† 15. Le gardien d`un phare (A) doit rejoindre le plus rapidement

† 15. Le gardien d'un phare (A) doit rejoindre le plus rapidement possible sa maison côtière (B). Il se déplace en
canot à la vitesse de 4 km/h et à pied à la vitesse de 5 km/h. Où doit-il accoster (P) pour que le temps de
parcours soit minimal ? La côte est supposée rectiligne.
Soit t1 , le temps mis en canot et t2 le temps mis à pied.
Soit x la distance parcourue en canot et y la distance parcourue à pied.
On voit que x2 = 92 + H15 - yL2
x2 - 81
15 - y =
(0 § y § 15L
y = 15 - x2 - 81
Sachant que e = v . t, on a alors
t1 = x
4
et
y
t2 =
5
y
15- x2 -81
Le temps de parcours est f HxL = t1 + t2 = x + = x +
= x +34
x
f ' HxL = 1 4
5
x2 -81
x
x2 -81 -4 x
5
20
x2 -81
f HxL
=
5
20
ç
4
5
x2 -81
9
-9
+
5
x2 -81 -4 x
ì
15
-
0
+
é 87 ç
20
Le temps minimum est obtenu pour x = 15 et y = 15 Le gardien doit donc accoster à 3 km de sa maison.
225 - 81 = 3
4
x2 -81
5