4.8 À la découverte d`Euler

4.8 À la découverte d’Euler
Lors de Show Math, les élèves verront qu’il peut exister des relations
surprenantes et inattendues dans la nature. Dans cette activité, ils
pourront découvrir une propriété qui lie tous les triangles : la droite
d’Euler. Cette droite, qui est déterminée par trois points significatifs
du triangle, a été découverte par Leonhard Euler.
Trois versions de l’activité sont mises à votre disposition pour que
les élèves puissent travailler sur des triangles différents. La première
page est la même pour toutes les versions.
Cette activité développe la compétence 2, notamment la composante « émettre une conjecture ». C’est en effet par l’observation de
ce qu’il aura produit que l’élève pourra remarquer certaines propriétés et les énoncer.
Intentions de l’activité
• Pratiquer et approfondir la géométrie analytique de la droite
• Découvrir une nouvelle relation dans le triangle
• Trouver l’orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle
circonscrit d’un triangle
Forme de la production attendue
• Questions, réponses et justifications
• Conjecture et preuve
Concepts utilisés
• Triangle
• Droite d’Euler
• Orthocentre (intersection des hauteurs)
• Centre de gravité (intersection des médianes)
• Centre du cercle circonscrit (intersection des médiatrices)
• Points colinéaires
• Rapport de longueurs de segments
Ressources matérielles
• Une feuille « Cahier de l’élève – À la découverte d’Euler » version 1,
2 ou 3 pour chaque élève (la même version dans une même équipe
de trois élèves)
• Le solutionnaire détaillé pour les trois points est disponible sur le
CD sous le nom de « 4.9_decouverte_euler_solutionnaire.pdf »
Présentation | 4.8 À la découverte d’Euler
Déroulement
Préparation
• Indiquer aux élèves qu’ils auront à travailler avec des triangles différents pour arriver à une même conclusion.
• Réactiver les connaissances des élèves sur les triangles et les lignes
remarquables. Qu’est-ce qu’une médiatrice, une médiane et une
hauteur ? Quelles sont leurs caractéristiques ?
• Rappeler comment effectuer des calculs avec des fractions sans
mettre les nombres sous la forme décimale.
Réalisation
• Comme cette activité est un défi pour les élèves, on peut les inviter
à s’entraider.
• S’assurer qu’ils comprennent ce que sont l’orthocentre, le centre de
gravité et le centre du cercle circonscrit d’un triangle.
• Avant de commencer à émettre des conjectures, les élèves doivent
faire vérifier leur travail afin de s’assurer qu’ils ne travaillent pas sur
des données erronées.
• Vérifier que les élèves travaillent à émettre des conjectures qui
sont réalistes.
• Les preuves demandées pour les cas précis des triangles des trois
versions sont des vérifications numériques.
Intégration
• Vérifier que les élèves comprennent que cette propriété est vraie
pour tous les triangles. La preuve pour un triangle quelconque étant
un peu longue à développer, nous conseillons d’utiliser le fichier
Cabri-Géomètre II ou GeoGebra en annexe afin que les élèves puissent manipuler les sommets d’un triangle.
Annexes
• Annexe 1 (Disponible sur le CD) : Fichier Cabri-Géomètre II qui contient un
triangle avec son orthocentre, son centre de gravité et le centre du cercle
circonscrit
• Annexe 2 (Disponible sur le CD) : Fichier Cabri-Géomètre II qui contient un
triangle avec son orthocentre, son centre de gravité et le centre du cercle
circonscrit ainsi que les équations des différentes droites
• Annexe 3 (Disponible sur le CD) : Fichier GeoGebra qui contient le triangle
de la version 1 avec son orthocentre, son centre de gravité et le centre du
cercle circonscrit
• Annexe 4 (Disponible sur le CD) : Fichier GeoGebra qui contient le triangle
de la version 2 avec son orthocentre, son centre de gravité et le centre du
cercle circonscrit
• Annexe 5 (Disponible sur le CD) : Fichier GeoGebra qui contient le triangle
de la version 3 avec son orthocentre, son centre de gravité et le centre du
cercle circonscrit
Présentation | 4.8 À la découverte d’Euler
Pistes de différenciation
• Les élèves pourraient trouver
les trois points en devoir. Des
temps différents pourraient
être alloués selon l’habileté des
élèves.
• Demander aux élèves de trou­ver
pour quel type de triangle les
trois points seront confondus.
• Utiliser
le
fichier
CabriGéomètre II ou GeoGebra en
annexe pour manipuler un
triangle et la droite d’Euler.
Nom : _________________________________________________________
4.8 À la découverte d’Euler
Tu connais certaines propriétés des
triangles, mais tu seras peut-être
éton­né d’apprendre ce qu’Euler a découvert sur eux il y un peu moins de
300 ans. Il est possible d’observer cela
sur n’importe quel triangle, peu importe
sa forme ou ses dimensions. Voyons si
tu peux le découvrir toi-même.
Les triangles sont des objets mathématiques fascinants. On pourrait
être porté à croire qu’ils sont fort simples : après tout, ils ne sont formés que de trois segments. Cependant, lorsque nous les observons
attentivement, nous pouvons être très surpris de leur complexité et
de la beauté de certaines relations qui les caractérisent. Dans cette
activité, nous vous proposons de redécouvrir cette figure géométrique moins connue qu’on ne le croit.
Dans le cadre du 300e anniversaire de naissance du grand mathématicien Euler, le conseil de la ville qui l’a vu naître, Bâle en Suisse,
a décidé de construire un parc en son honneur. Ce parc aura une
forme triangulaire et trois statues seront construites sur le terrain.
L’une d’elles sera érigée en l’honneur de Jean Bernoulli, mathématicien qui enseigna à Euler, une autre en l’honneur de Christian
Goldbach, un correspondant d’Euler et enfin, la dernière sera dédiée
à Euler. L’emplacement de ces trois statues sera bien précis : une au
centre de gravité du triangle (également appelé barycentre), une au
centre du cercle circonscrit au triangle et une à l’orthocentre.
Leonhard Paul Euler
Qu’est-ce que le centre de gravité ou barycentre d’un triangle ?
Qu’est-ce que l’orthocentre d’un triangle ?
Comment trouve-t-on le centre du cercle passant par les trois sommets
d’un triangle ?
Divisez le travail à faire entre les membres de votre équipe.
1.
Cahier de l’élève | 4.8 À la découverte d’Euler | 1
Version 1
Voici le plan du parc de la ville de Bâle.
Trouvez les coordonnées :
• du centre de gravité (barycentre) G
• du centre du cercle circonscrit T
• de l’orthocentre O
2.
8 y
C (-3,6)
Note historique
A (4,7)
7
Leonhard Euler (1707-1783) a
travaillé tout au long de sa vie
sur des sujets aussi variés que la
théorie des nombres, l’analyse,
le calcul différentiel, la géométrie, l’astronomie et la physique.
En géométrie, une relation porte
son nom.
6
5
4
La relation d’Euler
3
2
1
0
-4
-2
2
x
6
4
En géométrie, la relation appelée
« relation d’Euler » relie le nombre
de côtés, de sommets et de faces
d’un polyèdre convexe. Elle affirme que : étant donné un polyèdre
convexe, la somme du nombre de
sommets S et de faces F est toujours égale au nombre d’arêtes A
plus 2, c’est-à-dire :
F+S=A+2
-1
B (4,-1)
-2
Ensuite, formulez une ou plusieurs conjectures qui lient les trois points les
uns par rapport aux autres et prouvez-en au moins une.
Ce théorème s’applique aussi à
n’importe quel graphe du plan
dans le cas où l’on considère l’extérieur du graphe comme étant
une des face.
Est-ce que cette propriété est vraie pour tous les triangles ? (équilatéral,
obtusangle, rectangle, etc.)
3.
Cahier de l’élève | 4.8 À la découverte d’Euler | 3
Version 2
Voici le plan du parc de la ville de Bâle.
Trouvez les coordonnées :
• du centre de gravité (barycentre) G
• du centre du cercle circonscrit T
• de l’orthocentre O
2.
14
A (7,13)
13
Note historique
12
7
Leonhard Euler (1707-1783) a
travaillé tout au long de sa vie
sur des sujets aussi variés que la
théorie des nombres, l’analyse,
le calcul différentiel, la géométrie, l’astronomie et la physique.
En géométrie, une relation porte
son nom.
6
La relation d’Euler
11
10
9
8
B (-5,5)
5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
En géométrie, la relation appelée
« relation d’Euler » relie le nombre
de côtés, de sommets et de faces
d’un polyèdre convexe. Elle affirme que : étant donné un polyèdre
convexe, la somme du nombre de
sommets S et de faces F est toujours égale au nombre d’arêtes A
plus 2, c’est-à-dire :
F+S=A+2
-1
-2
C (4,-2)
-3
Ensuite, formulez une ou plusieurs conjectures qui lient les trois points les
uns par rapport aux autres et prouvez-en au moins une.
Ce théorème s’applique aussi à
n’importe quel graphe du plan
dans le cas où l’on considère l’extérieur du graphe comme étant
une des face.
Est-ce que cette propriété est vraie pour tous les triangles ? (équilatéral,
obtusangle, rectangle, etc.)
3.
Cahier de l’élève | 4.8 À la découverte d’Euler | 3
Version 3
Voici le plan du parc de la ville de Bâle.
Trouvez les coordonnées :
• du centre de gravité (barycentre) G
• du centre du cercle circonscrit T
• de l’orthocentre O
2.
5
A (-6,4)
B (7,4)
4
Note historique
3
-2
Leonhard Euler (1707-1783) a
travaillé tout au long de sa vie
sur des sujets aussi variés que la
théorie des nombres, l’analyse,
le calcul différentiel, la géométrie, l’astronomie et la physique.
En géométrie, une relation porte
son nom.
-3
La relation d’Euler
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
En géométrie, la relation appelée
« relation d’Euler » relie le nombre
de côtés, de sommets et de faces
d’un polyèdre convexe. Elle affirme que : étant donné un polyèdre
convexe, la somme du nombre de
sommets S et de faces F est toujours égale au nombre d’arêtes A
plus 2, c’est-à-dire :
-4
-5
-6
-7
-8
C (4,-8)
-9
F+S=A+2
-10
-11
-12
Ensuite, formulez une ou plusieurs conjectures qui lient les trois points les
uns par rapport aux autres et prouvez-en au moins une.
Ce théorème s’applique aussi à
n’importe quel graphe du plan
dans le cas où l’on considère l’extérieur du graphe comme étant
une des face.
Est-ce que cette propriété est vraie pour tous les triangles ? (équilatéral,
obtusangle, rectangle, etc.)
3.
Cahier de l’élève | 4.8 À la découverte d’Euler | 3
4.8 À la découverte d’Euler
Corrigé
1.
(Page 1)
Qu’est-ce que le centre de gravité ou barycentre d’un triangle ?
Le centre de gravité : l’intersection des médianes (noté G). Un triangle
tient en équilibre sur la pointe d’un crayon placé en son centre de gravité.
Qu’est-ce que l’orthocentre d’un triangle ?
L’orthocentre : l’intersection des hauteurs du triangle (noté O).
Comment trouve-t-on le centre du cercle passant par les trois sommets ?
Le centre du cercle circonscrit : l’intersection des médiatrices du triangle
(noté T).
8 y
Version 1
A (4,7)
7
2.
(Page 3)
Le centre du cercle circonscrit
T (1,3), le centre de gravité G (35,4)
et l’orthocentre O (3,6).
C (-3,6)
O (3,6)
6
5
On peut montrer que les trois
points sont alignés.
G (35,4)
4
Soit la droite TO, sa pente est :
�y0 6 - 3 3
=
=
�x0 3 - 1 2
3
T (1,3)
Son ordonnée à l’origine est :
2
3
3 = • 1 + b
2
6-3
=b
2
3
=b
2
Son équation est donc :
3
3
y= x+
2
2
Cette droite passe par le point G :
1
0
-4
-2
2
x
6
4
-1
B (4,-1)
-2
3 5 3
y = • +
2 3 2
y=
3 5
+
2 2
y=4
Les trois points sont alignés.
N.B. Il existe d’autres preuves valides démontrant que les trois points sont alignés.
Corrigé | 4.8 À la découverte d’Euler | 1
On peut montrer que les longueurs des segments joignant les points
sont dans le rapport 1 : 2.
T (1,3), G (35,4) et O (3,6)
On sait que la distance entre deux points peut être trouvée à l’aide de la
formule :
√       
2
x2 - x1 + y2 - y1
2
On cherche la distance entre T et G.
√      √  
5
3
2
-1
+ 4-3
2
2
3
=
2
+ 1
2
√ + 1
= √
4
9
=
13
9
=
√13

3
On cherche la distance entre G et O.
√      √   
3- 53
2
+ 6-4
2
4
3
=
2
+ 2
2
√  + 4
= √
=
16
9
52
9
=
√52

3
Le rapport de la distance entre TG et GO est bien de ½.
√13

3
√52

3
= √13 =
√52

√
1
4
=
1
2
NB : La preuve peut aussi se faire à l’aide de la formule du point de partage.
Est-ce que cette propriété est vraie pour tous les triangles ? (équilatéral,
obtusangle, rectangle, etc.)
3.
(Page 3)
Cette propriété est vraie pour tous les triangles. On peut utiliser le logiciel
Cabri Géomètre II ou GeoGebra avec le fichier joint pour expérimenter
différentes configurations de triangles.
2 | Corrigé | 4.8 À la découverte d’Euler
14
Version 2
A (7,13)
13
12
2.
(Page 3)
11
Le centre du cercle circonscrit T (3,6), le centre de gravité G (2,16)
3
et l’orthocentre O (0,4).
10
9
On peut montrer que les trois
points sont alignés.
8
7
Soit la droite TO, sa pente est :
�y0 6 - 4 2
=
=
�x0 3 - 0 3
6
B (-5,5)
T (3,6)
G (2,16
)
3
5
Son ordonnée à l’origine est :
2
4 = • 0 + b
3
4 O (0,4)
4=b
2
3
1
Son équation est donc :
y=
2
x+4
3
Cette droite passe par le point G :
2
y = • 2 + 4
3
4 12
y= +
3
3
y=
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-1
-2
C (4,-2)
-3
16
3
Les trois points sont alignés.
N.B. Il existe d’autres preuves valides démontrant que les trois points sont alignés.
Corrigé | 4.8 À la découverte d’Euler | 3
On peut montrer que les longueurs des segments joignant les points
sont dans le rapport 1 : 2.
T (3,6), G (2,16
) et O (0,4)
3
On sait que la distance entre deux points peut être trouvée à l’aide de la
formule :
√       
2
x2 - x1 + y2 - y1
2
On cherche la distance entre T et G.
√     
3-2
2
+
6-
16
3
2
=
√   
=
√ 
=
√
=
2
1
1+
+
2
3
2
4
9
13
9
√13

3
On cherche la distance entre G et O.
√     
2
2-0 +
16
3
-4
2
=
=
=
Le rapport de la distance entre TG et GO est bien de ½.
√13

3
√52

3
4 | Corrigé | 4.8 À la découverte d’Euler
= √13 =
√52

√
1
4
=
1
2
4
3
=
16
9
2
+ 2
+4
√
52
9
52
3
2
5
Version 3
A (-6,4)
B (7,4)
4
3
2.
(Page 3)
2
Le centre du cercle circonscrit
T ( 21 ,- 43 ), le centre de gravité G (35,0)
et l’orthocentre O (4,32).
-7
On peut montrer que les trois points
sont alignés.
Soit la droite TO, sa pente est :
�y0
=
�x0
3
2
(- 43 ) =
4-1
2
9
4
7
2
9
= 14
Son ordonnée à l’origine est :
y=ax+b
3 9
= • 4 + b
2 14
21 36
=
+b
14 14
15
=b
14
Son équation est donc :
y=
9
15
x14
14
O (4,32)
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
G (35,0)
4
5
6
7
8
9
10
T ( 21 ,-34 )
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
C (4,-8)
-9
-10
-11
-12
Cette droite passe par le point G :
9
5 15
y = • 14 3 14
15 15
y=
14 14
y=0
Les trois points sont alignés.
N.B. Il existe d’autres preuves valides démontrant que les trois points sont alignés.
Corrigé | 4.8 À la découverte d’Euler | 5
On peut montrer que les longueurs des segments joignant les points
sont dans le rapport 1 : 2.
T ( 21 ,- 43 ), G (53,0) et O (4,23).
On sait que la distance entre deux points peut être trouvée à l’aide de la
formule :
√       
2
x2 - x1 + y2 - y1
2
On cherche la distance entre T et G.
√     
1
2
- 53
2
+
3
4
-0
2
2
7
6
=
=
√ 
=
1108
576
+ -
3
4
2
49
9
36 + 16
1108
    ≈ 1,39
= √24
On cherche la distance entre G et O.
4-
5
3
2
+
3
2
-0
2
7
3
=
=
2
√  +
49
9
=
√ 
=
√277

+
3
2
2
9
4
277
36
6
≈ 2,77
Le rapport de la distance entre TG et GO est bien de ½.
√1108

24
√277

6
6 | Corrigé | 4.8 À la découverte d’Euler
=
√1108

4 • √277

1
= 4•
√1108
     = 1• 4 = 1 • 2 = 1
4 √ 
277
4
2