(2iπhH SH
N ∆N DN (f ) )(y − DN (f )SN h)
2N0
−1 H
H
(y − hH SH
N DN (f ) )(−2iπDN (f )∆N SN h)
2N0
−2iπ H H
h SN ∆N DN (f0 )H b − bH DN (f0 )∆N SN h
2N0
4π 2
H
H
2hH SH
N ∆N DN (f0 ) E[bb ]DN (f0 )∆N SN h
2
4N0
18 / 40
Bornes de Cramer-Rao : problème conjoint
Résultat


 γf

 Γh
=
N0
1
4π 2 N 3 hH (W2 −W1 W−1 W1 )h
0
=
2N0
−1
N (W0
+
−1
H
W−1
0 W1 hh W1 W0
2hH (W2 −W1 W−1
W1 )h
0
)
Remarque :
Philippe Ciblat
Convergence de l’estimateur de la fréquence en 1/N 3
Convergence de l’estimateur du canal en 1/N
Estimateur ML asymptotiquement efficace
19 / 40
Bornes de Cramer-Rao asymptotiques (I)
Considérons
{sn }n une réalisation d’une séquence pseudo-aléatoire
stationnaire
rs (τ ) = E[sn+τ sn ] la fonction d’autocorrélation
Résultat fondamental
wK (k , l) =
1
N (K +1)
N−1
X
p.s.
nK sn−k sn−l →
n=0
E[sn−k sn−l ]
rs (k − l)
=
K +1
K +1
Esquisse de preuve :
Philippe Ciblat
wK (k , l) =
1
N−1
X
N (K +1)
n=0
|
{z
1/(K +1)
n
K
!
}
E[sn−k sn−l ] +
1
N (K +1)
|
N−1
X
nK εk ,l (n)
n=0
{z
p.s.
→0
}
20 / 40
Bornes de Cramer-Rao asymptotiques (II)
Considérons Rs = (rs (k − l))0≤k ,l≤L la matrice (Toeplitz) de
corrélation de taille (L + 1) × (L + 1) du processus {sn }n
Problème dirigé
γf |h =
3N0
1
4π 2 N 3 hH Rs h
et Γh|f =
2N0 −1
R
N s
Problème conjoint
γf =
3N0
1
2
3
H
π N h Rs h
et Γh =
2N0
N
3 hhH
R−1
+
s
2 h H Rs h
Remarque :
Perte de 6dB pour l’estimation de fréquence si le canal est inconnu
Philippe Ciblat
21 / 40
Simulations
Protocole :
Afin de maximiser les périodogrammes, on procède en deux étapes
1. une étape dite grossière réalisée à l’aide d’une TFD
2. une étape dite fine réalisée par le biais d’un algorithme du
gradient initialisé avec le résultat de l’étape grossière
Remarque :
La borne de Cramer-Rao ne fournit de l’information que sur la
seconde étape
Philippe Ciblat
22 / 40
EQM en fonction du RSB
Canal radio-mobile de norme 1
N = 32
MSE versus SNR / Variable of interest : Channel
MSE versus SNR / Variable of interest : Frequency Offset
20
0
Practical MSE : Frequency Offset (Joint Estimation)
Theoretical MSE : Frequency Offset (Joint Estimation)
Practical MSE : Frequency Offset (Channel known)
Theoretical MSE : Frequency Offset (Channel known)
Practical MSE : Channel (Joint Estimation)
Theoretical MSE : Channel (Joint Estimation)
Practical MSE : Channel (Frequency Offset known)
Theoretical MSE : Channel (Frequency Offset known)
10
−20
0
−10
(dB)
(dB)
−40
−60
−20
−30
−80
−40
−100
−50
−120
−20
−10
0
10
20
SNR (N=32, MC=200)
30
40
50
−60
−20
−10
0
f0
10
20
SNR (N=32, MC=200)
30
40
50
h
La CRB inexacte à faible RSB (phénomène de décrochement)
Philippe Ciblat
23 / 40
Taux d’Erreur Binaire
Philippe Ciblat
N = 50, Trame de longueur 500
Egaliseur de Wiener
BER versus SNR for Nt=50 and alpha=10
1
Perfect knowledge
White TS
BER
0.1
0.01
0.001
1e-04
0
2
4
6
8
SNR
10
12
14
16
24 / 40
Philippe Ciblat
Partie 3 : Estimation NDA
25 / 40
Rappel du modèle
y (n) = a(n)e2iπf0 n + b(n),
n = 0, . . . , N − 1
avec
y (n) le signal reçu
a(n) une amplitude (complexe) inconnue ou un bruit multiplicatif
b(n) un bruit blanc gaussien additif circulaire et stationnaire
Exemple : a(n) appartient à une modulation MDA-2/BPSK
Philippe Ciblat
6
4
4
4
2
2
2
0
−2
−4
−6
6
Harmonic with f0=0.1 and SNR=−10dB
6
0
−2
−4
0
10
20
30
40
50
60
sample index
70
80
RSB=−10dB
90
100
−6
0
−2
−4
0
10
20
30
40
50
60
sample index
70
80
90
100
RSB=0dB
−6
0
10
20
30
40
50
60
sample index
70
80
90
100
RSB=10dB
− idem avec la partie imaginaire
25 / 40
Définition de la circularité
Circularité (au sens strict)
Soit Z une variable aléatoire centrée à valeurs complexes
Z est dit circulaire au sens strict ssi
Z
et Zeiθ
ont la même densité de probabilité pour tout θ
Propriété :
E[Z
· · Z} |Z ·{z
· · Z}] = 0dès que p 6= q
| ·{z
p fois
q fois
Remarque : Z est
circulaire (jusqu’à l’ordre M − 1) , et de manière équivalente,
non-circulaire (à partir l’ordre M)
ssi
Philippe Ciblat
E[Z
· · Z} |Z ·{z
· · Z}] = 0 dès que p 6= q
| ·{z
p fois
et p + q < M
q fois
26 / 40
Signal non-circulaire
Remarque
Toute constellation usuelle admet une symétrie de rotation d’angle
2π/M ce qui implique une non-circularité à l’ordre M
Constellation
Taille M
MDA-P
2
MDP-P
P
MAQ-P
4
Hypothèses :
a(n) est non-circulaire à l’ordre M ⇔ E[a(n)M ] 6= 0
a(n) est gaussien ou pas
a(n) est coloré ou pas
Remarque : hypothèses réalistes en communications numériques
Philippe Ciblat
27 / 40
Signal non-circulaire au second ordre (I)
Comme ua (0) = E[a2 (n)] 6= 0, on a
z(n) = y 2 (n) = ua (0)e2iπ(2f0 )n + e(n)
où e(n) est un bruit additif non-gaussien et non-stationnaire
Remarques
Philippe Ciblat
Estimation de fréquence dans un bruit multiplicatif et additif
m
Estimation de fréquence dans un bruit additif non-standard
Périodogramme basé sur y 2 (n) au lieu de y (n)
Si a(n) est coloré, périodogramme non exhaustif
28 / 40
Signal non-circulaire au second ordre (II)
En posant ua (τ ) = E[a(n + τ )a(n)], on a
zτ (n) = y (n + τ )y (n) = ua (τ )e2iπf0 τ e2iπ(2f0 )n + eτ (n)
f̂N = arg max JN (f )
f
=
=
2
T
1 N−1
X
X
−2iπ(2f )n zτ (n)e
N
τ =−T
n=0
N−1
2
1 X
−2iπ(2f )n z(n)e
N
n=0
avec z(n) = [z−T (n), . . . , zT (n)]T
Remarque :
Philippe Ciblat
Périodogramme pour signal vectoriel
Estimateur de l’élévation au carré (étendu)
29 / 40
Signal non-circulaire aux ordres supérieurs
MDP-P (1983)
2
N−1
1 X
P
−2iπ(Pf )n E[a(n) ] 6= 0 ⇔ f̂N = arg max y (n)e
N
f
P
n=0
MAQ-P (2001 et 2004)
N−1
2
1 X
4
−2iπ(4f )n E[a(n) ] 6= 0 ⇔ f̂N = arg max y (n)e
N
f
4
n=0
⇒ L’estimateur de l’élévation à la puissance
Philippe Ciblat
30 / 40
Analyse asymptotique
Consistance
Normalité asymptotique (avec vitesse de convergence de 3)
Covariance asymptotique γ
ont été établies et calculées pour le problème suivant
N−1
2
1 X
f̂N = arg max JN (α) = z(n)e−2iπ(Mf )n N
f
n=0
avec z(n) = αe2iπ(Mf )n + e(n) et e(n) un processus centré
Remarque
Philippe Ciblat
Analyse valide pour les signaux non-circulaires (∀M)
Covariance asymptotique γ dépend des statistiques de e(n)
EQM =
γ
N3
31 / 40
Simulations
Philippe Ciblat
a(n) appartient à une MDA-2/BPSK
N = 100
Harmonic in multiplicative noise with f0=0.1, N=100 and SNR=−10dB
Harmonic in multiplicative noise with f0=0.1, N=100 and SNR=0dB
40
20
0
0.1
0.2
0.3
0.4 0.5 0.6
frequency index
0.7
0.8
0.9
20
10
0
1
25
FFT norm based on y
60
0
0
0.2
0.3
0.4 0.5 0.6
frequency index
0.7
0.8
0.9
200
100
0.1
0.2
0.3
0.4 0.5 0.6
frequency index
0.7
0.8
RSB=−10dB
0.9
10
5
0
1
0.2
0.3
0.4 0.5 0.6
frequency index
0.7
0.8
0.9
1
120
100
80
60
40
20
0
0.1
FFT norm based on y 2
FFT norm based on y 2
300
0
15
0
1
120
2
FFT norm based on y
0.1
20
400
0
30
FFT norm based on y
FFT norm based on y
80
0
0.1
0.2
0.3
0.4 0.5 0.6
frequency index
0.7
0.8
0.9
1
RSB=0dB
100
80
60
40
20
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4 0.5 0.6
frequency index
0.7
0.8
0.9
1
RSB=10dB
32 / 40
EQM en fonction du RSB
a(n) = sn + 0.75sn−1
sn blanc gaussien t.q. E[|sn |2 ] = 1 et E[sn2 ] = 0.75
N = 100
MSE versus SNR
−1
10
Theoretical MSE
Empirical MSE
−2
10
−3
10
−4
MSE
10
−5
10
−6
10
−7
10
−8
10
−5
0
5
10
15
SNR (N=100 ; rho=0.75 ; a=0.75)
20
25
Questions
Philippe Ciblat
EQM théorique inexacte à faible RSB
phénomène de décrochement
Sommes-nous loin de la CRB ?
33 / 40
Phénomène de décrochement
On s’intéresse à l’estimateur de l’élévation à la puisssance
N−1
2
1 X
1
M −2iπαn arg
max
f̂N =
y (n) e
M
α∈]−1/2,1/2] N
n=0
avec
y (n)M = ue2iπMf0 n + e(n)
Ce périodogramme est maximisé en deux étapes
une étape grossière détectant le pic
une étape fine raffinant l’estimation autour du pic
Remarque
A faible RSB et/ou quand le nombre d’échantillons est petit, l’étape
grossière peut échouer ⇒ phénomène de décrochement
Philippe Ciblat
34 / 40
Exemple
Philippe Ciblat
a(n) apparttient à une MDA-2/BPSK
RSB=−5dB
140
450
400
120
350
2
FFT norm based on y
FFT norm based on y
2
100
80
60
300
250
200
150
40
100
20
0
50
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
frequency index
0.7
0.8
0.9
1
Périodogramme avec N = 100
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
frequency index
0.7
0.8
0.9
1
Périodogramme avec N = 500
35 / 40
Erreur quadratique moyenne
EQM exacte
Si la fréquence recherchée est au centre de l’intervalle de recherche,
alors
p
EQM =
+ (1 − p)EQMs.d.
12
où
p est la probabilité que l’étape grossière échoue
EQMs.d. est l’EQM classique (ne prenant pas en compte le
phénomène de décrochement)
Résultats
EQMs.d. disponible dans la littérature (cf. planches précédentes)
p disponible dans la littérature
Philippe Ciblat
a(n) constant (1974)
a(n) blanc et appartient à une constellation usuelle (2006)
36 / 40
Simulations : EQM en fonction du RSB
Theoretical and Empirical MSE versus Eb/N0 (N=128 − QPSK/4QAM)
0
10
Empirical MSE
Theoretical MSE (w/o outliers)
Theoretical MSE (w. outliers)
−2
10
−2
10
−4
−4
10
MSE
MSE
10
−6
10
−8
10
−10
−10
10
10
−12
−2
−6
10
−8
10
10
Theoretical and Empirical MSE versus Eb/N0 (N=128 − 256QAM)
0
10
Empirical MSE
Theoretical MSE (w/o outliers)
−12
0
2
4
6
8
10
Eb/N0
12
14
16
MAQ-4 et N = 128
18
20
10
0
5
10
15
Eb/N0
20
25
30
MAQ-256 et N = 128
Analyse de seuil
Philippe Ciblat
Pour MAQ-4, RSBseuil = 6dB si N = 128
Pour MAQ-P (avec P > 4), palier pour p ⇒ pas de seuil
37 / 40
Simulations : EQM en fonction de N
Philippe Ciblat
0
Theoretical and Empirical MSE versus N (Eb/N0=5dB − QPSK/4QAM)
10
Empirical MSE
Theoretical MSE (w/o. outliers)
−2
10
−4
−4
10
MSE
MSE
Empirical MSE
Theoretical MSE (w/o. outliers)
−2
10
10
−6
10
−8
−6
10
−8
10
10
−10
−10
10
10
−12
10
Theoretical and Empirical MSE versus N (Eb/N0=20dB − 256QAM)
0
10
−12
50
100
150
200
250
N
300
350
400
450
MAQ-4 et Eb /N0 = 5dB
500
10
100
150
200
250
300
N
350
400
450
500
MAQ-256 et Eb /N0 = 20dB
Quand N augmente, p décroît (pas de palier)
N’importe quelle EQM est réalisable MAIS parfois avec N grand
38 / 40
Problèmes non traités
Philippe Ciblat
1. Conception de la séquence d’apprentissage ?
2. Sommes-nous loin de la CRB ?
3. Comment calculer la CRB dans un contexte autodidacte
4. Décrochement : est-ce intrinsèque au problème ou juste à
l’estimateur de l’élévation à la puissance ?
5. Extension à l’OFDM
Méthode supervisée : démarche identique
Méthode autodidacte : sous-porteuses nulles (détecteur d’énergie,
méthode sous-espace), égalisation entre porteuses,
non-circularité, ...
39 / 40
Bibliographie
Philippe Ciblat
E. Hannan, "The estimation of frequency", Journal of Applied Probability, 1973.
D. Rife et R. Boorstyn, "Single-tone parameter estimation from discrete-time
observations", IEEE Trans. on Information Theory, Septembre 1974.
A. Viterbi, "Non-linear estimation of PSK-modulated carrier phase with application
to burst digital transmissions", IEEE Trans. on Information Theory, Juillet 1983.
U. Mengali et A. d’Andrea, "Synchronisation techniques for digital receivers",
Plenum Press, 1997.
H. Meyr et al., " Digital communications receivers", Wiley, 1998.
M. Ghogho, A. Swami et A. Nandi, "Non-linear least squares estimation for
harmonics in multiplicative and additive noise", Signal Processing, Octobre 1999.
M. Morelli et U. Mengali, "Carrier frequency estimation for transmissions over
selective channels", IEEE Trans. on Communications, Septembre 2000.
P. Ciblat et al., "Asymptotic analysis of blind cyclic correlation based symbol rate
estimation", IEEE Trans. on Information Theory, Juillet 2002.
N. Noels et al., "Turbosynchronization : an EM algorithm interpretation", IEEE
International Conf. on Communications (ICC), 2003.
Y. Wang et al., "Optimal blind carrier recovery for M-PSK burst transmissions",
IEEE Trans. on Communications, Septembre 2003.
P. Ciblat et al., "Training Sequence Optimization for joint Channel and Frequency
Offset estimation", IEEE Trans. on Signal Processing, Août 2008.
40 / 40

Estimation de la fréquence

Transcription

Documents pareils

Le secret egyptien de Napoléon - Chapitre I

DUPONT-AIGNAN - Debout La France

Madame la Présidente, Le courrier que vous m`avez adressé au

Nicolas Dupont-Aignan - Association J`aime Le Bois

Régine Chopinot

Nicolas DUPONT-AIGNAN - Ligue des Conducteurs

Calendrier Sportif en année civile

INGREDIENTS ORIGINE CARACTERISTIQUES

plan de gravelines - Région Nord