QUELQUES PROPRIETES DES MESURES DE YOUNG 1

ANALELE ŞTIINŢIFICE ALE UNIVERSITĂŢII “AL.I.CUZA” IAŞI
Tomul XLVI, s.I a, Matematică, 2000, f.2.
QUELQUES PROPRIETES DES MESURES DE YOUNG
BY
LIVIU C. FLORESCU∗ et CHRISTIANE GODET-THOBIE∗∗
1. Introduction. Dans cet article, nous présentons de façon élémentaire quelques propriétés des mesures de Young. Après avoir défini dans la
section 2, une mesure de Young comme une mesure sur un espace produit
dont la projection sur le premier espace coı̈ncide avec la mesure de Lebesgue,
nous examinons des définitions utilisées déjà dans la littérature et donnons
quelques propriétés de ces mesures. Dans la section 3, nous étudions les
mesures de Young provenant d’applications et donnons un résultat caractérisant l’ensemble M de ces mesures dans l’ensemble Y des mesures de Young.
Dans la section 4, Y est muni de l’uniformité étroite et M de l’uniformité
de la convergence en mesure. Nous montrons que la trace de l’uniformité
étroite sur M est strictement plus fine que l’uniformité de la convergence
en mesure. Dans la section 5, nous donnons deux résultats de convergence
de suites de M relativement à la convergence étroite et à la convergence en
mesure. Ce qui nous permet de donner une nouvelle démonstration d’un
résultat de compacité de Prokhorov.
La bibliographie concernant les mesures de Young est importante, mais
n’est pas donnée dans cet article. On pourra se référer à celle qui est donnée
dans [10] et pour les applications, en particulier à l’optimisation, à [12].
2. Mesures de Young. Définitions. Dans cet article, nous considérons (Ω, A, µ) l’espace de mesure suivant: Ω est un borélien de Rp , A
est la famille des sous–ensembles Lebesgue–mesurables de Ω, µ la mesure de
Lebesgue sur A et µ(Ω) est finie. Nous noterons B = B(Rm ) la tribu des
sous-ensembles boréliens de Rm .
Les raisonnements suivants sont aussi utilisables dans le cas d’un espace de mesure abstraite.
394
LIVIU C. FLORESCU et CHRISTIANE GODET-THOBIE
2
2.1. Définition. Une mesure de Young sur Ω × Rm est une mesure
positive τ sur A ⊗ B, telle que
τ (A × Rm ) = µ(A), ∀A ∈ A.
On notera Y = Y(Ω, Rm ) l’espace des mesures de Young sur Ω × Rm .
Remarques.
• µ est la mesure image de τ par l’application de Ω × Rm dans Ω qui, à
(x, ξ), associe x.
• Il est facile de voir que l’on obtient le même ensemble Y de mesures
de Young sur Ω × Rm si on impose seulement: pour tout A ∈ B(Ω),
τ (A × Rm ) = µ(A), la complétion à A ⊗ B de τ définie sur B(Ω) ⊗ B
vérifiant alors, pour tout A ∈ A, τ (A × Rm ) = µ(A).
Diverses définitions de mesures de Young ont été données. Dans les
propositions suivantes, nous examinons leurs équivalences.
A toute mesure de Young τ ∈ Y, on peut associer une famille de probabilités sur Rm , soit (τx )x∈Ω telle que, pour tout C ∈ A ⊗ B, si Cx =
= {ξ ∈ Rm : (x, ξ) ∈ C}, l’application x 7→ τx (Cx ) est A-B([0, 1])-mesurable
et
Z
τ (C) =
τx (Cx )dµ(x).
Ω
0
(τx )x∈Ω est une désintégration de τ . Voir [7]. Si {τx : x ∈ Ω} est une autre
0
désintégration de τ alors, pour tout B ∈ B, τx (B) = τx (B), µ-p.p. En
identifiant ces deux familles, nous pouvons regarder une mesure de Young
comme une famille {τx : x ∈ Ω} des probabilités sur Rm telle que, pour
tout C ∈ A ⊗ B, l’application x 7→ τx (Cx ) soit mesurable (ce qui explique le
terme de mesure paramétrée donné à ces mesures [3]).
2.2. Théorème. Soient (Ω, A, µ) un espace de mesure positive, finie
et complète, P(Rm ) la famille de toutes les probabilités sur Rm munie de
la topologie étroite, B = B(Rm ) la tribu des boréliens sur Rm et τ une
application de Ω dans P(Rm ). Les propriétés suivantes sont équivalentes:
(i) τ est A-C-mesurable, où C désigne la tribu borélienne de P(Rm ) muni
de la topologie étroite.
(ii) pour tout B ∈ B, l’application gB de Ω dans [0, 1] : gB (x) = τx (B) est
A-B([0, 1])-mesurable,
(iii) pour tout C ∈ A⊗B, l’application fC de Ω dans [0, 1] : fC (x) = τx (Cx )
3
QUELQUES PROPRIETES DES MESURES DE YOUNG
395
est A-B([0, 1])-mesurable.
Démonstration.
(i) ⇒ (ii). Soit E = {B ∈ B : gB est A-B([0, 1])-mesurable}.
a) Pour tout D ensemble ouvert de Rm , χD est s.c.i. d’où l’application
F de P(Rm ) muni de la topologie étroite dans R+ : F (τ ) = τ (D) est s.c.i.
[5, Ch.9, no.5, Prop. 6]. Alors, pour tout α ∈ R, G = {ν ∈ P(Rm ) :
ν(D) > α} = F −1 (]α, +∞[) est étroitement ouvert et, puisque τ est A-Cmesurable, τ −1 (G) = {x ∈ Ω : gD (x) > α} ∈ A d’où il résulte que gD est
A-B([0, 1])-mesurable et par suite D ∈ E.
b) On montre facilement que E est une classe monotone, fermée pour
la réunion dénombrable et disjointe d’ensembles.
c) Pour chaque D ouvert et chaque F fermé dans Rm ,
gD∩F (x) = τx (D ∩ F ) = τx (D) − τx (D \ F ) = gD (x) − gD\F (x).
D’après a), D, D \ F ∈ E et gD∩F est A-B([0, 1])-mesurable d’où D ∩ F ∈ E.
d) De b) et c), il ressort que E contient la tribu engendrée par les
ouverts de Rm donc contient B, ce qui démontre (ii).
(ii) ⇒ (iii). Soit F = {C ∈ A × B : fC est A-B([0, 1])-mesurable}.
a) Pour tout A ∈ A, pour tout B ∈ B,
fA×B (x) = τx ((A×B)x ) =
τx (B), x ∈ A
= χA (x)·τx (B) = χA (x)·gB (x)
0,
x∈
/A
d’où il ressort que fA×B est A-B([0, 1])-mesurable et A × B ∈ F.
b) Pour toute suite (Cn )n∈N d’éléments de F disjoints
à deux, si
! deux
∞
∞
∞
∞
[
[
[
X
C=
Cn , Cx =
(Cn )x d’où fC (x) = τx
(Cn )x =
τx ((Cn )x ).
n=1
Alors fC =
∞
X
n=1
n=1
n=1
fCn est mesurable et donc C ∈ F.
n=1
c) Si R = {
n
[
(Ak × Bk ) : n ∈ N, (Ak × Bk ) ∩ (Al × Bl ) = ∅ si
k=1
k 6= l, Ak ∈ A et Bk ∈ B}, par a) et b), R est une algèbre ⊂ F.
396
LIVIU C. FLORESCU et CHRISTIANE GODET-THOBIE
d) Soit (Cn ) ⊂ F, une suite croissante, soit C =
∞
[
4
Cn ; alors
n=1
∞
[
fC (x) = τx
!
(Cn )x
n=1
= lim τx ((Cn )x ) = lim fCn (x).
n
n
Donc fC est A-B([0, 1])-mesurable et C ∈ F.
De la même manière, on montre que F est fermée pour la limite des
suites décroissantes.
Alors F est une classe monotone et, en raison de c), la σ-algèbre
engendrée par R, A ⊗ B ⊂ F. Par suite, pour tout C ∈ A ⊗ B, fC est
A-B([0, 1])-mesurable.
Z (iii) ⇒ (i). Pour tout B ∈ B, si C = Ω × B, fC (x) = τx (B) =
=
χB (ξ)dτx (ξ), par hypothèse, l’application x 7→ fC (x) est A-B([0, 1])Rm
mesurable.
Il s’ensuit que, pour
Z toute fonction f en escalier (par rapport à B) sur
m
R l’application x 7→
f (ξ)dτx (ξ) est A-B([0, 1])-mesurable.
Rm
Puisque, pour toute fonction f ∈ C b (Rm ) (l’espace des fonctions réelles,
continues et bornées sur Rm ), il existe une suite de fonctions en escalier
(fn )n∈N qui converge uniformément vers f , la suite (fn )n∈N est uniformément bornée et, d’ après le théorème de Lebesgue,
Z
Z
fn (ξ)dτx (ξ) −→
f (ξ)dτx (ξ), ∀x ∈ Ω.
Rm
Rm
Z
Alors l’application x 7→
f (ξ)dτx (ξ) est A-B([0, 1])-mesurable. Comme
Rm
m
la topologie étroite sur P(R ) est σ(P(Rm ), C b (Rm )), on obtient la mesurabilité de l’application τ : Ω → P(Rm ).
2.3. Remarques.
• Il est à remarquer que, pour toute probabilité ν ∈ P(Rm ), τ = µ ⊗ ν
est une mesure de Young dont la désintégration est τx = ν, pour tout
x ∈ Ω.
• Il résulte du théorème précédent que les mesures de Young sont des
applications A-C-mesurables de τ : Ω dans P(Rm ) muni de la topologie
étroite. Ce qui justifie la définition de BALDER [2].
5
QUELQUES PROPRIETES DES MESURES DE YOUNG
397
• Dans le théorème précédent, on peut remplacer (Ω, A, µ) par un espace de mesure σ–finie et complète et Rm par un espace souslinien
complètement régulier.
2.4. Théorème. Soit τ : Ω → P(Rm ). Les conditions suivantes sont
équivalents:
(i) τ est une mesure de Young.
(ii) Pour tout n ∈ N , il existe τn =
pn
X
νin χAni , où νin ∈ P(Rm ) et
i=1
{Ani : i = 1, ..., pn } est une A-partition de Ω, telle que, pour tout
x ∈ Ω, ((τn )x )n∈N converge étroitement vers τx .
(iii) Pour tout compact K de Ω, pour tout > 0, il existe L compact contenu
dans K tel que µ(K \ L) < et τ dL est continue.
Démonstration.
(i) ⇔ (ii). P(Rm ) muni de la topologie étroite est un espace polonnais
[5]; alors τ (Ω) ⊂ P(Rm ) est séparable et donc τ est mesurable de Ω dans
P(Rm ) si et seulement si il existe une suite de fonctions en escalier ( à valeurs
dans P(Rm )) qui converge étroitement vers τ .
(i) ⇒ (iii). Soit τ : Ω → P(Rm ) une application mesurable; P(Rm )
étant métrisable et séparable peut être plongé dans I N où I = [0, 1].
Soit φ l’application de plongement.
Pour tout n ∈ N , soit πn l’application nième -projection de I N dans I.
Alors, pour tout n ∈ N , l’application πn ◦ φ ◦ τ : Ω → I est réelle et
A-B([0, 1])-mesurable.
Donc, pour tout compact K de Ω, pour tout > 0, pour tout n ∈ N ,
il existe Ln ⊂ K compact tel que µ(K \ Ln ) < n et πn ◦ φ ◦ τ , restreint à
2
Ln , soit continue.
∞
∞
\
X
Soit L =
Ln , L est compact ⊂ K et µ(K \ L) ≤
µ(K \ Ln ) < n=1
n=1
et, pour tout n ∈ N , πn ◦ φ ◦ τ dL est continue, et par suite, φ ◦ τ dL est
continue et donc τ dL est continue.
(iii) ⇒ (i). Ω est un borélien de Rp donc, pour tout n ∈ N , il existe
1
Kn compact ⊂ Ω tel que µ(Ω\Kn ) < . On peut choisir la famille (Kn )n∈N
n
1
croissante. Par (iii), il existe Ln compact ⊂ Kn tel que µ(Kn \ Ln ) < et
n
τ , restreint à Ln , est continue; on peut aussi choisir la suite Ln croissante.
398
LIVIU C. FLORESCU et CHRISTIANE GODET-THOBIE
6
τ (x), x ∈ Ln ,
Alors τn est une
δ0 ,
x∈L
/ n.
∞
[
application A-C-mesurable et pour tout x ∈ L =
Ln , (τn )x → τx et
Soit τn : Ω → P(Rm ), τn (x) =
n=1
2
µ(Ω \ L) ≤ µ(Ω \ Ln ) < , pour tout n ∈ N .
n
Donc τn → τ et, par suite, τ est mesurable.
2.5. Corollaire. Soit τ une mesure de Young. Pour tout > 0, il
existe K un ensemble étroitement compact de P(Rm ) tel que
µ({x ∈ Ω : τx ∈
/ K }) < .
Démonstration. Pour tout >0, il existe K ⊂Ω tel que µ(Ω\K )< ;
2
alors il existe L compact ⊂ K tel que τ , restreinte à L est continue et
µ(K \ L ) < . Soit K = τ (L ); alors K est étroitement compact dans
2
P(Rm ) et {x ∈ Ω : τx ∈
/ K } ⊂ Ω \ L , d’où µ({x ∈ Ω : τx ∈
/ K } < .
3. Application et mesure de Young associée. Un cas particulier important des mesures de Young est celui des mesures associées à des
applications mesurables de Ω dans Rm . Si u est une application de Ω dans
Rm , A-B-mesurable, si fu : Ω → Ω × Rm : x → (x, u(x)), on notera τu la
mesure image de µ par l’application fu . On a donc
∀ A × B ∈ A ⊗ B, τu (A × B) = µ(fu−1 (A × B)) = µ(A ∩ u−1 (B))
et donc, pour tout A ∈ A, τu (A × Rm ) = µ(A) d’où la définition:
3.1. Définition. τu est dite mesure de Young associée à l’application
mesurable u.
On dira aussi que la mesure de Young τu provient d’une application.
Selon l’intégration par rapport à une mesure image, pour toute application ψ : Ω × Rm → R mesurable,
Z
Z
ψ(x, ξ)dτu (x, ξ) =
ψ(x, u(x))dµ(x).
Ω×Rm
Ω
7
QUELQUES PROPRIETES DES MESURES DE YOUNG
399
3.2. Remarques.
• L’application u 7→ τu est une injection de l’espace M des applications
mesurables dans Y (nous identifions les applications qui coı̈ncident
presque partout). Pour tout u ∈ M, la désintégration de τu est {δu(x) :
x ∈ Ω}, où δ. est la mesure de Dirac.
• L’ensemble de valeurs d’une mesure de Young, τ (Ω) = {τx , x ∈ Ω},
n’est pas en général un ensemble compact de P(Rm ). Si u : Ω →
Rm est une application mesurable et τu la mesure de Young associée,
(τu )x = δu(x) , pour tout x de Ω. Si τu (Ω) est un ensemble compact de
P(Rm ) alors, pour tout > 0 , il existe K ⊂ Rm compact tel que
δu(x) (Rm \ K ) < , pour tout x ∈ Ω. Alors, si on suppose que < 1,
il s’ensuit que u(Ω) ⊂ K et par suite que u est bornée sur Ω.
3.3. Proposition. Soit τ une mesure de Young et u ∈ M. Soit
Gu le graphe de u et G0u son complémentaire dans Ω × Rm . Une condition
nécessaire et suffisante pour que τ = τu est que τ (G0u ) = 0 ou, ce qui est
équivalent, τ (Gu ) = µ(Ω).
Démonstration.
(⇒). Si τ = τu , en utilisant l’application fu déjà définie, pour tout
C ∈ A ⊗ B(Rm ), τ (C) = τu (C) = µ(fu−1 (C)).
Soit G0u = {(x, ξ) ∈ Ω × Rm : u(x) 6= ξ}. Puisque u ∈ M, G0u ∈
A ⊗ B(Rm ), fu−1 (G0u ) = {x ∈ Ω : (x, u(x)) ∈ G0u } = ∅ donc τ (G0u ) = 0.
(⇐). Par hypothèse, τ (G0u ) = 0 et on doit montrer que, pour tout
−1
M ∈ A ⊗ B(Rm ), τ (M ) = τu (M ) c.a.d.
G0u
= µ(fu (M )). Or, (x, ξ) ∈ M \ m
−1
équivaut à x ∈ fu (M ) et ξ = u(x) d’où, pour tout M ∈ A ⊗ B(R ),
τ (M ) = τ (M \ G0u ) = τ ({(x, u(x)) : x ∈ fu−1 (M )}) = µ(fu−1 (M )) = τu (M ).
On a donc bien τ = τu .
3.4. Théorème. Soit τ une mesure de Young. τ provient d’une
application mesurable si et seulement si inf {τ (G0u ), u ∈ M} = 0 ou, ce qui
est équivalent, sup {τ (Gu ), u ∈ M} = µ(Ω).
Démonstration.
(⇐). Si τ provient d’une application mesurable v, en raison de la
proposition précédente, il est clair que inf {τ (G0u ), u ∈ M} = 0.
(⇒). Soit (τx )x∈Ω la désintégration de τ . Nous montrons par l’absurde
que, pour tout x ∈ Ω, il existe ξx ∈ Rm tel que τx ({ξx }) = supξ∈Rm τx ({ξ}).
Si supξ∈Rm τx ({ξ}) = 0, c’est évident.
Soit supξ∈Rm τx ({ξ})>0. Si le sup n’est pas atteint, pour tout y∈Rm ,
il existe z∈Rm tel que τx ({y})<τx ({z}). On peut donc définir une suite
400
LIVIU C. FLORESCU et CHRISTIANE GODET-THOBIE
8
(ξn )n∈N de Rm telle que la suite (τx ({ξn }))n∈N soit positive , strictement
∞
X
croissante et
τx ({ξn }) = τx ({ξ1 , ..., ξn , ...}) ≤ 1; ce qui est impossible.
n=1
Par hypothèse, inf{τ (G0u ); u ∈ M} = 0. Alors, il existe un ∈ M telle
que τ (G0un ) → 0 quand n → ∞.
Z
Z
0
0
τ (Gun ) =
τx ((Gun )x )dµ(x) =
τx (Rm \ {un (x)})dµ(x),
Ω
Ω
d’où, x 7→ τx (Rm \ {un (x)}) converge fortement vers 0 et il existe une soussuite (nk ) telle que x 7→ τx (Rm \ unk (x)) converge µ-p.p. vers 0. Ainsi,
x 7→ τx (unk (x)) converge µ-p.p. vers 1.
Puisque τx ({ξx }) = supξ∈Rm τx ({ξ}) ≥ τx ({unk (x)}), on a, pour tout
n ∈ N , τx ({ξx }) = 1, c’est-à-dire τx = δξx , µ-p.p. Soit alors u : Ω → Rm
définie par u(x) = ξx . τx ({unk (x)}) → 1, µ−p.p. On a donc
τx ({ξx }) = τx ({u(x)}) = 1 = lim τx (unk (x))
k
c’est-à-dire δu(x) = lim δnk (x).
k→∞
Alors, δu(x) ({unk (x)}) → 1 quand k → ∞ et il existe k0 tel que, pour
tout k ≥ k0 , unk (x) = u(x) ceci pour presque tout x.
unk converge donc µ-p.p. vers u et u est mesurable.
Il est clair alors que τu = τ . Ce qui termine le démonstration.
4. La topologie étroite sur Y. Une application Ψ : Ω × Rm → R
est une intégrande de Carathéodory si l’application (x, y) 7→ Ψ(x, y) est
A ⊗ B-mesurable et si, pour tout x ∈ Ω, l’ application y 7→ Ψ(x, y) est
continue.
Soit C thb (Ω×Rm ) l’ensemble des intégrandes bornées de Carathéodory
sur Ω × Rm .
Une application Ψ : Ω × Rm → R est une intégrande de Carathéodory
si et seulement si, pour tout y ∈ Rm , Ψ(·, y) est A-mesurable, et pour tout
x ∈ Ω, Ψ(x, ·) est continue [6, Lemma III.14].
Pour toute Ψ ∈ C thb (Ω × Rm ), soit IΨ : Y → R définie par
Z
IΨ (τ ) =
Ψ(x, ξ)dτ (x, ξ).
Ω×Rm
4.1. Définition. La topologie projective sur Y (notée T ) engendrée
par la famille des applications {IΨ : Ψ ∈ C thb (Ω×Rm )} est la topologie étroite
9
QUELQUES PROPRIETES DES MESURES DE YOUNG
401
sur Y; l’uniformité engendrée par la même famille (notée U) est l’uniformité
étroite sur Y.
4.2. Remarques.
• La topologie étroite sur Y est la topologie σ(Y(Ω, Rm ), C thb (Ω × Rm ))
• VALADIER [10, Th.3] a montré que cette topologie peut être aussi
engendrée par d’ autres familles d’applications. Par exemple, T est la
moins fine des topologies sur Y pour lesquelles les applications τ 7→
IχA h (τ ) sont continues, pour tout A ∈ A et pour tout h = gdRm , où g
est continue sur le compactifié d’Alexandroff de Rm . h est alors continu
sur Rm et admet une limite à l’infini. Donc, il existe f ∈ Co (Rm )
et α ∈ R tels que h = f + α. Alors, puisque µ(Ω) < +∞, τ est
la moins fine des topologies sur Y rendant continues les applications
τ 7→ IχA f (τ ), pour tout A ∈ A et pour tout f ∈ Co (Rm ). Ainsi,
si (un )n∈N est une suite d’applications mesurables, en considérant le
plongement de M dans Y qui à u, associe τu , (un )n∈N T -converge vers
τ dans Y si et seulement si pour tout A ∈ A, pour tout f ∈ Co (Rm ),
Z
χA (x)f (ξ)dτun (x, ξ) =
Ω×Rm
Z
Z Z
=
f (un (x))dµ(x) −→
f (ξ)dτx (ξ) dµ(x).
A
A
Rm
• En accord avec la remarque précédente, (un )n∈N est une suite de
Cauchy pourZ U si et seulement si, pour tout A ∈ A, pour tout
f ∈ Co (Rm ),
(f (un ) − f (up ))dµ −→ 0 quand n et p → +∞.
A
• M est dense dans (Y, T ) [10, Prop. 8].
• On peut montrer que, si (un )n∈N T -converge vers τ dans Y , alors
τ (G0u ) = sup lim sup µ(|un − u| ≥ a), ∀u ∈ M.
a>0
n
c((un ), u) = sup lim sup µ(|un − u| ≥ a) est une mesure pour le défaut
a>0
n
de la convergence en mesure; elle a été introduite dans [8].
4.3. Proposition. La trace sur M de la topologie T , soit T dM, est
identique à la topologie Tµ de la convergence en mesure sur M.
Démonstration. On sait que [10,Prop.1] si, pour toute suite (un )n∈N
convergente en mesure vers u dans M, τun converge vers τu dans Y. La
convergence Tµ pouvant être définie par un écart, on en déduit que, si i est
l’application identité de (M, Tµ ) dans (M, T dM ), i est continue.
402
LIVIU C. FLORESCU et CHRISTIANE GODET-THOBIE
10
Soit maintenant u ∈ M et (ui )i∈I une suite généralisée de M, convergente vers u dans (M, T dM).
Soit Ψ : Ψ(x, ξ) = min(1, kξ − u(x)k). Alors Ψ ∈ C thb (Ω × Rm ) et
Z
Z
Ψdτui −→
Ψdτu .
Ω× Rm
Z
Ω×Rm
Z
Z
Ψdτui → 0. Donc, si on
Ψdτu =
Ψ(x, u(x))dµ(x) = 0 d’où
Z
Z
choisit ∈]0, 1[, puisque
Ψdτui ≥
Ω×Rm
Ω
Ω×Rm
Ω×Rm
Ψdτui ,
{(x,ξ):kξ−u(x)k≥}
Z
Ψdτui ≥ · τui ({(x, ξ) : kξ − u(x)k≥}) = · µ({x : kui (x) − u(x)k≥}).
Ω×Rm
On a donc µ({x : kui (x) − u(x)k ≥ }) −→ 0 et la suite généralisée ui
converge en mesure vers u d’où i est continue de (M, T dM ) dans (M, Tµ ) et
T dM ≡ Tµ . (La démonstration est celle de [10] pour les suites généralisées).
4.4. Remarque. Il existe des suites de fonctions mesurables qui
convergent dans Y et qui ne convergent pas vers une fonction mesurable.
Un exemple classique est le suivant: Soit (rn )n∈N la suite de fonctions
de Rademacher, c’est-à-dire, pour tout n ∈ N, rn : [0, 1] → R définie par

2n−1

[−1 2k 2k + 1 


,
+1 , t ∈


2n
2n
k=0
rn (t) =
2n−1

[−1 2k + 1 2k + 2 


,

 −1 , t ∈
2n
2n
k=0
1
et soit τ = µ ⊗ (δ1 + δ−1 ) ∈ Y.
2
Nous montrons que rn → τ dans (Y, T ) en établissant que, pour tout
A ∈ A, pour tout f ∈ Co (R),
Z
Z Z
f (rn )dµ −
f (ξ)dτx (ξ) dµ(x) =
A
R
A
Z
1
= f (rn )dµ − µ(A)(f (1) + f (−1)) −→ 0.
2
A
11
QUELQUES PROPRIETES DES MESURES DE YOUNG
403
Soient f ∈ Co (R) et A ∈ A.
a) Pour tout > 0, il existe D = D ouvert de [0, 1], tel que A ⊂ D et
µ(D \ A) < . Alors,
Z
f (rn )dµ − µ(A) [f (1) + f (−1)] ≤
2
ZA
µ(D)
≤ f (rn )dµ −
[f (1) + f (−1)] +
2
D
Z
µ(D \ A)
f (rn )dµ + +
[f (1) + f (−1)] ≤
D\A
2
Z
3
µ(D)
≤ f (rn )dµ −
[f (1) + f (−1)] +
max(| f (1) |, | f (−1) |).
2
2
D
Alors, il suffit de démontrer la propriété pour les ouverts de [0,1].
b) Tout ouvert D de [0, 1] est une réunion d’intervalles ouverts Ik
disjoints,
Z
µ(D)
· (f (1) + f (−1)) =
f (rn )dµ −
2
D
∞ Z
X
µ(Ik )
f (rn )dµ −
(f (1) + f (−1)) .
=
2
Ik
k=1
Il suffit de démontrer la propriété pour les intervalles ouverts de [0, 1].
k k0
h h0
c) Soit A =]a, b[= no , no , pour tout n ≥ no , A = n , n où
2
2
2 2
h = k · 2n−no et h0 = k 0 · 2n−no
Z
f (rn )dµ =
]a,b[
0
hX
−1 Z
j=h
] 2ln
j
f ((−1) )dµ =
, l+1
2n [
0
hX
−1
j=h
1
f ((−1)j ) =
2n
k0 − k
b−a
h −h
= n+1 (f (1) + f (−1)) = no +1 (f (1) + f (−1)) =
(f (1) + f (−1))
2
2
2
0
si k et k’ sont de même parité.
Le cas où k et k 0 sont de parité différente se démontre de façon analogue. On obtient:
Z
1
b−a
·
(f
(1)
+
f
(−1))
f
(r
)dµ
−
≤ n · max(| f (1) |, | f (−1) |).
n
2
]a,b[
2
404
LIVIU C. FLORESCU et CHRISTIANE GODET-THOBIE
Donc
Z
f (rn )dµ −→
]a,b[
12
b−a
· (f (1) + f (−1)).
2
d) Si A =]a, b[⊂ [0, 1]; alors, pour tout n,
Z
f (rn )dµ −
]a,b[
b−a
· (f (1) + f (−1)) =
2
Z
Z
]a,
Z
[2n b]−1
] 2n ,b[
f (rn )dµ +
[2n a]+1 [2n b]−1
] 2n , 2n [
f (rn )dµ −
[2n a]+1
[
2n
f (rn )dµ+
b−a
(f (1) + f (−1))
2
d’où il ressort que
Z
f (rn )dµ −→
]a,b[
b−a
· (f (1) + f (−1))
2
ce qui termine la démonstration.
Nous comparons maintenant la structure uniforme étroite et la structure uniforme de la convergence en mesure sur M. Tout d’abord, nous
donnons un résultat auxiliaire.
4.5. Proposition. Soit M = M(Ω × Rm ) l’ensemble des mesures de
Radon bornées sur Ω×Rm . Soient F1 , F2 deux familles des fonctions réelles
définies sur Ω × Rm telle que F1 , F2 ⊂ L1 (λ), pour toute λ ∈ M. Soient
Ti (respectivement Ui ) la topologie (respectivement l’uniformité) engendrée
surZ M par la famille des applications {IΨ : Ψ ∈ Fi }, i = 1, 2, où IΨ (λ) =
Ψdλ, pour toute λ ∈ M.
=
Ω×Rm
Alors T1 = T2 si et seulement si U1 = U2 .
Démonstration. Il suffit de remarquer que les familles des applications linéaires {IΨ : Ψ ∈ Fi }, i = 1, 2, engendrent des topologies d’espaces
vectoriels topologiques, par rapport auxquelles la continuité coı̈ncide avec
l’uniforme continuité.
4.6. Corollaire.
(i) L’uniformité étroite U sur Y est engendrée par la famille des applications {IχA f : A ∈ A, f ∈ Co (Rm )}.
13
QUELQUES PROPRIETES DES MESURES DE YOUNG
405
(ii) La famille S = {UA,f, : A ∈ A, f ∈ Co (Rm ), > 0}, où
Z
UA,f, = (u, v) ∈ M × M : (f (u) − f (v))dµ < ,
A
est une sous-base d’entourages pour l’uniformité UdM induite sur M.
4.7. Proposition. La trace UdM sur M de l’uniformité étroite de
Y est strictement plus fine que l’uniformité Uµ de la convergence en mesure
sur M.
Démonstration. On notera dµ la distance de la convergence en
mesure suivante: dµ (u, v) = min(1, inf (α > 0 : µ({k u − v k≥ α}) < α)) et
Uδµ l’entourage {(u, v) ∈ M × M : dµ (u, v) < δ}.
Pour tout A ∈ A, pour toute f ∈ Co (Rm ), pour tout > 0, puisque f
est uniformément continue, il existe η > 0 tel que,
||y − z|| < η ⇒ |f (y) − f (z)| <
·
2µ(A)
}.
4 · kf k
µ
Si (u, v) ∈ Uδ , il existe α < δ tel que µ(k u − v k≥ α) < α < δ et
Z
(f (u) − f (v))dµ =
A
Z
Z
=
(f (u) − f (v))dµ +
(f (u) − f (v))dµ ≤
A∩(||u−v||≥α)
A∩(||u−v||<α)
Z
≤2||f ||µ(||u−v|| ≥ α)+
|f (u)−f (v)|dµ≤2kf kδ + <.
2
A∩(||u−v||<α)
Soit δ = min{1, η,
D’où, (u, v) ∈ UA,f, . Ce qui montre que UdM est plus fine que Uµ .
/ UdM .
Soient maintenant Ω = [0, 1] et m = 1; montrons que U µ1 ∈
2
Si U µ1 appartenait à UdM , il existerait f1 , ..., fp ∈ Co (R), A1 , ..., Ap ∈ A,
2
> 0 tels que
p
\
UAi ,fi , ⊂ U µ1 .
i=1
2
D’après l’exemple du 4.4., on aurait
Z
µ(Ai )
fi (rn )dµ −→
[fi (1) + fi (−1)]
2
Ai
406
d’où
LIVIU C. FLORESCU et CHRISTIANE GODET-THOBIE
Z
14
Z
fi (rn )dµ −
Ai
fi (rn+1 )dµ −→ 0, ∀i ≤ p
Ai
et il existerait no ∈ N tel que, pour tout i ≤ p,
Z
Z
fi (rno )dµ −
fi (rno +1 )dµ < .
Ai
Ai
1
Alors (rno , rno +1 ) appartiendrait à U µ1 et dµ (rno , rno +1 ) serait < . Ainsi,
2
2
1
1
il existerait α < : µ({|rno − rno +1 | ≥ α}) < α < . Ce qui est impossible
2
2
1
puisque µ({|rno − rno +1 | ≥ α}) = .
2
UdM est donc strictement plus fine que Uµ .
Remarque. Nous venons d’établir que la suite des fonctions de
Rademacher est une suite de Cauchy pour l’uniformité UdM , mais n’est
pas une suite de Cauchy pour l’uniformité Udµ .
5. Condition de Prokhorov et convergences.
5.1. Définition. Un sous-ensemble H ⊂ Y est dit satisfaire à la
condition de Prokhorov (ou H est dit tendu) si, pour tout > 0, il existe un
compact K ⊂ Rm tel que, pour tout τ ∈ H,
Z
m
τ (Ω × (R \ K )) =
τx (Rm \ K )dµ < .
Ω
Une suite (τn )n∈N de Y sera dite tendue si l’ensemble {τn : n ∈ N } est
tendu.
5.2. Remarque. Cette définition étend à l’espace Y des mesures de
Young la condition de Prokhorov habituelle sur l’espace des mesures bornées
puisque, pour Ω = {a} et µ = δa , alors Y s’identifie à P(Rm ), C thb (Ω × Rm )
à C b (Rm ) (l’espace des applications réelles continues et bornées sur Rm ), T
à la topologie étroite sur P(Rm ) et la condition de Prokhorov sur Y devient
la condition usuelle de Prokhorov sur P(Rm ).
5.3. Proposition. Un sous-ensemble H ⊂ M ⊂ Y est tendu si et
seulement si, pour tout > 0, il existe k > 0 tel que, pour tout u ∈ H,
µ({x : ||u(x)|| > k}) < .
15
QUELQUES PROPRIETES DES MESURES DE YOUNG
407
Démonstration. La démonstration est évidente en raison de la définition de la mesure de Young τu .
H est tendu si et seulement si, pour tout > 0, il existe un compact
K ⊂ Rm tel que, pour tout u ∈ H,
τu (Ω × (Rm \ K )) = µ(u−1 (Rm \ K )) < et cette condition est équivalente avec la condition de la proposition.
Nous pouvons maintenant démontrer deux théorèmes concernant la
convergence en mesure et la convergence étroite sur M.
5.4. Théorème. Soit (un )n∈N ⊂ M. La suite (un ) est convergente
dans (Y, T ) si et seulement si
(i) (un )n∈N est tendue
(ii) pour tout f ∈ Co (Rm ), (f (un )) est faiblement convergente dans L1 (Ω).
Démonstration.
• (⇒) Soit (un )n∈N une suite étroitement convergente vers τ ∈ Y. Pour
tout > 0, pour tout A ∈ A, pour tout f ∈ Co (Rm ), il existe no ∈ N tel
que, pour tout n ≥ no ,
f (y)dτx (y) dµ(x) < .
Z
Z Z
f (un )dµ −
A
A
Rm
Pour tout f ∈ Co (Rm ), soit uf : Ω → R : uf (x) =
Z
f (y)dτx (y); uf est
Rm
mesurable et bornée et donc uf ∈ L1 (Ω) et f (un ) converge faiblement vers
uf . Si la suite (un ) n’est pas tendue, il existe > 0 tel que, pour tout k > 0,
il existe nk ∈ N tel que µ(||unk || ≥ k) ≥ . La suite (nk )k∈N peut être prise
croissante. D’où, en renommant vk = unk , la suite vk est telle que, vk → τ
et, pour tout k ∈ N , µ(||vk || ≥ k) ≥ .
Choisissons po > 0 tel que τ (Ω × (||y|| ≤ po )) > µ(Ω) − et f : Rm →
4
[0, 1] continue telle que
Z f (y) = 1 si Z||y|| ≤ po et f (y) = 0 si ||y|| ≥ po + 1.
Alors f ∈ Co (Rm ) et
f (vk )dµ →
f dτ . Donc, il existe ko ≥ po + 1
Ω
tel que, pour tout k ≥ ko ,
Ω×Rm
Z
Z
f (vk )dµ −
Ω
f dτ < .
4
Ω×Rm
408
LIVIU C. FLORESCU et CHRISTIANE GODET-THOBIE
16
Alors, pour k ≥ ko , nous avons
− <
4
Z
Z
f (vk )dµ −
Ω
=
f dτ < µ(||vk || < po + 1) − µ(Ω) +
Ω×Rm
=
4
− µ(||vk || ≥ po + 1) ≤ − µ(||vk || ≥ k) < − ,
4
4
4
ce qui est impossible. La suite (un ) est donc tendue.
• (⇐) Soit (un ) une suite tendue de M telle que, pour tout f ∈ Co (Rm ),
(f (un )) est faiblement convergente dans L1 (Ω). Alors, pour tout f ∈ Cc (Rm )
(l’ensemble des fonctions réelles continues à support compact dans Rm ), il
1
existe uf ∈ L1 (Ω) tel que f (un ) Z→ uf faiblement
Z dans L (Ω). Si f ≥ 0
uf dµ, on a, pour tout
f (un )dµ →
alors, pour tout A ∈ A, puisque
A
A
Z
A ∈ A,
uf dµ ≥ 0, donc uf ≥ 0 µ p.p. En remplaçant uf par max(uf , 0),
A
nous avons alors l’implication: f ≥ 0 ⇒ uf ≥ 0. Pour tout x ∈ Ω, si
τx : Cc (Rm ) → R, est définie par τx (f ) = uf (x), τx est une forme linéaire et
positive, donc une mesure de Radon sur Rm . [5, Ch.3, no. 2, Th.4-1].
||·||1
Pour tout B ∈ B, il existe (fp ) ⊂ Cc (Rm ) tel que fp −→ χB . Alors,
pour tout x ∈ Ω,
τx (χB ) = lim τx (fp ) = lim ufp (x).
Et, l’application x 7→ τx (B) est mesurable, pour tout B ∈ B.
Pour que τ soit une mesure de Young, en raison du Théorème 2.2, il
reste à établir que τx (Rm ) = 1, pour tout x ∈ Ω.
Pour tout p ∈ N , soit gp ∈ Cc (Rm ) telle que |gp |≤1 et gp d({||y||≤p}) =1.
Alors gp → 1 simplement sur Rm et, pour tout x ∈ Ω, τx (gp ) =
= ugp (x) → τx (Rm ).
Comme la suite (un ) est tendue, pour tout > 0, il existe p0 tel que,
pour tout n ∈ N , µ({||un || > p0 ) < . Alors, pour tout A ∈ A, pour tout
2
n ∈ N , pour tout p ≥ p0 ,
Z
[gp (un ) − 1] dµ =
A
Z
=
[gp (un ) − 1] dµ ≤ 2µ({||un || > p}) < A∩({||un ||>p})
17
QUELQUES PROPRIETES DES MESURES DE YOUNG
409
Z
Z
Z
et, puisque, pour n≥no , gp (un )dµ − ugp dµ < , [ugp − 1]dµ ≤2,
A
A
A
pour tout p ≥ p0 , Zpour tout A Z∈ A. Comme ugp (x) → τx (Rm ) et 0≤ugp ≤1,
pour tout x ∈ Ω,
pour tout > 0,
τx (Rm )dµ. On a donc, pour tout A ∈ A,
ugp dµ →
A
A
Z
[τx (Rm ) − 1] dµ(x) ≤ 3,
A
d’où τx (Rm ) = 1 µ p.p. τ est donc une mesure de Young.
Pour tout f ∈ Co (Rm ), f (un ) converge faiblement vers uf , donc, pour
tout A ∈ A, pour tout f ∈ Co (Rm ),
Z
Z
f (un )dµ →
A
Z Z
Z
uf dµ =
A
τx (f )dµ(x) =
A
f dτx dµ(x),
Rm
A
et, par la Remarque 2 de 4.2, un → τ dans Y.
5.5 Remarques.
• Il ressort de la définition de U et de la Remarque 3 de 4.2 que (un ) est
une UdM -suite de Cauchy si et seulement si, pour tout f ∈ Co (Rm ),
la suite (f (un )) est faiblement convergente dans L1 (Ω).
• L’espace uniforme (Y, U) n’est pas complet comme le montre l’exemple
suivant:
Soit m = 1 et un : Ω → R définie par: un (x)
Z = n pour tout x ∈ Ω.
Pour tout f ∈ Co (R), pour tout A ∈ A,
(f (un ) − f (up ))dµ =
A
= (f (n) − f (p)) · µ(A) −→ 0 quand n et p → +∞. La suite (un ) est
donc de Cauchy pour U, mais ne converge pas dans (Y, U). C’est la
condition “être tendue” qui assure l’existence de la limite.
5.6. Théorème. Soit (un )n∈N ⊂ M. La suite (un ) est convergente
dans (M, Tµ ) (convergente en mesure) si et seulement si
(i) (un )n∈N est tendue
(ii) pour tout f ∈ Co (Rm ), (f (un )) est fortement convergente dans L1 (Ω).
Démonstration.
(⇒) Soit (un ) ⊂ M une suite convergente en mesure vers u. Alors,
d’après la Proposition 4.3, un → τu dans (Y, T ) et, en raison du Théorème
410
LIVIU C. FLORESCU et CHRISTIANE GODET-THOBIE
18
5.4, (un ) est tendue et, pour tout f ∈ Co (Rm ), (f (un )) est faiblement convergente dans L1 (Ω). Pour tout f ∈ Co (Rm ), f est uniformément continue;
donc, pour tout > 0, il existe δ > 0 tel que ||y −z|| < δ ⇒ |f (y)−f (z)| < .
On a donc, µ({|f (un ) − f (up )| ≥ }) ≤ µ({||un − up || ≥ δ}). La suite (un )
converge en mesure donc la suite (f (un )) est aussi convergente en mesure et
par le théorème de Vitali, converge fortement.
(⇐) Soit (un ) ⊂ M tendue et telle que, pour tout f ∈ Co (Rm ), (f (un ))
converge fortement dans L1 (Ω). Par Proposition 5.3, pour tout > 0, il
existe k > 0 tel que, pour tout n ∈ N , µ(||un || ≥ k) < . Soit, pour tout
4
i ≤ m, fi ∈ Co (Rm ) telle que, si yi est la i-coordonnée de y, fi d{||y||≤k} (y) =
= yi . Pour tout i ≤ m, fi (un ) converge fortement donc il existe n0 tel que,
pour tout i ≤ m, pour tous n et p ≥ n0 , ||f (un ) − f (up )||1 < . On a donc,
4
pour tout η > 0, pour tout i ≤ m, pour tous n et p ≥ n0 ,
Z
>
|fi (un ) − fi (up )|dµ ≥
4
Ω
Z
≥
|fi (un ) − fi (up )|dµ >
(|fi (un )−fi (up )|>η)∩(||un ||≤k)∩(||up ||≤k)
> η · µ [(|fi (un ) − fi (up )| > η) ∩ (||un || ≤ k) ∩ (||up || ≤ k)] .
et, par suite, pour tout i ≤ m,
µ(|fi (un ) − fi (up )| > η) ∩ (||un || ≤ k) ∩ (||up ≤ k) <
.
4η
En prenant ||y|| = supi≤m |yi |, il vient:
µ({||un − up || > η, ||un || ≤ k, ||up || ≤ k}) <
On a alors,
µ({||un − up || > η}) <
m
.
4η
m·
+
4η
2
ceci quel que soit > 0, d’où la suite (un ) est convergente en mesure.
Le Théorème 5.4 nous permet de donner une démonstration originale
du résultat suivant de compacité de Prokhorov. Notons que, dans [10, th.7]
et [11, prop. 10], ce résultat est démontré de façon différente.
5.7. Théorème. Soit H ⊂ M. H est relativement séquentiellement
compact dans (Y, T ) si et seulement si H est tendu.
19
QUELQUES PROPRIETES DES MESURES DE YOUNG
411
Démonstration.
(⇒) Soit H relativement séquentiellement compact dans (Y, T ). Si H
n’est pas tendu, il existe > 0 tel que, pour tout k > 0, µ(||u|| ≥ k) ≥ pour une infinité de u ∈ H. Alors, il existe une suite (un ) ⊂ H, telle que
µ(||un || ≥ n) ≥ (∗)
Soit (unk )k∈N une sous-suite de (un ) T –convergente. Par Théorème 4.4, la
suite (unk ) est tendue. Ce qui est en contradiction avec (∗).
(⇐) Soit H ⊂ M tendu. Nous montrons que toute suite (un ) de H
contient une sous-suite convergente dans (Y, T ). Soit {gp : p ∈ N } une
famille dense dans Co (Rm ). Pour tout k, (gk (un ))n∈N est une suite bornée
par ||gk ||; alors, la suite (gk (un ))n∈N est uniformément intégrable et donc,
pour tout k ∈ N , (gk (un ))n∈N admet une sous–suite faiblement convergente.
Alors, par extractions successives de sous-suites selon les valeurs de k, on
peut extraire une sous-suite (unh )h∈N de la suite (un ) telle que, pour tout
p de N, la suite (gp (unh ))h∈N est faiblement convergente.
En utilisant la densité de (gp )p∈N dans Co (Rm ), on montre que, pour
tout f ∈ Co (Rm ), pour tout A ∈ A, pour tout > 0, il existe n ∈ N , il
1
existe pn ∈ N : ||f − gpn || < < . (gpn (unh ))h∈N est une suite de Cauchy
n
faible, donc, il existe h0 ∈ N tel que pour tous h et q ≥ h0 ,
Z
gpn (unh ) − gpn (unq ) dµ < .
A
Alors, pour tous h et q ≥ h0 ,
Z
Z
f (unh ) − f (unq ) dµ ≤ [f (unh ) − gpn (unh )] dµ +
A
A
Z
Z
+ gpn (unh ) − gpn (unq ) dµ + gpn (unq ) − f (unq ) dµ ≤
A
A
≤ 2 · ||f − gpn ||µ(Ω) + < (1 + 2µ(Ω)).
(f (unh ))h∈N est donc faiblement convergente dans L1 (Ω), pour tout f ∈
Co (Rm ) et par le Théorème 5.4, la suite (unh )h∈N est convergente dans
(Y, T ). Ce qui termine la démonstration.
412
LIVIU C. FLORESCU et CHRISTIANE GODET-THOBIE
20
BIBLIOGRAPHIE
1. BALDER, E.J. – On Prohorov’s theorem for transition probabilities, Sém. Anal.
Convexe 19 (1989), 9.1-9.11.
2. BALDER, E.J. – On equivalence of strong and weak convergence in L1 –spaces under
extreme point conditions, Israel J. Math., 75 (1991), 21–47.
3. BERLIOCCHI, H. and LASRY, J.M. – Intégrandes normales et mesures paramétrées en calcul des variations, Bull. Soc. Math. France 101 (1973), 129–184.
4. BILLINGSLEY, P. – Convergence of Probability Measures, John Wiley & Sons, Inc.,
New–York. London. Sydney. Toronto, 1968.
5. BOURBAKI, N. – Intégration, Livre VI, Hermann, Paris, 1969.
6. CASTAING, C., VALADIER, M. – Convex Analysis and Measurable Multifunctions,
Lecture Notes in Math. 589, Springer–Verlag, Berlin, 1977.
7. EDGAR, G.A. – Disintegration of measures and the vector-valued Radon-Nikodym
theorem, Duke Math. J. 42 (1975), 447–450.
8. FLORESCU, L.C. – Probabilistic convergence structures, Aeq. Math. 38 (1989),
123–145.
9. PICCININI, L. and VALADIER, M. – Uniform integrability and Young measures,
J. Math. Anal. Appl., 195 (1995), 428–439.
10. VALADIER, M. – A course on Young measures, Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste,
XXVI (1994), Supplemento, 349–394.
11. VALADIER, M. - Young measures, Lecture Notes in Math. 1446, Springer–Verlag,
Berlin, 1990.
12. PEDREGAL, P. - Optimization, Relaxation and Young measures, Bull. of A.M.S.,
vol. 36, no. 1 (1999), p. 27-58.
Received: 30.V.2000
∗
Université “Al.I.Cuza”
Faculté de Mathématiques
11, Blvd. Carol I, R–66oo Iaşi
ROMANIA
e-mail: [email protected]
∗∗
Université de Bretagne Occidentale
Département de Mathématiques
6 Av. Victor Le Gorgeu, 29285 Brest
FRANCE
e-mail: [email protected]