ACTIVITÉ 1 : NAISSANCES À PILE OU FACE 1 ÉTAPE 1 : énoncé

ACTIVITÉ 1 : NAISSANCES À PILE OU FACE
1
ÉTAPE 1 : énoncé
Les données statistiques suivantes ont été relevées :
– en 2000, dans le village de Xicun, en Chine, il est né 20 enfants, parmi lesquels 16 garçons,
– dans la réserve indienne d’Aamjiwnaag, située au Canada il est né entre 1999 et 2003, 132 enfants dont
46 garçons.
Ces observations sont-elles le fruit du hasard ?
2
ÉTAPE 2 : expérimentation avec des pièces de monnaie
1. Lancer 20 fois une pièce de monnaie et cocher, à chaque lancer, la case « pile »
ou la case « face » dans le tableau ci-dessous.
2. Recommencer l’expérience 5 autres fois afin de compléter les 6 tableaux .
20 lancers
Face
Pile
total pile
20 lancers
Face
Pile
total pile
20 lancers
Face
Pile
total pile
20 lancers
Face
Pile
total pile
20 lancers
Face
Pile
total pile
20 lancers
Face
Pile
total pile
3. Calculer et noter alors les fréquences de « pile » dans le tabeau ci-dessous et reporter ces fréquences sur
la feuille distribuée par le professeur.
4. Dessiner ci-dessous la boîte de Tuckey donnant la répartition de toutes les valeurs obtenues par les élèves
de la classe.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
5. Comment peut-on utiliser ces expériences pour commenter les statistiques de Xicun ?
6. Pourquoi l’expérimentation avec des pièces ne permet-elle pas de répondre complètement au problème
posé ?
1
3
ÉTAPE 3 : travaux pratiques sur calculatrice
3.1
Simulation d’un lancer de pile ou face.
PRB
1: NbrAléat ENTRER (In English rand)
a) La séquence de touches : Math
Compléter la phrase : « La fonction NbrAléat affiche un nombre décimal tiré au hasard entre
. . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . »
b) Compléter la phrase : « La formule NbrAléat + 0.5 affiche un nombre décimal tiré au hasard entre
. . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . »
Vérifier votre réponse à l’aide de la calculatrice.
c) En complétant la phrase suivante, trouver une règle permettant de simuler un tirage à pile ou face à
l’aide de la fonction ALEA :
« Si en utilisant la formule NbrAléat + 0.5 la calculatrice affiche un nombre de l’intervalle [0 ,5 ; ........[,
on considère que la pièce est tombée sur face,
si au contraire la calculatrice affiche un nombre de l’intervalle [........ , ........[, on considère que l’on a obtenu
pile. ».
d) On souhaite améliorer la simulation en utilisant la fonction qui affiche la partie devant la virgule d’un
nombre positif (partie entière).
Entrer la formule partENT(NbrAléat + 0.5) . ( Math
NUM
5: partEnt )
Faire plusieurs fois ENTRER
Quels résultats obtient-on ? Quelle est leur signification dans le jeu de pile ou face ?
3.2
Simulation de 20 lancers de pile ou face.
Nous allons créer un programme qui va nous éviter d’appuyer 20 fois sur la touche ENTRER et nous
placerons les résultats dans la liste L1.
PRGM
NOUV permet de créer un nouveau programme dont le nom est : PIECE
Voici l’algorithme du programme et sa traduction :
Variables : L est un entier naturel ( Nombre de lancers ) . L1 est une liste ( Liste utilisée pour mettre les
lancers ).
Algorithme
Initialisation
Effacer l’écran
Effacer la liste L1
Donner à L la valeur 20
Traitement
Répéter L fois
| lancer la pièce
| Placer le résultat dans L1(I)
| Fin de répétition
| Calculer la fréquence
Sortie
Afficher la fréquence
TEXAS
CASIO
EffEcr
EffListe L1
20 → L
ClrText
seq(1,X,1,1,1) → List 1
20 → L
For(I,1,L)
For 1 → I to L
partENT(NbrAléat +0.5)→ L1(I)
END
somme(L1)/L → F
Int(Ran♯ + 0.5 ) → List 1[I]
Next
Sum(List 1)/L → F
Disp F
List 1
Pour trouver ces commandes :
EffEcr
EffListe L1
Prompt L
:
:
:
PRGM E/S 8 : EffEcr
STAT 4 : EffListe
PRGM E/S 2 : Prompt
For(I,1,L)
→
END
somme(L1)
Disp L1
:
:
:
:
:
PRGM CTL 4 : For
STO
PRGM CTL 7 : End
2nd STAT MATH 5 : somme
PRGM E/S 3 : Disp
Clrtext
Seq
:
:
SHIFT VARS CLR ⊲ Text
OPTN List ⊲ Seq
For et to
Int
Ran♯
Next♯
Sum
:
:
:
:
:
:
SHIFT VARS COM ⊲
OPTN Num Int
OPTN Prob Ran♯
SHIFT VARS COM ⊲
OPTN List ⊲ Sum
SHIFT VARS
For
Next
3.3
Simulation de 100 expériences.
Nous allons modifier ce programme afin qu’il nous permette d’effectuer 100 simulations de 20 lancers.
Pour cela nous aurons besoin :
– d’un second nombre S ( le nombre de simulations ).
– D’une seconde liste L2 ( pour placer les 100 fréquences obtenues ).
Nous terminerons le programme en affichant la boîte de tuckey de la série des 100 fréquences.
1. Initialisation du dessin de la boîte de tuckey
graph stats
Sélection du premier graphique : 2nd
1 :
ENTRER
Type : Sélectionner la seconde boîte ( Déplacer 5 fois avec la flèche droite) puis ENTRER
ListeX : C’est L2 donc 2nd 2
Effectifs : 1 (Ce n’est pas une série triée)
2. Initialisation de la fenêtre graphique fenêtre
Xmin = 0 ; Xmax = 1 , Xgrad = 0.1 ; Ymin = 0 ; Ymax = 5 , Ygrad = 1
3. Modification du programme (en gras dans le document )
Variables :
L est un entier naturel ( Nombre de lancers ) .
L1 est une liste ( Liste utilisée pour mettre les lancers ).
S est un entier naturel ( Nombre de simulations ) .
L2 est une liste ( Liste utilisée pour mettre les fréquences ).
Algorithme
Initialisation
Effacer l’écran
Effacer la liste L2
Donner à L la valeur 20
Donner à S la valeur 100
Traitement
Répéter S fois
| Effacer la liste L1
| Répéter L fois
| | lancer la pièce
| | Placer le résultat dans L1(I)
| | Fin de répétition pour L
| Calculer la fréquence et placer
| cette fréquence dans L2(J)
| Fin de répétition pour S
Sortie
Afficher le graphique
TEXAS
CASIO
EffEcr
EffListe L2
20 → L
100 → S
ClrText
seq(1,X,1,1,1) → List 2
20 → L
100 → S
For(J,1,S)
EffListe L1
For(I,1,L)
For 1 → J to S
seq(1,X,1,1,1) → List 1
For 1 → I to L
partENT(NbrAléat +0.5)→ L1(I)
END
Int(Ran♯ + 0.5 ) → List 1[I]
Next
somme(L1)/L → L2(J)
END
Sum(List 1)/L → List 2[J]
Next
Zoomstat
???
4. D’après les observations, sur les 100 simulations de 20 lancers, une fréquence de « pile » égale ou
supérieur à 0,8 :
ne se produit jamais ;
se produit environ 20 fois sur 100 ;
se produit environ 10 fois sur 100 ;
se produit environ 1 fois sur 100.
5. Que pouvez-vous déduire de ces simulations à propos des naissances à Xicun en 2000 ?
Vu le manque de rapidité de la calculatrice pour les simulations de 20 lancers, nous utiliserons par la suite un
ordinateur pour le cas de 132 naissances.
4
ÉTAPE 4 : Utilisation du tableur
1. Simulation d’un lancer de pile ou face.
a. Entrer en cellule A1 la formule =ALEA() (avec des parenthèses vides) puis appuyer de nombreuses fois
sur la touche F9.
Compléter la phrase : « La formule =ALEA() affiche un nombre décimal tiré au hasard entre
. . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . »
b. Compléter la phrase : « La formule =ALEA()+0,5 affiche un nombre décimal tiré au hasard entre
. . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . »
Vérifiez votre réponse en entrant la formule =ALEA()+0,5 en cellule A1.
c. On souhaite améliorer la simulation en utilisant la fonction ENT qui affiche la partie devant la virgule
d’un nombre positif (partie entière).
Entrer en A1 la formule =ENT(ALEA()+0,5) . Faire plusieurs fois F9.
2. Simulation de 132 lancers de pile ou face.
Recopier le contenu de la cellule A1 jusqu’en A132 (pointeur de la souris en forme de croix noire).
3. Simulation de 100 expériences.
Sélectionner les cellules de A1 à A132 puis recopier vers la droite jusqu’en colonne CV.
4. Etude des résultats
Renommer la feuille de calcul "simuler" puis passer à la feuille suivante à renommer "boite"
En A1 entrer la formule =SOMME(simuler !A :A)/NB(simuler !A :A) .
On obtient ceci en tapant "= SOMME(" puis en cliquant sur le A de la première colonne de la feuille de
calcul, ensuite on tape ")/NB(" et on reclique sur le A, enfin on tape")".
Que calcule cette formule ?
Recopier le contenu de la cellule A1 vers la droite jusqu’à la colonne CV.
Dans les cellules A2 à A6, écrire successivement : Min , Q1 , Med , Q3 , Max.
Dans les cellules B2 à B6, effectuer les calculs correspondants : Minimum , Q1 , Médiane , Q3 , Maximum.
Nous allons créer la boîte de tuckey en créant un nuage de points :
D
C
A
F
H
B
G
K
J
E
Recopier le tableau ci-dessous dans les cellules D3 à Q5. Dans la ligne des abscisse, il faudra indiquer la valeur
correspondant par un lien d’égalité ( Ex : Min est remplacé par « = B3 »)
Points
Abscisse
Ordonnée
A
Min
1
B
Q1
1
C
Q1
2
D
Med
2
E
Med
0
D
Med
2
F
Q3
2
G
Q3
1
H
Max
1
G
Q3
1
J
Q3
0
K
Q1
0
B
Q1
1
Sélectionner les cellules D4 à Q5 puis cliquer sur l’icône de l’assistant graphique et demander un « nuage de
points ». (Il faudra peut-être modifier certains paramètres pour avoir un beau graphique).
Faire de nombreuses fois F9.
D’après vos observations, sur 132 lancers, une fréquence de « pile » égale ou inférieure à 0.35 :
ne se produit jamais ;
se produit environ 20 fois sur 100 ;
se produit environ 10 fois sur 100 ;
se produit environ 1 fois sur 100.
5. Que pouvez-vous déduire de ces simulations à propos des naissances à Aamjiwnaag ?