Cours 12

COURS 12
Version du 17 octobre 2016.
2.8. Idéaux et localisation, SUITE. La dernière fois, nous avons
défini contraction et extension par rapport à un morphisme quelconque.
Nous regardons maintenant le morphisme i : A Ñ S ´1 A. Pour un idéal
I de A, on a l’extension I e “ xIy, idéal de S ´1 A, et pour un idéal J de
S ´1 , on a sa contraction J c “ i´1 pJq.
On peut être un peu plus explicite à propos de contraction et d’extension dans ce cas.
Lemme 2.8.1. Si J est un idéal de S ´1 A, alors J c consiste de tous
les éléments a P A tel qu’il y a un s P S avec a{s P J. (En bref :
contraction, c’est prendre les numérateurs.)
Démonstration. Si a{s P J, alors a{1 “ spa{sq P J. Et ipaq “ a{1.
Donc a P J c . Pour l’implication réciproque, si a P J c , alors a{1 P J.
(Soulignons que nous ne supposons pas que a{1 “ b{1 implique que
a “ b, ce qui n’est pas correct si S contient des diviseurs de zéro.) Lemme 2.8.2. Soit I un idéal de A. Alors I e “ S ´1 I ; plus explicitement, I e est constitué des éléments a{s avec a P I et s P S. En bref :
extension, c’est ajouter des dénominateurs.
Démonstration. C’est évident que les éléments a{s appartiennent à I e .
Pour l’autre inclusion, il faut seulement remarquer que l’ensemble des
éléments a{s avec a P I, s P S est vraiment un idéal.
Corollaire 2.8.1. Tout idéal dans S ´1 A est étendu.
Démonstration. Soit J un idéal de S ´1 A. Alors J ce va être tout J, et
donc J est l’extension de J c .
Exemple : A “ Z, S “ t1, 3, 9, . . .u. Mettons J “ x7{3y. La contraction de J est x7y, et son extension est x7y “ x7{3y.
Lemme 2.8.3. Pour I un idéal de A, I ec est constitué de tous les
éléments de A qui sont envoyés dans I par multiplication par un élément
de S. En bref : extension puis contraction c’est !diviser par S ".
Continuant notre exemple, x21yec est x7y.
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Démonstration. x P I ec ssi x{1 P S ´1 I ssi il existe a P I, s P S avec
x{1 “ a{s ssi il existe a, s, t tel que tpsx ´ aq “ 0 ssi il existe a, s, t tel
que tsx “ ta ssi il existe u tel que ux P I (À la dernière étape, pour ñ
prenez u “ st. Pour ð, prenez s “ u, t “ 1, a “ ux.)
Lemme 2.8.4. Si I est un idéal dans A, I e “ x1{1y ssi I intersecte S.
Démonstration. I e “ x1{1y “ S ´1 A implique que I ec “ A. Réciproquement, si I ec “ A, alors on avait 1 parmi les numérateurs de I e , et
alors I e “ S ´1 A. Donc pour savoir si I e “ S ´1 A, il suffit de poser
la question si I ec “ A, ce qui est équivalent à demander si 1 P I ec .
Par Lemme 2.8.3, cela revient à la question s’il existe un élément de
S qui envoie 1 dans I, mais c’est exactement la question si I a une
intersection non vide avec S.
Proposition 2.8.1. Les idéaux premiers de S ´1 A correspondent bijectivement aux idéaux premiers de A qui n’intersectent pas S.
Démonstration. Proposition 2.8.1 nous dit qu’extension et contraction
sont des bijections inverses entre les idéaux contractés de A et les idéaux
étendus de S ´1 A, mais nous avons déjà vu que tout idéal de S ´1 A est
étendu. Donc on a des bijections entre les idéaux contractés de A et les
idéaux de S ´1 A.
Si J est premier dans S ´1 A, alors J c est premier dans A. Si I est un
idéal propre et a une intersection non vide avec S, alors I e “ p1{1q, et
I est certainement pas contracté. Si I est premier dans A et n’a pas
d’intersection avec S, alors I e “ S ´1 I. A{I est intègre, et S ´1 A{S ´1 I –
S ´1 pA{Iq. S ´1 pA{Iq, c’est la même chose qu’inverser l’image de S dans
A{I (si on a s P S dans le dénominateur, cela a le même effet que s,
son image dans A{I). Donc c’est encore intègre, et S ´1 I est encore
premier. Par Lemme 2.8.3, la contraction de S ´1 I c’est l’ensemble de
tous les éléments de A qui sont envoyés dans I par une multiplication
par s P S. Mais vu que I est premier, et S X I “ H, seulement les
éléments de I vont être envoyés dans I par multiplication par S. Donc
I est contracté.
Exemple : A “ Z, S les puissances de 3. Le seul idéal premier de
Z qui intersecte S est x3y ; les autres correspondent à des idéaux de
S ´1 A.
Soulignons que l’on aurait pu espérer que le même énoncé soit vrai
avec ! idéaux premiers " remplacés par ! idéaux propres ". C’est faux.
Si je prends S “ t3i u dans Z, l’idéal x21y et l’idéal x7y ont la même
extension, x7{1y dans S ´1 Z. La contraction de cet idéal est x7y. Donc
il y a une bijection entre les idéaux premiers, mais il y a des idéaux
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additionnels, non contractés, de Z, qui ont la même extension qu’un
certain idéal contracté.
On peut constater que, pour P premier, les idéaux premiers de A{P
sont les idéaux de A qui contiennent P , tandis que les idéaux premiers
de AP sont les idéaux premiers de A qui sont contenus dans P .