Je positive !

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Nanterre, Juin 2010
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La Logique mathématique
Théorie des ensembles
Théorie de la démonstration
Récursivité
T HEORIE
DES MODELES
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La Logique du premier ordre
Un langage L est la donnée d'un ensemble de symboles de
relation ri(x1, ... xni) , dont un symbole binaire spécifique
x1 = x2 , et de symboles d'individu (ou constante) ck .
Une L-structure est un ensemble de base M non vide,
muni d'une interprétation de chaque ri par une partie de
Mni , et d'une interprétation de chaque ck par un élément
de M ; le symbole = est interprété par l'égalité.
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Des écritures du type ri(α1, ... αni) , ou bien α1 = α2 , où les
αj sont des variables ou des constantes, sont dites
"formules atomiques".
A partir des formules atomiques , on fabrique les formules
générales grâce à l'emploi des connecteurs ∧ , ∨ , ¬ et
des quanteurs ∃ , ∀ .
Les formules sont de nature finie ; leurs quanteurs sont du
premier ordre, c'est-à-dire qu'ils quantifient des éléments de
M : on ne quantifie pas les parties de M , ni les relations
entre ses éléments, et on ne parle de rien d'extérieur à M .
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Les seules relations dont on parle sont celles qui sont
définies par une formule à partir de celles qui sont
nommées dans le langage.
Une formule ϕ(x1, ... xn) est satisfaite, ou bien n'est pas
satisfaite, par un n-uplet (a1, ... an) d'éléments de M .
Un énoncé est une formule sans variables libres. Dans une
structure M , il est satisfait, ou bien non satisfait.
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Théorie T : ensemble d'énoncés.
Modèle de T : une structure qui satisfait à tous les énoncés
de T .
Théorie consistante, ou non-contradictoire : possède un
modèle.
L'énoncé ε est conséquence de la théorie T : ε est
satisfait dans chaque modèle de T .
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Théorème de Compacité. Pour qu'une
théorie de la Logique du premier ordre soit
consistante, il suffit que chacun de ses
fragments finis le soit.
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Démonstrations du Théorème de Compacité
• par le Théorème de Gödel : une théorie T est
consistante pourvu qu'elle ne mène pas à une contradiction
selon le "calcul restreint des Principia" ; or une preuve de
contradiction ne fait intervenir qu'un fragment fini de T .
• par les ultraproduits : après avoir choisi un modèle Mi
pour chaque fragment fini Ti de T , on fait un ultraproduit
des Mi qui est modèle de T .
• par la méthode de Henkin : on ajoute au langage des
constantes servant de témoins aux ∃ , et on se ramène à la
compacité pour les énoncés libres, qui est chose facile.
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La Logique positive
On ne change pas les notions de langage ni de structure,
mais on supprime la négation et le quanteur universel.
Une formule positive s'obtient donc en n'utilisant que ∧ ,
∨ , ∃ ; sous forme prénexe elle s'écrit (∃ y) ϕ(x,y) , où ϕ
est libre positive.
Le langage doit comprendre, en plus de = , un symbole de
relation 0-aire spécifique ⊥ désignant l'antilogie, pour
pouvoir définir positivement l'ensemble vide.
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Homomorphismes et immersions
Un homomorphisme est une application h de M dans N
telle que, pour tout uple a de M , toute formule atomique
satisfaite par a l'est aussi par h(a) ; s'il existe un
homomorphisme de M dans N , on dit que N est une
continuation de M .
Si, pour tout a de M , h(a) et a satisfont aux mêmes
formules atomiques, on dit que h est un plongement, et
que N est une extension de M .
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Si h est un homomorphisme de M dans N , toute
formule (existentielle) positive satisfaite par a dans M est
satisfaite par h(a) dans N .
Si pour tout a de M , a dans M et h(a) dans N
satisfont les mêmes formules positives, on dit que h est
une immersion (ou un homomorphisme pur).
Les homomorphismes ont des limites inductives.
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Limites inductives
h0
h1
hn-1
hn
hn+1
M0 → M1 → ... → Mn → Mn+1 → ...
M
M = réunion disjointe des Mn , quotienté par le relation
d'équivalence "être finalement égaux" ; une formule
atomique est satisfaite dans M si elle est finalement
satisfaite dans Mn .
Plus généralement : Mi indexée par I totalement ordonné,
avec hji de Mi dans Mj si i < j , tels que hkj o hji = hki si
i<j<k.
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Structures existentiellement closes
Une classe de L-structures est dite inductive si elle est
close par limite inductive d’homomorphismes. Un élément
M de la classe de L-structures Γ est dit (positivement)
existentiellement clos dans Γ si tout homomorphisme de
M dans un quelconque élément de Γ est une immersion.
AXIOME DE CHOIX. Dans une classe inductive, tout
élément se continue en un existentiellement clos.
Exemple. C non vide, muni d'une relation d'équivalence ≈ .
Langage : un individu pour chaque c de C , une relation unaire
X(x) . Conditions pour être dans la classe Γ : ¬ c = c' si c est
distinct de c' , ¬ [X(c) ∧ X(c')] si c ≈ c' .
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Enoncés
Les formules servent à définir des relations, les énoncés
expriment des propriétés des relations définissables.
On ne considère que des énoncés dits
h-inductifs (ou
cohérents), exprimant qu'une relation positivement définie est
incluse dans une autre ; il sont donc de la forme
(∀ x) [ (∃ y) ϕ(x,y) → (∃ z) ψ(x,z) ] , où ϕ et ψ sont libres
positives. Ils passent aux limites inductives.
Cas particulier : les énoncés h-universels, exprimant qu'une
relation positivement définie est vide, de la forme
(∀ x) [ (∃ y) ϕ(x,y) → ⊥] , soit encore ¬ (∃ x,y) ϕ(x,y) , où ϕ
est libre positive.
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Exemples ; théories modèles-complètes
La graphitude (néologisme royal) de la formule positive γ(x,y)
s'exprime h-inductivement par (∀ x) [ x = x → (∃ y) γ(x,y) ] et
(∀ x, y, z) [ γ(x,y) ∧ γ(x,z) → y = z ] , si bien qu'on peut mettre
si on veut des fonctions dans le langage.
De même, les énoncés h-inductifs (∀ x) [ ϕ(x) ∧ ψ(x) → ⊥ ]
et (∀ x) [ x = x → ϕ(x) ∨ ψ(x) ] expriment la complémentarité
des ensembles définis par les formules positives ϕ(x) et ψ(x) .
Une théorie h-inductive T est dite modèle-complète si à toute
formule positive ϕ(x) correspond une formule positive ϕ*(x)
telle que T implique que ϕ(x) et ϕ*(x) soient
complémentaires.
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Compacité de la Logique positive
THEOREME. Pour qu'une théorie h-inductive soit consistante,
il suffit que chacun de ses sous-ensembles finis le soit.
Conséquence de deux lemmes qui, eux, ne demandent pas
l'Axiome de Choix :
LEMME 1. Un ensemble d'énoncés h-universels ou atomiques
est consistant pourvu que toutes ses parties finies le soient.
LEMME 2. Si T est une théorie h-inductive, et Tu est
l'ensemble des énoncés h-universels du même langage qui sont
conséquences d'un de ses fragments finis, tout modèle
existentiellement clos de Tu est modèle de T .
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LEMME 1. Un ensemble d'énoncés h-universels ou atomiques
Tu ∪ Ta est consistant pourvu que toutes ses parties finies le
soient.
Démo. On peut supposer que l'ensemble C des individus du
langage n'est pas vide. On considère la structure de base C , qui
ne satisfait que les énoncés atomiques de Ta ; si elle ne
satisfait pas un énoncé ε de Tu , c'est qu'il y a un contreexemple dans ce modèle minimum de Ta , et que ε est
contradictoire avec un fragment fini de Ta . Fin
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LEMME 2. Si T est h-inductive, et Tu est l'ensemble des énoncés
h-universels qui sont conséquences d'un de ses fragments finis, tout
modèle existentiellement clos de Tu est modèle de T .
Démo. Considérons un modèle M existentiellement clos de Tu , et
un énoncé ε dans T : (∀ x) [ (∃ y) f(x,y) → (∃ z) g(x,z) ] . Nous
pouvons écrire g(x,z) sous la forme g1(x,z) ∨ ... ∨ gn(x,z) , où
chaque gi(x,z) est une conjonction finie de formules atomiques.
Soit a un uple d'éléments de M qui ne satisfait pas (∃ z) g(x,z) ;
cela est aussi vrai pour l'image de a dans toute continuation de M
qui soit modèle de Tu , ce qui signifie que, pour chaque i , la théorie
formée de Tu , de gi(a,z) et de l'ensemble D(M) des formules
atomiques vraies dans M est inconsistante (le langage de cette
théorie est celui de T , augmenté d'un symbole d'individu par
élément de M , et du uple z d'individus).
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D'après le Lemme 1, dans chaque cas un fragment fini de D(M)
suffit à cette inconsistance, et on en déduit l'existence d'une formule
libre positive h(a,b) satisfaite dans M et incompatible avec g(a,z)
et un certain fragment fini T'u de Tu .
En conséquence, T'u implique ¬ (∃ x,z,u) g(x,z) ∧ h(x,u) , si bien
que cet énoncé h-universel est conséquence d'un fragment fini T' de
T , dans lequel on peut inclure ε .
Dans ces conditions, T' a pour conséquence ¬ (∃ x,y,u) f(x,y) ∧
h(x,u) , et comme ce dernier énoncé est h-universel, il fait partie de
Tu , si bien que a ne peut satisfaire (∃ y) f(x,y) ; autrement dit, M
ne contient pas de contre-exemple à ε . Fin
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Compacité de la Logique avec négation
THEOREME. Pour qu'un ensemble d'énoncés de la Logique du
premier ordre (avec négation) soit consistant, il suffit que
chacun de ses sous-ensembles finis le soit.
Démo. Nous étendons le langage L en un langage LM qui contient
un nouveau symbole de relation pour chaque formule non-atomique
du langage avec négation ; en particulier, aux énoncés non atomiques
de L sont associées des variables propositionnelles dans LM . Il est
impératif de n'utiliser que les symboles ∃ , ∨ , ∧ et ¬ dans
l'écriture des formules ; les autres symboles doivent être considérés
comme des abréviations, et en particulier ∀ est mis pour ¬∃¬ ; il
faut qu'une formule en ∀ soit décomposée en trois étapes, car sinon
on introduirait un énoncé structurel non h-inductif.
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Nous appelons énoncés structurels les énoncés suivants, qui sont tous
des énoncés h-inductifs du langage LM :
1. si ϕ(x) , ψ(x) et χ(x) sont associés respectivement à f(x) ,
g(x) et f(x)∧g(x) , les énoncés qui déclarent que ϕ(x)∧ψ(x) et
χ(x) sont équivalents
2. si ϕ(x) , ψ(x) et χ(x) sont associés respectivement à f(x) ,
g(x) et f(x)∨g(x) , les énoncés qui déclarent que ϕ(x)∨ψ(x) et
χ(x) sont équivalents
3. si ϕ(x) et ψ(x) sont associés respectivement à f(x) et ¬f(x) ,
les énoncés ¬ (∃ x) ϕ(x)∧ψ(x) et (∀ x) ϕ(x)∨ψ(x) qui
déclarent que ϕ(x) et ψ(x) sont complémentaires l'un de l'autre
4. si ϕ(x,y) et ψ(x) sont associés respectivement a f(x,y) et
(∃ y) f(x,y) , les énoncés qui déclarent que (∃ y) ϕ(x,y) et ψ(x)
sont équivalents.
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La morleyisée d'une théorie négationiste T de langage L est la
théorie h-inductive TM modèle-complète, de langage LM , composée
des énoncés structurels et des constantes propositionnelles (relations
0-aires) associées aux énoncés de T .
On observe que :
- si chaque fragment fini de T est consistant, il en est de même
pour TM ;
- si TM est consistante, T aussi.
En conséquence on obtient le théorème de compacité général par une
simple manipulation linguistique à partir de celui de la Logique
positive. Fin
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Itaï BEN YAACOV & Bruno POIZAT
Fondements de la Logique positive
The Journal of Symbolic Logic, 2007, 1141-1162
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