Éléctrostatique

1
Électrostatique
• Loi de Coulomb dans le vide
2 charges ponctuelles q1 et q2 placées dans le vide en des points M1 et M2 fixes et distants de r
−
→
1 q1 q2 −
→
exercent l’une sur l’autre des forces opposées telles que la force exercée par q1 sur q2 est égale à f1→2 =
u1→2 (avec
4πε0 r2
−−−−→
−
→
u
= M1 M2 ).
1→2
NB :
−−−−→
kM1 M2 k
1
= 9 · 109 USI, ε0 s’appelle permittivité du vide (en F·m−1 ).
4πε0
• Influence du milieu : loi de Coulomb dans un milieu On considère le cas où les charges ne sont plus dans le vide mais dans un
milieu (isolant ou diélectrique). On doit alors prendre en compte l’action des charges considérées à travers le vide inter-atomes, ainsi que
l’action de chaque charge considérée sur le milieu qui peut alors devenir polarisé. On se place dans l’hypothèse du milieu diélectrique
parfait (i.e. linéaire, homogène, isotrope, remplissant tout l’espace considéré).
−
→
ε
1 q1 q2 −
→
Alors la loi de Coulomb s’écrit f1→2 =
u1→2 où εr =
est la permittivité relative du milieu, définie par rapport à ε qui
4πεr r2
ε0
est la permittivité absolue du milieu.
Conséquences : 1) εr = 1, 0006 à 20˚C pour l’air : on peut considérer ce milieu comme étant le vide du point de vue de l’électrostatique.
2) εr = 80 pour l’eau à 20˚C : dans ce milieu, la force électrostatique est très affaiblie par rapport à l’air (d’un facteur 80). Ceci explique
que l’eau est un solvant dissociant : les ions peuvent s’y déplacer librement.
• Comparaison des forces électrostatique et gravitationnelle dans un atome Avec le modèle sommaire de l’atome d’hydrogène
(proton fixe de charge +e avec un électron de charge −e décrivant une trajectoire circulaire à r = 0, 053 nm fixe dans le vide), on a pour
−
→
−
→
la force de gravitation : k fp→e k ≃ 3, 6 · 10−47 N et pour la force de Coulomb k fp→e k ≃ 8, 2 · 10−8 N, donc la force gravitationnelle
est totalement négligeable par rapport à la force électrostatique au niveau atomique avec ce modèle.
• Champ électrostatique On définit le champ électrique créé dans le vide par une charge ponctuelle q0 placée en O comme le vecteur
−−→
−
→
−
→
q0 −
−
→
→
→
E (M ) =
u r = OM
u r (−
−−→ ). La force de Coulomb qui s’exerce sur la charge q placée en M s’écrit f (M ) = q E (M )
2
kOM k
4πε0 r
−
→
NB : 1) k E k est en V·m−1 . 2) Dans un milieu ε, on remplace bien sûr ε0 par ε = ε0 εr .
−
→
• Lignes de champ Une ligne de champ est une courbe qui est tangente en chacun de ses points au champ E . Les lignes de champ ont
−
→
−
→
dx
dy
dz
pour équation : ∃ k, E = k d l , soit
=
=
Ex
Ey
Ez
Les lignes de champ convergent vers les points où se situent des charges q < 0, et divergent vers les points où se situent des charges
q > 0, mais les lignes de champ électrique ne se referment pas sur elles-mêmes.
NB : Deux lignes de champ ne peuvent se couper en un point que si le champ y est nul. On parle de point de champ nul.
On appelle tube de champ un ensemble de lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé.
Calcul direct du champ électrostatique
• Symétrie des sources et conséquences Soit ρ une distribution de charges, qui dépend de trois coordonnées d’espace :
– Invariances en coordonnées cylindriques : ρ(r, θ, z) |{z}
= ρ(r, θ) |{z}
= ρ(r).
translation
rotation
– Invariances en coordonnées sphériques : ρ(r, θ, ϕ) = ρ(r) ∀ θ, ϕ.
• Symétrie du champ Un champ électrique possède les propriétés d’invariance de la distribution de charges qui lui donne naissance :
– Le champ en un point d’un plan de symétrie des charges est contenu dans ce plan.
– Le champ en un point d’un plan d’antisymétrie des charges est perpendiculaire à ce plan.
– Le champ en un point d’un axe de symétrie d’une distribution est colinéaire à cet axe.
−
→
→
– Le champ en symétrie cylindrique ou en symétrie sphérique est radial et ne dépend que de r : E (M ) = E(r)−
u
r
• Découpages usuels pour le calcul du champ électrostatique
– Circonférence chargée : dl = R dθ, dS = 2πr dr.
– Sphère chargée en surface : sphère de rayon R, on considère une couronne sphérique de largeur R dθ : dS = 2πrR dθ (avec
r = R sin θ).
Potentiel électrostatique
• circulation conservative du champ électrostatique
I
→
−
→ −
contour fermé C,
E.d l = 0
C
−
→
La circulation de tout champ électrostatique E est conservative : pour tout
2
• Potentiel électrostatique d’une distribution finie Pour une telle distribution finie, on peut toujours supposer que le potentiel est nul
à l’infini, donc que la constante est nulle :
q
– Potentiel d’une charge unique : V (r) =
4πε0 r
– Potentiel d’une distribution de charges :
Z
X
X qi
dq
(cas discret) ou V (r) =
(cas continu) avec dq = λ dl ou σ dS ou ρ dτ
V (r) =
Vi =
4πε
r
4πε
0 i
0r
sources
i
i
→
−
→−
B
• Relation champ-potentiel On a dC = E . dl = − dV et CA
=
Z
B
A
→
−
→−
−
→
−
→ V
E . dl = VA − VB , et la formulation locale E = −−
grad
−
→
Interprétation géométrique : le champ E est dirigé dans le sens des potentiels décroissants, il est normal aux surfaces équipotentielles
V = cte
• Équation de Poisson Le potentiel électrostatique satisfait l’équation de Poisson : ∆V +
ρ
=0
ε0
• Définition et discontinuité du champ en fonction des charges On considère une distribution de charges finie ou bornée :
−
→
– Distribution volumique : E et V sont définis et continus partout.
−
→
– Distribution surfacique : V est défini et continu partout, la composante normale de E est discontinue au passage de la surface :
−
→ −
→
−
→
σ→
∆E = E 2 − E 1 = −
n 1→2
ε0
−
→
– Distribution linéique : E et V sont non définis sur la distribution.
• Calcul du champ à partir du potentiel : symétries
−
→
dV −
→
– Symétrie axiale : si la distribution présente un axe de symétrie (ox), alors E et V ne dépendent que de x et l’on a E = −
ux
dx
– Symétrie radiale : si la distribution présente une symétrie cylindrique ou sphérique, E et V ne dépendent que de r et l’on a
−
→
dV −
→
E =−
ur
dr
Énergie potentielle
−
→
• Travail et caractère conservatif de la force électrostatique Une charge q placée en M dans un champ électrostatique E subit la
−
→
−
→
force électrostatique f = q E . Pour un déplacement élémentaire de q, le travail élémentaire de la force électrostatique vaut δW =
−
→−
→
→
−
→−
f . dl = q E . dl = −q dV , d’où pour un déplacement fini de A à B : WA→B = q(VA − VB )
Ce travail ne dépend pas du chemin suivi : la force électrostatique est conservative.
• Énergie potentielle d’une charge dans un champ électrostatique La force électrostatique étant conservative, le travail est égal à
−
→
−
→ Ep (cette
grad
la variation d’une fonction énergie potentielle Ep définie par Ep = qV D’où : WA→B = −∆EpA→B et f = −−
−
→
−
→ V ).
relation équivaut à E = −−
grad
Interprétation physique de Ep : lors du déplacement d’une charge q de l’infini (où il n’y a pas d’autre charge) en un point M , le travail
à fournir par l’opérateur Wop s’identifie à l’énergie potentielle de la charge en M . En effet, le travail fourni par l’opérateur est égal à
l’opposé du travail de la force électrostatique W−∞→M = q(V (−∞) − V (M )) = −qV (M ), d’où Wop = −(−qV (M )) = qV (M ) =
Ep(M ).
Par ailleurs, un déplacement spontané d’une charge q s’effectue dans le sens des énergies potentielles décroissantes jusqu’à une position
d’équilibre stable (Ep minimale).
• Énergie potentielle d’interaction de deux charges Dans une région vide de charges, un opérateur amène une charge qA de l’infini
en un point A. Il n’a à fournir aucun travail (vide de charges). Ensuite, l’opérateur amène de l’infini une charge qB au point B. Dans
qA
ce cas, il doit fournir le travail qB VA (B) où VA représente le potentiel électrostatique dû à la charge A, soit VA (M ) =
.
4πε0 rAM
qA
Ainsi le travail fourni par l’opérateur vaut Ep = qB
. On remarque que cette expression est symétrique en A et B, on l’écrit
4πε0 rAB
qA VB (A) + qB VA (B)
Ep =
(car qA VB (A) = qB VA (B)).
2
• Énergie potentielle d’interaction de n charges
En généralisant le point précédent, on obtient l’énergie potentielle d’interaction
X qj
1X
d’un système de n charges qi placées respectivement aux points Ai : Ep =
qi V (Ai ) où V (Ai ) =
avec rij = Ai Aj .
2 i
4πε0 rij
j6=i
3
Théorème de Gauss
Σ
où Σ est la surface d’intersection d’une sphère de centre R et de la portion
R2
4πR2
d’espace caractérisant l’angle solide. Son unité est le stéradian sr. L’angle solide de l’espace entier vaut donc Ω =
= 4π sr :
R2
Ωespace = 4π
• Angle solide Par définition, l’angle solide vaut Ω =
→
Soit une surface élémentaire dS centrée en un point M et orientée par −
n (normale sortante si la
−−→
OM
→
→
→
surface est fermée). On pose OM = r et −
u =
, et on appelle θ l’angle (−
u,−
n ). Par projection, dΣ = cos θ dS, d’où
r
→
→
dS cos θ
dS −
n .−
u
=
dΩ =
r2
r2
• Angle solide élémentaire
• Angle solide délimité par un cône Soit un cône d’angle au sommet α. Alors Ω = 2π(1 − cos α)
π
Cas particuliers : α ≪ 1 : Ω = πα2 ; α = : Ω = 2π (plan infini, i.e. demi-espace) ; α = π : Ω = 4π (espace entier).
2
• Flux d’un champ électrostatique Le flux élémentaire du champ électrostatique traversant une surface élémentaire dS centrée en M
ZZ
−
→ −
→
−
→
−
→ −
→
→
E.dS
vaut dφ = E (M ). d S = E (M ).−
n dS Le flux total traversant une surface S vaut donc φ =
S
• Flux du champ créé par une charge ponctuelle En appliquant ce qui précède pour une charge ponctuelle q placée en un point
−→
−→
→
−
→
u . dS
−
→
u . dS
q −
−
→
P : dφ =
avec
E
(M
)
=
E
u
.
Or
= dΩ angle solide élémentaire sous lequel P voit dS. Autrement dit :
4πε0 r2
r2
q
dφ =
dΩ i.e. le flux élémentaire “envoyé par la charge q à travers dS” est proportionnel à la charge et à l’angle solide sous
4πε0
lequel on voit dS.
q
Pour une surface finie S, on obtient en intégrant φ =
ΩS avec ΩS angle solide sous lequel P voit la surface S.
4πε0
• Théorème de Gauss
Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée est égal à la charge totale contenue dans le
Qint
volume délimité par cette surface divisée par ε0 : φ =
ε0
NB : Le théorème se démontre pour une charge ponctuelle en séparant les deux cas : la charge est à l’intérieur de la surface et la charge
est à l’extérieur de la surface, et en utilisant la notion d’angle solide.
• Conséquences du théorème de Gauss : conservativité du flux, extremum de potentiel
– Le champ est à flux conservatif : dans une région vide de charges, le flux se conserve à travers toute section d’un tube de champ.
Ainsi si la surface S du tube augmente, l’intensité E du champ électrostatique décroı̂t nécessairement de façon à avoir un flux φ = ES
constant.
– Le théorème de l’extremum de potentiel affirme que le potentiel électrostatique ne peut présenter un extremum en un point dépourvu
de charge.
Dipôle électrostatique
• Moment dipolaire Un dipôle électrostatique est un doublet de charges ponctuelles (A, −q), (B, +q) séparées par une distance l
petite par rapport aux longueurs r = OM où l’on cherche à en déterminer les effets : l = AB ≪ r = OM où O est le milieu de AB.
−
→
−
−
→
→
→
µ
Le moment dipolaire est défini par −
p = q AB = q l (toujours orienté de − vers + !). p est un C·m. NB : En chimie, on note plutôt −
−29
10
→
le vecteur −
p , et on utilise le Debye comme unité : 1 D ≈
C·m.
3
• Notations et objectifs pour l’étude du dipôle On veut déterminer le champ et le potentiel en un point M “à grande distance” (i.e.
−−
→
→
→
très supérieure aux dimensions du doublet) créés par un dipôle. Le doublet est porté par l’axe (Oz) (−
p = AB = pAB −
u z ) et le point
−−→
−
−
→
−
→
−
→
M est repéré par ses coordonnées polaires : OM = r u r , θ = ( u z , OM ). On peut remarquer utilement que le système présente une
symétrie de révolution autour de l’axe (Oz).
1 q
q −
(avec
4πε0 BM
AM
−
→
→
−
→
→
ql cos θ
p .−
ur
p .−
r
V (M ) → 0 si M → ∞). On trouve à l’ordre 1 en l/r en coordonnées polaires : V (r, θ) =
=
=
2
2
4πε0 r
4πε0 r
4πε0 r3
• Potentiel à grande distance créé par un dipôle Le potentiel créé en M par le doublet vaut V (M ) =
4
l2
l2
l
l
1
1
l
1
l
cos θ + 2 . Si ≪ 1, on en déduit
=
1 − cos θ + 2 ≃
1+
cos θ .
r
4r
r
BM r
r
4r
r
2r
1
1
l
1
l
−−→ −→
Comme cos(OM , OA) = cos(π − θ) = − cos θ, on en déduit par un calcul identique que
≃
1+
cos(π − θ) =
1−
cos θ . D’où
AM
r
2r
r
2r
q
l
V (M ) ≃
2
cos θ .
4πε0 r
2r
−−→ −−→ −
−
→
Démonstration : BM = OM − OB d’où BM 2 = r 2
1−
• Champ à grande distance créé par un dipôle
Le champ créé en M par le doublet vaut en coordonnées polaires
→
→
→
→
−
→
1 (3−
2p cos θ
p sin θ
p .−
r )−
r − r2 −
p
Er =
et Eθ =
De façon intrinsèque, on peut écrire E (M ) =
3
3
5
4πε0 r
4πε0 r
4πε0
r
−
→
−
→
p p
Eθ
tan θ
→
On a k E k =
3 cos2 θ + 1 et si l’on désigne par α l’angle (−
u r , E ), on a tan α =
=
3
4πε0 r
Er
2
1 ∂V
∂V
→
−
et Eθ = −
, d’où le résultat en intégrant le potentiel trouvé
Démonstration : Comme E dérive du potentiel V (r, θ), on a en coordonnées sphériques Er = −
∂r
r ∂θ
ci-dessus.
−
−
→
−
1 2p cos θ →
u r + p sin θ →
uθ
−
−
−
On peut donc écrire E =
. Or →
p = p cos θ →
u r − p sin θ →
u θ , d’où l’expression intrinsèque en réarrangeant.
3
4πε0
r
→
−
• Équipotentielles Par symétrie, les équipotentielles sont des surfaces de révolution autour de l’axe (Oz). Dans un plan (−
u r, →
u θ ) on
a comme équation r2 = K0 cos θ
• Lignes de champ Les lignes de champ sont données par les équations r = K sin2 θ (une ligne par valeur de K homogène à une
longueur).
r dθ
dr
r dθ
r
→
−
dr
→
−
=
d’où
=
et en intégrant : ln
= ln(sin2 θ).
Démonstration : E parallèle à d l s’écrit
Er
Eθ
2 cos θ
sin θ
K
• Action d’un champ extérieur uniforme C’est un cas usuel car la faible distance de l = AB permet de considérer que la dimension
−
→
du dipôle est faible devant l’ordre de grandeur des variations du champ électrique extérieur noté E 0 . L’action est caractérisée par un
−
→
−
→ → −
→
moment nul et une résultante non nul, donc un moment F = 0 Γ = −
p ∧E
0
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
→ →
−
−→ →
−
−→ →
−
→
−
Démonstration : F = F A→B + F B→A = −q E 0 + q E 0 = 0 . Donc le torseur est un couple de moment Γ = OB ∧ F A→B + OA ∧ F B→A = AB ∧ E 0 .
−−
→ −
→
Si l’on note α = (AB, E 0 ), on a Γ = pE0 sin α. Donc il y a deux positions d’équilibre correspondant à Γ = 0 : α = 0 (équilibre stable)
ou α = π (équilibre instable) : un champ uniforme crée un couple qui tend à aligner le dipôle dans la direction et le sens du champ.
−
→
→
→
−
→ )−
• Action d’un champ extérieur quelconque La résultante n’est pas nulle et vaut F = (−
p−
grad
E
→
−
→
−
→
−
On a F
= q( E (B) − E (A)). On introduit le milieu O de AB de coordonnées (x, y, z) et on note (∆x, ∆y, ∆z) les
∆x
∆y
∆z
∆x
∆y
∆z
−→
coordonnées de AB, d’où les coordonnées de A (x +
,y +
,z +
) et de B (x −
,y −
,z −
). Alors Fx =
2
2
2
2
2
2
∆x
∆y
∆z
∆x
∆y
∆z
q Ex x +
,y +
,z +
− Ex x −
,y −
,z −
. On fait un développement limité à l’ordre 1 en ∆x, ∆y et ∆z, ce qui donne après
2
2
2
2
2
2
∂Ex
∂Ex
∂Ex
−
−
→ )E = →
−
−
→ E ). On a la même chose avec E et E d’où le résultat.
+ ∆y
+ ∆z
= (→
p −
grad
p .(−
grad
simplifications : Fx = q ∆x
x
x
y
z
∂x
∂y
∂z
Démonstration :
−
→
−
→
→
• Énergie potentielle du dipôle dans un champ extérieur L’énergie potentielle du dipôle dans le champ E vaut Ep = −−
p .E
Démonstration : Par définition, Ep = q(Vext (B) − Vext (A)) d’où Ep = q
−
→
− →
→
−
−
Ep = −q E . l = −→
p .E.
Z
B
dVext = q
A
Z
B
A
→
→
− −
→
−
− E . dl. Or, entre A et B, le champ E ne varie quasiment pas d’où
• Généralisation : distribution unipolaire, dipolaire ou quadrupolaire On considère un système de n charges ponctuelles qi placées
en des points situés
X au voisinage immédiat d’un point O. La distribution est dite :
– unipolaire si
qi = Q 6= 0. Dans ce cas la distribution est totalement équivalente à une charge unique Q, donc le potentiel est de la
i
Q
forme V =
.
4πε
0r
X
– dipolaire si
qi = 0, et si le barycentre G+ des charges positives et celui G− des charges négatives sont différents. Dans ce cas on
i
appelle Q la somme des charges positives (= l’opposé de la somme des charges négatives), et la distribution est totalement équivalente
−−−−→
p cos θ
→
à un dipôle de moment −
p = Q G− G+ , donc le potentiel est de la forme V =
.
2
4πε
0r
X
– quadrupolaire si
qi = 0, et si le barycentre G+ des charges positives et celui G− des charges négatives sont confondus : G− = G+ .
i
Dans ce cas le potentiel est en
1
.
r3
5
Calculs classiques
• Segment électrisé, fil infini
Un segment AB de milieu O et longueur 2a contient la densité linéique λ. Le champ sur l’axe de
1 + tan θ0 −
→
λ
λ
a
−
→
2 √
symétrie (Ox) en un point M d’abscisse x vaut E (x) =
ln u x Le potentiel vaut V (M ) =
où
2πε0 x x2 + a2
2πε0 1 − tan θ20 θ0 est l’angle limite entre M et chaque point à l’extrémité du fil.
On en déduit le champ et le potentiel en un point M situé à la distance x d’un fil infini chargé par une densité λ, respectivement
λ
λ
E(x) =
ln(x) + cte
et V (x) =
2πε0 x
2πε0
−−→ −
→
−
−
Démonstration : Cas du segment Soit P un point du segment de cote l tel que (P M, →
u x ) = θ. La symétrie du système impose que E est colinéaire à →
u x , d’où
2θ
x
1
cos
l
x
dθ
−→ →
λ
cos
θ
dl
−
. Par ailleurs, cos θ =
d’où
=
et tan θ = d’où dl =
. On remplace et on intègre en θ entre −θ0 et θ0 où θ0 est
dE. u x =
4πε0 P M 2
PM
P M2
x2
x
cos2 θ
Z +θ0
a
a
λ
x
cos2
λ
λ
a
l’angle limite pour P = A ou B (sin θ =
= √
):E =
dθ 2 cos θ =
2 sin θ0 =
√
.
2
2
2
2
PM
4πε
cos
x
4πε
2πε
a +x
0 −θ0
0
0 x a + x2
Z
Z +θ0
Z +θ0
λ
dl
λ
x dθ cos θ
λ
dθ
Pour le potentiel, on obtient en utilisant les mêmes notations et les résultats déjà trouvés : V (M ) =
=
=
.
4πε
P
M
4πε
cos
θ
x
4πε
cos
θ
0
0
0
−θ
−θ
0
0
Z
dα
x
π tan a + tan b
π
Or
= ln tan
+
, ce qui donne le résultat après simplifications avec tan = 1.
, et tan(a + b) =
cos α
2
4
1 − tan a tan b
4
π
→
−
Cas du fil infini 1ère méthode pour E (calcul direct) : le fil infini est caractérisé par l’approximation x ≪ a (soit θ0 ≃ ) : on trouve bien l’expression proposée en
2
utilisant les résultats du calcul précédent pour le segment.
hλ
→
−
→
−
−
2ème méthode pour E (Gauss) : les symétries imposent que E = E(r)→
u r , d’où en utilisant un cylindre de hauteur h et rayon r, il vient avec Gauss 2πrhE(r) =
,
ε0
λ
.
d’où E(r) =
2πε0 r
Dans les deux cas, il suffit d’intégrer pour obtenir le potentiel.
• Disque uniformément chargé
Un disque D de centre O, axe (oz) et rayon R est chargé avec une densité surfacique
→
uniforme σ. Le champ en un point d’abscisse z sur l’axe (Oz) ne dépend que de z, a pour direction −
u z et sa norme vaut
p
σ
σ
z
E(z) =
si z > 0 Le potentiel vaut
R2 + z 2 − |z|
1− √
2ε0
2ε0
z 2 + R2
NB : On a donc une discontinuité au niveau de l’origine.
→
−
−
Démonstration : 1ère méthode : champ puis potentiel. La symétrie impose que E (z) = E(z)→
u z avec E(−z) = −E(z). On se place en z > 0. On a par ailleurs
ZZ
Z R
→
−
→
−
1
dq r . u z
σ
ρ dρ cos θ
z
z
ρ
→
−
→
−
E(z) =
avec
dq
=
σ
dS
=
σ2πρ
dρ
et
r
.
u
=
r
cos
θ,
d’où
E(z)
=
. Or : cos θ = soit r =
et tan θ =
z
4πε0 D
r2
2ε0 0
r2
r
cos θ
z
Z θ0
σ
σ
z
z
z dθ
. D’où finalement E(z) =
sin θ dθ =
(1 − cos θ0 ). Enfin cos θ0 =
= √
soit dρ =
.
cos2 θ
2ε0 0
2ε0
r0
z 2 + r2
p
p
σ d
2ρ
On en déduit le potentiel par intégration entre 0 et z : V (z) =
z − R2 + z 2 car
( ρ2 + z 2 ) = p
.
2ε0
dρ
2 ρ2 + z 2
ZZ
Z R
p
1
dq
σ
ρ dρ
2ème méthode : potentiel puis champ. V (z) =
avec dq = σ dS = σ2πρ dρ et r = ρ2 + z 2 , d’où V (z) =
p
. Il est préférable ici
4πε0 D r
2ε0 0
ρ2 + z 2
iR
p
ρ dρ
σ hp 2
σ p 2
de ne pas passer en variable θ car on a d ρ2 + z 2 = p
. Il vient donc V (z) =
ρ + z2
=
R + z 2 − |z| .
2
2
0
2ε
2ε
0
0
ρ +z
En dérivant on trouve retrouve si z > 0 l’expression de E(z) trouvée ci-dessus.
dS cos θ
= dΩ qui représente l’angle solide élémentaire sous lequel on voit dS depuis
r2
M . En sommant, on obtient 2π(1 − cos θ0 ) (angle solide d’un cône de demi-angle au sommet θ0 ).
NB On peut aller plus vite dans le calcul du champ en utilisant l’angle solide :
• Sphère uniformément chargée en surface On considère une sphère de rayon R uniformément chargée en surface par la densité

2
 σR −
→
−
→
u r si r > R
σ. Le champ est radial, ne dépend que de r et présente une discontinuité en R : E (r) = ε0 r2
Le potentiel ne

0
si 0 < r < R

2

 σR

si r ≥ R
ε0 r
dépend que de r et est continu : V (r) =
(avec la convention V (∞) = 0).
σR


si 0 ≤ r ≤ R

ε0
σ
NB : 1. La discontinuité de E vaut
.
2ε0
2. Pour r > R, tout se passe comme si l’on avait une charge Q = 4πR2 σ placée en O...
Démonstration : Facile avec Gauss pour trouver E puis en intégrant pour trouver V ...
6
• boule uniformément chargée en volume On considère une boule de rayon R uniformément chargée en volume par la densité ρ.

3

→
 ρR −
u
si r ≥ R
−
→
2 r
3ε
r
0
Le champ est radial, ne dépend que de r, et est continu : E (r) =
Le potentiel ne dépend que de r et est
ρ −


r→
ur
si 0 ≤ r ≤ R
3ε0
 3

 ρR
si r ≥ R

3ε0 r (avec la convention V (∞) = 0).
continu : V (r) =
ρR2
r2


1−
si 0 ≤ r ≤ R

2ε0
3
4
NB : Pour r > R, tout se passe comme si l’on avait une charge Q = πR3 ρ placée en O...
3
Démonstration : Facile avec Gauss pour trouver E puis en intégrant pour trouver V . La constante d’intégration de V pour r ≥ R s’écrit en posant V (∞) = 0 et pour
r ≤ R en écrivant la continuité du potentiel en R.
Étude du conducteur en équilibre électrostatique
Notion d’équilibre électrostatique
−
→ −
→
• Définition d’un conducteur en équilibre Un conducteur est en équilibre s’il n’est le siège d’aucun courant, i.e. si j = 0 dans tout
−
→
son volume. Il est en équilibre électrostatique si le champ E est nul dans tout son volume.
• Conséquences de la définition d’un conducteur en équilibre : premières propriétés
– La distribution des charges électriques dans un conducteur en équilibre ne peut être que surfacique : d’après l’équation de Maxwellρ
−
→
Gauss, divE = , donc E nul implique ρ = 0
ε0
−
→
−
→ V on déduit que le gradient de V est nul, donc
– Le volume d’un conducteur en équilibre est équipotentiel : de E = −−
grad
V est constant Par continuité du potentiel dans la distribution volumique, on en déduit que :
– La surface d’un conducteur en équilibre est une équipotentielle.
– Le champ électrostatique ne peut être que normal à sa surface : par définition, les équipotentielles sont normales au champ. Par
ailleurs, on peut interpréter physiquement cette propriété : une composante tangentielle mettrait les charges en mouvement, donc don−
→
nerait naissance à une densité de courant surfacique j .
−
→
σ→
– Le champ électrostatique à proximité immédiate d’un conducteur en équilibre vaut : E = −
n où σ est la charge surfacique du
ε0
→
conducteur et −
n le vecteur normal orienté vers l’extérieur (théorème de Coulomb) : cela résulte de la relation de passage au travers
d’une surface chargée et du fait que le champ dans le conducteur est nul.
Conducteur creux
• Potentiel à l’intérieur d’une cavité On considère un conducteur contenant une cavité interne fermée et vide. Alors en tout point du
conducteur creux, le potentiel garde la même valeur. En effet, il n’y a pas de charges dans la cavité donc le potentiel ne peut présenter
d’extremum dans la cavité, donc reste constant dans toute la cavité. Par continuité, il a donc même valeur que dans le conducteur plein.
−
→ −
→
−
→ V = 0.
• Champ à l’intérieur de la cavité On a encore E = 0 en tout point de la cavité Résulte à nouveau de −
grad
• Charges sur la surface de la cavité intérieure Dans un conducteur creux en équilibre, les charges ne peuvent pas se placer sur la
surface de la cavité intérieure (elles sont obligatoirement sur la surface extérieure du conducteur).
Démonstration : En appliquant le théorème de Gauss à une surface fermée rencontrant une portion quelconque de la surface de la cavité, on constante que la charge
intérieure à cette surface est nulle puisque le flux du champ électrique est aussi nul (le champ électrique est nul dans tout le conducteur y compris dans la cavité). Or les
charges ne peuvent être surfaciques dans un conducteur en équilibre, donc nécessairement, la charge surfacique sur la surface intérieure de la cavité est nulle.
• Équivalence entre conducteur creux et conducteur plein Du point de vue électrique, tout se passe comme si la cavité n’existait
pas : un conducteur creux se comporte comme un conducteur plein ayant exactement même forme.
• Énergie potentielle d’un conducteur
1
1
1 Q2
QV = CV 2 =
2
2
2 C
1 XX
– Cas d’un système de conducteurs en équilibre : E.p. =
Cij Vi Vj
2 i j
– Cas du conducteur isolé qui porte la charge Q : E.p. =
7
Pression électrostatique
• Champ au voisinage d’un conducteur en équilibre Il s’agit d’établir d’une autre façon le théorème de Coulomb sans utiliser le
résultat sur la discontinuité du champ et en détaillant ce qui se passe dans le voisinage du conducteur.
Soit, sur la surface S1 d’un conducteur en équilibre portant la charge surfacique uniforme σ, un élément de surface dS et deux points
→
M et M ′ infiniment voisins de part et d’autre de dS sur la normale à dS orientée par −
n , M étant à l’extérieur et M ′ à l’intérieur. On
note S2 la surface S1 privée de dS.
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
On a E (M ) = E 1 (M ) + E 2 (M ) où E 1 (M ) (resp. E 2 (M )) est le champ créé en M par les charges de dS (resp. les charges sur la
−
→
σ −
→
surface S2 ). Comme M est infiniment proche de S, la surface dS peut être vue comme un plan depuis M et donc E 1 (M ) =
n.
2ε0
−
→
−
→
Le champ créé par dS en M ′ est donc E 1 (M ′ ) = − E 1 (M ).
−
→
−
→
Par ailleurs, les champs E 2 (M ) et E 2 (M ′ ) créés par S ′ respectivement en M et M ′ sont approximativement égaux puisque les points
sont infiniment proches et puisque l’on ne traverse aucune surface pour passer de M à M ′ lorsqu’on considère S2 . Or, le champ total
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
σ −
−
→
→
n , et donc E 2 (M ) ≈
en M ′ est nul (conducteur en équilibre), donc E 1 (M ′ ) + E 2 (M ′ ) = 0 , soit E 2 (M ′ ) = − E 1 (M ′ ) =
2ε0
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
σ −
σ −
σ→
→
→
E 2 (M ) = −
n . Ainsi E (M ) = E 1 (M ) + E 2 (M ) = 2
n , soit E (M ) = −
n (théorème de Coulomb).
2ε0
2ε0
ε0
−−−
→
→
• Pression électrostatique Soit dS un élément de surface d’un conducteur en équilibre et σ sa densité surfacique. La force d f
exercée par l’ensemble de toutes les charges du conducteurs autres que celles de dS est répulsive car les charges ont même signe sur
df
(en Pa ou N·m−2 ).
dS et sur le reste du conducteur. On définit la pression électrostatique par p =
dS
−
→
−
→
σ −
σ2
→
Si E 2 est le champ créé par les charges du conducteur autres que celles de dS, on a vu que E 2 =
n , d’où l’on tire p =
2ε0
2ε0
Condensateur
• Définition et charge (PRECIS) Un condensateur est un ensemble de deux conducteurs dont l’un entoure complètement l’autre. On
parle d’armature interne et d’armateure externe pour désigner les conducteurs intérieur et extérieur.
Les conducteurs sont en équilibre donc les charges sont surfaciques. Par le théorème de Gauss, on montre facilement que la charge
portée par la face de l’armature interne est l’opposée de la charge portée sur la face intérieure de l’armature externe. Il en résulte qu’à
l’extérieur du condensateur, le champ électrique n’est dû qu’aux charges de la surface extérieure de l’armature externe. Tout se passe à
l’extérieur comme si l’on avait un unique conducteur de même géométrie externe portant la charge de la surface extérieure de l’armature
externe.
• Capacité (PRECIS) Soit un condensateur portant la charge Q sur la surface de son armature intérieure. Q est appelée charge
du condensateur. On note V1 le potentiel de l’armature interne et V2 celui de l’armature externe. La capacité du condensateur est
Q
C=
La capacité C ne dépend que de la géométrie du condensateur. C s’exprime en Farad (F).
V1 − V2
• Énergie d’un condensateur (PRECIS) Par définition, c’est l’énergie que peut recueillir le milieu extérieur lorsqu’on court-circuite
les armatures : c’est l’énergie qui traverse alors le fil de liason. L’énergie du condensateur de capacité C et portant la charge Q vaut
Q2
1
1
W =
= CU 2 = QU où U = V1 − V2
2C
2
2
L’énergie est localisée entre les armatures dans le champ électrostatique avec la densité volumique EV =
ε0 E 2
2
• “Dualité” entre capacité et résistance Soit un condensateur portant la charge Q et soumis à la différence de potentiel U . Comme
RR −
R2−
R2−
→→
→
→
→−
→−
ε0 S1 E .−
n dS
Q
U
1 E . dl
1 E . dl
C =
=
et R =
= RR −
= RR −
, on en déduit que pour des problèmes géométriquement
R2−
→
→−
→→
→−
U
I
j .→
n dS
σ S1 E .−
n dS
E . dl
S1
1
ε0
identiques, on a RC =
: un calcul de capacité se ramène à un calcul de résistance et réciproquement. Cette relation est bien vérifiée
σ
l
ε0 S
pour un condensateur cylindrique de surface S et hauteur l : C =
et R =
.
l
σS
ε0
NB : On établit dans le cours d’E.M. que le rapport θ =
représente le temps de relaxation d’un conducteur de conductivité σ. Par
σ
ailleurs, en E.C., le produit RC = τ est la constante de temps d’un circuit RC. L’identité τ = θ peut se comprendre en considérant que
le condensateur qui a une résistivité propre se “décharge à travers lui-même” en constituant à lui tout seul un circuit RC parallèle...