Interpolation Numérique
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Interpolation Numérique
Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Interpolation numérique Conclusion Pablo CROTTI & Mathias RIME Interpolation Numérique Résumé Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion L’interpolation numérique consiste à approximer une fonction dont on ne connaı̂t les valeurs qu’en certains points. Plus précisément, étant donné n + 1 couples (xi , yi ), il faut trouver une fonction Φ = Φ(x ) telle que Φ(xi ) = yi pour i = 0, . . . , m, m ≤ n. On dit alors que Φ interpole {yi } aux noeuds {xi }. Lorsque Φ est un polynôme, on obtient : quand m < n : l’approximation par les moindres carrés quand m = n : l’interpolation de Lagrange. Interpolation Numérique Résumé Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion L’interpolation numérique consiste à approximer une fonction dont on ne connaı̂t les valeurs qu’en certains points. Plus précisément, étant donné n + 1 couples (xi , yi ), il faut trouver une fonction Φ = Φ(x ) telle que Φ(xi ) = yi pour i = 0, . . . , m, m ≤ n. On dit alors que Φ interpole {yi } aux noeuds {xi }. Lorsque Φ est un polynôme, on obtient : quand m < n : l’approximation par les moindres carrés quand m = n : l’interpolation de Lagrange. Interpolation Numérique Résumé Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion L’interpolation numérique consiste à approximer une fonction dont on ne connaı̂t les valeurs qu’en certains points. Plus précisément, étant donné n + 1 couples (xi , yi ), il faut trouver une fonction Φ = Φ(x ) telle que Φ(xi ) = yi pour i = 0, . . . , m, m ≤ n. On dit alors que Φ interpole {yi } aux noeuds {xi }. Lorsque Φ est un polynôme, on obtient : quand m < n : l’approximation par les moindres carrés quand m = n : l’interpolation de Lagrange. Interpolation Numérique Résumé Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion L’interpolation numérique consiste à approximer une fonction dont on ne connaı̂t les valeurs qu’en certains points. Plus précisément, étant donné n + 1 couples (xi , yi ), il faut trouver une fonction Φ = Φ(x ) telle que Φ(xi ) = yi pour i = 0, . . . , m, m ≤ n. On dit alors que Φ interpole {yi } aux noeuds {xi }. Lorsque Φ est un polynôme, on obtient : quand m < n : l’approximation par les moindres carrés quand m = n : l’interpolation de Lagrange. Interpolation Numérique Résumé Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion L’interpolation numérique consiste à approximer une fonction dont on ne connaı̂t les valeurs qu’en certains points. Plus précisément, étant donné n + 1 couples (xi , yi ), il faut trouver une fonction Φ = Φ(x ) telle que Φ(xi ) = yi pour i = 0, . . . , m, m ≤ n. On dit alors que Φ interpole {yi } aux noeuds {xi }. Lorsque Φ est un polynôme, on obtient : quand m < n : l’approximation par les moindres carrés quand m = n : l’interpolation de Lagrange. Interpolation Numérique Plan Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux 1 Approximation par les moindres carrés 2 Interpolation de Lagrange 3 Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Interpolation Numérique Plan Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux 1 Approximation par les moindres carrés 2 Interpolation de Lagrange 3 Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Interpolation Numérique Plan Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux 1 Approximation par les moindres carrés 2 Interpolation de Lagrange 3 Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Interpolation Numérique Plan de section Interpolation Numérique Résumé 1 Approximation par les moindres carrés Meilleure approximation Problème des moindres carrés Application à l’approximation polynomiale Lissage de données 2 Interpolation de Lagrange 3 Interpolation de Lagrange par morceaux Approximation par les moindres carrés Meilleure approximation Problème des moindres carrés Application à l’approximation polynomiale Lissage de données Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Interpolation Numérique Meilleure approximation Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Définition Soient V un espace vectoriel muni d’un produit scalaire h−, −i, W un sous-espace de V et (w0 , w1 , . . . , wm ) une base orthogonale de W . La projection orthogonale d’un vecteur v ∈ V sur W , notée ΠW (v ) ∈ W , est définie par : Meilleure approximation Problème des moindres carrés Application à l’approximation polynomiale ΠW (v ) := m X hv , wi i i=0 hwi , wi i wi . Lissage de données Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Théorème La projection orthogonale ΠW (v ) est la meilleure approximation de v dans W , dans le sens où Conclusion kv − ΠW (v )k< kv − w k, ∀w ∈ W , w 6= ΠW (v ) Interpolation Numérique Meilleure approximation Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Définition Soient V un espace vectoriel muni d’un produit scalaire h−, −i, W un sous-espace de V et (w0 , w1 , . . . , wm ) une base orthogonale de W . La projection orthogonale d’un vecteur v ∈ V sur W , notée ΠW (v ) ∈ W , est définie par : Meilleure approximation Problème des moindres carrés Application à l’approximation polynomiale ΠW (v ) := m X hv , wi i i=0 hwi , wi i wi . Lissage de données Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Théorème La projection orthogonale ΠW (v ) est la meilleure approximation de v dans W , dans le sens où Conclusion kv − ΠW (v )k< kv − w k, ∀w ∈ W , w 6= ΠW (v ) Interpolation Numérique Meilleure approximation Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés V v- v (v) W Meilleure approximation Problème des moindres carrés Application à l’approximation polynomiale Lissage de données (v) W W Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Fig.: Projection orthogonale du vecteur v sur le sous-espace W Conclusion Interpolation Numérique Problème des moindres carrés Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Meilleure approximation Problème des moindres carrés Application à l’approximation polynomiale Problème On cherche une solution approximée d’un système linéaire inconsistant (donc sans solution) Ax = b avec A ∈ Mn×m (R), b ∈ Rn et x ∈ Rm , m ≤ n. Solution 1 Nous savons que la meilleure approximation de b dans l’image de A est ΠIm(A) (b). Lissage de données 2 Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux On peut résoudre le système auxilliaire suivant, appelé système normal du système inconsistant : At Ax = At b Conclusion 3 Alors la solution x satisfera Ax = ΠIm(A) (b). Interpolation Numérique Problème des moindres carrés Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Meilleure approximation Problème des moindres carrés Application à l’approximation polynomiale Problème On cherche une solution approximée d’un système linéaire inconsistant (donc sans solution) Ax = b avec A ∈ Mn×m (R), b ∈ Rn et x ∈ Rm , m ≤ n. Solution 1 Nous savons que la meilleure approximation de b dans l’image de A est ΠIm(A) (b). Lissage de données 2 Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux On peut résoudre le système auxilliaire suivant, appelé système normal du système inconsistant : At Ax = At b Conclusion 3 Alors la solution x satisfera Ax = ΠIm(A) (b). Interpolation Numérique Problème des moindres carrés Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Meilleure approximation Problème des moindres carrés Application à l’approximation polynomiale Problème On cherche une solution approximée d’un système linéaire inconsistant (donc sans solution) Ax = b avec A ∈ Mn×m (R), b ∈ Rn et x ∈ Rm , m ≤ n. Solution 1 Nous savons que la meilleure approximation de b dans l’image de A est ΠIm(A) (b). Lissage de données 2 Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux On peut résoudre le système auxilliaire suivant, appelé système normal du système inconsistant : At Ax = At b Conclusion 3 Alors la solution x satisfera Ax = ΠIm(A) (b). Interpolation Numérique Problème des moindres carrés Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Meilleure approximation Problème des moindres carrés Application à l’approximation polynomiale Problème On cherche une solution approximée d’un système linéaire inconsistant (donc sans solution) Ax = b avec A ∈ Mn×m (R), b ∈ Rn et x ∈ Rm , m ≤ n. Solution 1 Nous savons que la meilleure approximation de b dans l’image de A est ΠIm(A) (b). Lissage de données 2 Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux On peut résoudre le système auxilliaire suivant, appelé système normal du système inconsistant : At Ax = At b Conclusion 3 Alors la solution x satisfera Ax = ΠIm(A) (b). Interpolation Numérique Application à l’approximation polynomiale Problème des moindres carrés pour des fonctions Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Meilleure approximation Problème des moindres carrés Application à l’approximation polynomiale Lissage de données Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Donnée Nous avons des données {(xi , yi ) , i = 0, . . . , n} où yi = f (xi ) pour une certaine fonction f . Par exemple, les résultats d’une expérience qu’il faut synthétiser. Problème Nous cherchons un polynôme p̃ ∈ Pm , m ≤ n, tel que n X [yi − p̃(xi )]2 ≤ i=0 n X [yi − pm (xi )]2 i=0 pour tout pm ∈ Pm . Interpolation Numérique Application à l’approximation polynomiale Problème des moindres carrés pour des fonctions Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Meilleure approximation Problème des moindres carrés Application à l’approximation polynomiale Lissage de données Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Donnée Nous avons des données {(xi , yi ) , i = 0, . . . , n} où yi = f (xi ) pour une certaine fonction f . Par exemple, les résultats d’une expérience qu’il faut synthétiser. Problème Nous cherchons un polynôme p̃ ∈ Pm , m ≤ n, tel que n X [yi − p̃(xi )]2 ≤ i=0 n X [yi − pm (xi )]2 i=0 pour tout pm ∈ Pm . Interpolation Numérique Application à l’approximation polynomiale Problème des moindres carrés pour des fonctions Interpolation Numérique Résumé Solution : résoudre le système normal associé on écrit p̃(x ) sur une base de Pm : Approximation par les moindres carrés Meilleure approximation Problème des moindres carrés Application à l’approximation polynomiale Lissage de données Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion p̃(x ) = m X aj x j j=0 les composantes aj de p̃ sont les solutions du système normal suivant : B t Ba = B t b où B est la matrice rectangulaire (n + 1) × (m + 1) de coefficients bij = (xi )j a = (a0 , a1 , . . . , am ) b = (y0 , y1 , . . . , yn ). Interpolation Numérique Lissage de données Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés 15 15 10 10 5 5 0 0 Meilleure approximation Problème des moindres carrés −5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Application à l’approximation polynomiale Lissage de données Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Exemple À partir de 10 perturbations (croix) d’une loi quadratique (f (x ) = 10x 2 ), nous avons effectué une approximation de degré 2 (trait plein) au sens des moindres carrés, et une interpolation de Lagrange de degré 9 (trait discontinu) Interpolation Numérique Plan de section Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés 1 Approximation par les moindres carrés 2 Interpolation de Lagrange Construction du polynôme d’interpolation Erreur d’interpolation Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis Contre-exemple de Runge 3 Interpolation de Lagrange par morceaux Interpolation de Lagrange Construction du polynôme d’interpolation Erreur d’interpolation Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis Contre-exemple de Runge Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Interpolation Numérique Interpolation de Lagrange Interpolation Numérique Résumé Problème Nous cherchons un polynôme Πn ∈ Pn passant par n + 1 couples (xi , yi ), i.e Πn (xi ) = yi ∀i = 0, . . . , n Approximation par les moindres carrés Le polynome Πn est appelé polynôme d’interpolation ou polynôme interpolant de degré n. Interpolation de Lagrange Les points xi sont appelés noeuds d’interpolation. Construction du polynôme d’interpolation Erreur d’interpolation Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis Contre-exemple de Runge Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Si les noeuds sont espacés d’une même longueur h, on dit qu’ils sont équirépartis. Théorème (Existence et unicité) Etant donnés n + 1 points distincts x0 , . . . , xn et n + 1 valeurs correspondantes y0 , . . . , yn , il existe un unique polynôme Πn ∈ Pn tel que Πn (xi ) = yi pour i = 0, . . . , n. Interpolation Numérique Interpolation de Lagrange Interpolation Numérique Résumé Problème Nous cherchons un polynôme Πn ∈ Pn passant par n + 1 couples (xi , yi ), i.e Πn (xi ) = yi ∀i = 0, . . . , n Approximation par les moindres carrés Le polynome Πn est appelé polynôme d’interpolation ou polynôme interpolant de degré n. Interpolation de Lagrange Les points xi sont appelés noeuds d’interpolation. Construction du polynôme d’interpolation Erreur d’interpolation Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis Contre-exemple de Runge Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Si les noeuds sont espacés d’une même longueur h, on dit qu’ils sont équirépartis. Théorème (Existence et unicité) Etant donnés n + 1 points distincts x0 , . . . , xn et n + 1 valeurs correspondantes y0 , . . . , yn , il existe un unique polynôme Πn ∈ Pn tel que Πn (xi ) = yi pour i = 0, . . . , n. Interpolation Numérique Interpolation de Lagrange Interpolation Numérique Résumé Problème Nous cherchons un polynôme Πn ∈ Pn passant par n + 1 couples (xi , yi ), i.e Πn (xi ) = yi ∀i = 0, . . . , n Approximation par les moindres carrés Le polynome Πn est appelé polynôme d’interpolation ou polynôme interpolant de degré n. Interpolation de Lagrange Les points xi sont appelés noeuds d’interpolation. Construction du polynôme d’interpolation Erreur d’interpolation Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis Contre-exemple de Runge Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Si les noeuds sont espacés d’une même longueur h, on dit qu’ils sont équirépartis. Théorème (Existence et unicité) Etant donnés n + 1 points distincts x0 , . . . , xn et n + 1 valeurs correspondantes y0 , . . . , yn , il existe un unique polynôme Πn ∈ Pn tel que Πn (xi ) = yi pour i = 0, . . . , n. Interpolation Numérique Interpolation de Lagrange Interpolation Numérique Résumé Problème Nous cherchons un polynôme Πn ∈ Pn passant par n + 1 couples (xi , yi ), i.e Πn (xi ) = yi ∀i = 0, . . . , n Approximation par les moindres carrés Le polynome Πn est appelé polynôme d’interpolation ou polynôme interpolant de degré n. Interpolation de Lagrange Les points xi sont appelés noeuds d’interpolation. Construction du polynôme d’interpolation Erreur d’interpolation Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis Contre-exemple de Runge Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Si les noeuds sont espacés d’une même longueur h, on dit qu’ils sont équirépartis. Théorème (Existence et unicité) Etant donnés n + 1 points distincts x0 , . . . , xn et n + 1 valeurs correspondantes y0 , . . . , yn , il existe un unique polynôme Πn ∈ Pn tel que Πn (xi ) = yi pour i = 0, . . . , n. Interpolation Numérique Interpolation de Lagrange Interpolation Numérique Résumé Problème Nous cherchons un polynôme Πn ∈ Pn passant par n + 1 couples (xi , yi ), i.e Πn (xi ) = yi ∀i = 0, . . . , n Approximation par les moindres carrés Le polynome Πn est appelé polynôme d’interpolation ou polynôme interpolant de degré n. Interpolation de Lagrange Les points xi sont appelés noeuds d’interpolation. Construction du polynôme d’interpolation Erreur d’interpolation Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis Contre-exemple de Runge Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Si les noeuds sont espacés d’une même longueur h, on dit qu’ils sont équirépartis. Théorème (Existence et unicité) Etant donnés n + 1 points distincts x0 , . . . , xn et n + 1 valeurs correspondantes y0 , . . . , yn , il existe un unique polynôme Πn ∈ Pn tel que Πn (xi ) = yi pour i = 0, . . . , n. Interpolation Numérique La formule d’interpolation de Lagrange Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Construction du polynôme d’interpolation Erreur d’interpolation Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis Contre-exemple de Runge Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Construction du polynôme Définissons les fonctions li ∈ Pn : li (x ) = n Y x − xj j=0 j6=i xi − x j , i = 0, . . . , n. Ce sont les polynômes caractéristiques (de Lagrange). On trouve la formule d’interpolation de Lagrange : Πn (x ) = n X yi li (x ). i=0 Si yi = f (xi ) pour une certaine fonction f donnée, le polynôme Πn (x ) est noté Πn f (x ) Interpolation Numérique La formule d’interpolation de Lagrange Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Construction du polynôme d’interpolation Erreur d’interpolation Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis Contre-exemple de Runge Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Construction du polynôme Définissons les fonctions li ∈ Pn : li (x ) = n Y x − xj j=0 j6=i xi − x j , i = 0, . . . , n. Ce sont les polynômes caractéristiques (de Lagrange). On trouve la formule d’interpolation de Lagrange : Πn (x ) = n X yi li (x ). i=0 Si yi = f (xi ) pour une certaine fonction f donnée, le polynôme Πn (x ) est noté Πn f (x ) Interpolation Numérique La formule d’interpolation de Lagrange Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Construction du polynôme d’interpolation Erreur d’interpolation Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis Contre-exemple de Runge Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Construction du polynôme Définissons les fonctions li ∈ Pn : li (x ) = n Y x − xj j=0 j6=i xi − x j , i = 0, . . . , n. Ce sont les polynômes caractéristiques (de Lagrange). On trouve la formule d’interpolation de Lagrange : Πn (x ) = n X yi li (x ). i=0 Si yi = f (xi ) pour une certaine fonction f donnée, le polynôme Πn (x ) est noté Πn f (x ) Interpolation Numérique Erreur d’interpolation Estimation d’erreur Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Construction du polynôme d’interpolation Théorème Dans le cas de n + 1 noeuds équirépartis sur un intervalle [a, b], nous avons l’estimation d’erreur suivante : En (f ) = Erreur d’interpolation Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis ≤ max |f (x ) − Πn f (x )| x ∈[a,b] 1 4(n + 1) b−a n n+1 max |f (n+1) (x )| x ∈[a,b] Contre-exemple de Runge Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Interpolation Numérique Défauts de l’interpolation de Lagrange Convergence et stabilité Interpolation Numérique Comportement de l’erreur lorsque n → ∞ 1 Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Construction du polynôme d’interpolation Erreur d’interpolation 2 Pour une fonction f et une matrice d’interpolation X données, on définit l’erreur d’interpolation En,∞ (X ) = kf − Πn f k∞ , n = 0, 1, . . . On note pn∗ ∈ Pn la meilleure approximation polynomiale, l’interpolation pour laquelle En∗ = kf − pn∗ k∞ ≤ kf − qn k∞ ∀qn ∈ Pn . Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis Contre-exemple de Runge Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Propriété En,∞ (X ) ≤ En∗ (1 + Λn (X )), n = 0, 1, . . . où Λn (X ) désigne la constante de Lebesgue de X . Interpolation Numérique Défauts de l’interpolation de Lagrange Convergence et stabilité Interpolation Numérique Comportement de l’erreur lorsque n → ∞ 1 Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Construction du polynôme d’interpolation Erreur d’interpolation 2 Pour une fonction f et une matrice d’interpolation X données, on définit l’erreur d’interpolation En,∞ (X ) = kf − Πn f k∞ , n = 0, 1, . . . On note pn∗ ∈ Pn la meilleure approximation polynomiale, l’interpolation pour laquelle En∗ = kf − pn∗ k∞ ≤ kf − qn k∞ ∀qn ∈ Pn . Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis Contre-exemple de Runge Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Propriété En,∞ (X ) ≤ En∗ (1 + Λn (X )), n = 0, 1, . . . où Λn (X ) désigne la constante de Lebesgue de X . Interpolation Numérique Défauts de l’interpolation de Lagrange Convergence et stabilité Interpolation Numérique Comportement de l’erreur lorsque n → ∞ 1 Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Construction du polynôme d’interpolation Erreur d’interpolation 2 Pour une fonction f et une matrice d’interpolation X données, on définit l’erreur d’interpolation En,∞ (X ) = kf − Πn f k∞ , n = 0, 1, . . . On note pn∗ ∈ Pn la meilleure approximation polynomiale, l’interpolation pour laquelle En∗ = kf − pn∗ k∞ ≤ kf − qn k∞ ∀qn ∈ Pn . Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis Contre-exemple de Runge Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Propriété En,∞ (X ) ≤ En∗ (1 + Λn (X )), n = 0, 1, . . . où Λn (X ) désigne la constante de Lebesgue de X . Interpolation Numérique Défauts de l’interpolation de Lagrange Convergence et stabilité Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Construction du polynôme d’interpolation Erreur d’interpolation Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis Contre-exemple de Runge Conséquences On peut montrer que pour une matrice d’interpolation X sur intervalle [a, b], il existe toujours une fonction continue f telle que Πn f ne converge pas uniformément vers f . L’interpolation polynomiale ne permet pas d’approcher convenablement toute fonction continue. Dans le cas de noeuds équirépartis, l’interpolation polynomiale peut devenir instable. Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Interpolation Numérique Défauts de l’interpolation de Lagrange Convergence et stabilité Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Construction du polynôme d’interpolation Erreur d’interpolation Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis Contre-exemple de Runge Conséquences On peut montrer que pour une matrice d’interpolation X sur intervalle [a, b], il existe toujours une fonction continue f telle que Πn f ne converge pas uniformément vers f . L’interpolation polynomiale ne permet pas d’approcher convenablement toute fonction continue. Dans le cas de noeuds équirépartis, l’interpolation polynomiale peut devenir instable. Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Interpolation Numérique Défauts de l’interpolation de Lagrange Convergence et stabilité Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Construction du polynôme d’interpolation Erreur d’interpolation Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis Contre-exemple de Runge Conséquences On peut montrer que pour une matrice d’interpolation X sur intervalle [a, b], il existe toujours une fonction continue f telle que Πn f ne converge pas uniformément vers f . L’interpolation polynomiale ne permet pas d’approcher convenablement toute fonction continue. Dans le cas de noeuds équirépartis, l’interpolation polynomiale peut devenir instable. Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Interpolation Numérique Le contre-exemple de Runge Interpolation Numérique 1 1 Résumé Approximation par les moindres carrés 0 0.5 −1 −2 0 Interpolation de Lagrange Construction du polynôme d’interpolation −3 −0.5 −5 0 5 −4 −5 0 Erreur d’interpolation Défauts de l’interpolation avec noeuds équirépartis Contre-exemple de Runge Interpolation de Lagrange par morceaux Contre-exemple de Runge Interpolation de Lagrange avec noeuds équirépartis de la fonction f (x ) = 1/(1 + x 2 ) (trait plein). Cette interpolation diverge pour |x | > 3.63 . . . Conclusion Interpolation Numérique 5 Plan de section Interpolation Numérique Résumé 1 Approximation par les moindres carrés Approximation par les moindres carrés 2 Interpolation de Lagrange 3 Interpolation de Lagrange par morceaux Principe de l’interpolation par morceaux Erreur d’interpolation Interpolation par morceaux de la fonction de Runge Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Principe de l’interpolation par morceaux Erreur d’interpolation Interpolation par morceaux de la fonction de Runge Conclusion Interpolation Numérique Interpolation de Lagrange par morceaux Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Principe de l’interpolation par morceaux Erreur d’interpolation Interpolation par morceaux de la fonction de Runge Conclusion Observation L’interpolation de Lagrange de bas degré est assez précise quand on l’utilise sur des intervalles petits (y compris avec des noeuds équirépartis). Conséquences On peut introduire une partition τh de [a, b] en N sous-intervalles Ij = [xj , xj+1 ] de longeur h et utiliser une interpolation de Lagrange de degré k ≥ 1, assez petit, sur chaque intervalle Ij Typiquement, le degré d’interpolation k est 1, 2 ou 3. Interpolation Numérique Interpolation de Lagrange par morceaux Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Principe de l’interpolation par morceaux Erreur d’interpolation Interpolation par morceaux de la fonction de Runge Conclusion Observation L’interpolation de Lagrange de bas degré est assez précise quand on l’utilise sur des intervalles petits (y compris avec des noeuds équirépartis). Conséquences On peut introduire une partition τh de [a, b] en N sous-intervalles Ij = [xj , xj+1 ] de longeur h et utiliser une interpolation de Lagrange de degré k ≥ 1, assez petit, sur chaque intervalle Ij Typiquement, le degré d’interpolation k est 1, 2 ou 3. Interpolation Numérique Estimation d’erreur Pour l’interpolation par morceaux Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Proposition Pour une fonction f ∈ C k+1 ([a, b]), l’estimation d’erreur d’une interpolation par morceaux de degré k sur des intervalles de longueur h est donnée par : Ehk (f ) = kf − Πkh f k∞ ≤ Chk+1 kf (k+1) k∞ . Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Principe de l’interpolation par morceaux Erreur d’interpolation Interpolation par morceaux de la fonction de Runge Conclusion Remarque Si N est le nombre de morceaux, on a h = (b − a)/N, et on peut étudier l’exposant de h dans la formule précédente en observant que log Ehk (f ) ≤ C̃ − (k + 1) log(N) On a une droite logarithmique de pente −(k + 1) Interpolation Numérique Estimation d’erreur Pour l’interpolation par morceaux Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Proposition Pour une fonction f ∈ C k+1 ([a, b]), l’estimation d’erreur d’une interpolation par morceaux de degré k sur des intervalles de longueur h est donnée par : Ehk (f ) = kf − Πkh f k∞ ≤ Chk+1 kf (k+1) k∞ . Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Principe de l’interpolation par morceaux Erreur d’interpolation Interpolation par morceaux de la fonction de Runge Conclusion Remarque Si N est le nombre de morceaux, on a h = (b − a)/N, et on peut étudier l’exposant de h dans la formule précédente en observant que log Ehk (f ) ≤ C̃ − (k + 1) log(N) On a une droite logarithmique de pente −(k + 1) Interpolation Numérique Interpolation par morceaux de la fonction de Runge Interpolation Numérique 1 1 Résumé 0.8 0.8 Approximation par les moindres carrés 0.6 0.6 0.4 0.4 Interpolation de Lagrange 0.2 0.2 Interpolation de Lagrange par morceaux Principe de l’interpolation par morceaux Erreur d’interpolation Interpolation par morceaux de la fonction de Runge Conclusion 0 −5 0 5 0 −5 0 Exemple Interpolation linéaire par morceaux de la fonction f (x ) = 1/(1 + x 2 ) (trait plein). L’interpolation converge vers la fonction lorsque le nombre de morceaux augmente Interpolation Numérique 5 Erreur d’interpolation par morceaux pour la fonction de Runge Interpolation Numérique 1 2 10 10 Résumé Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Principe de l’interpolation par morceaux Erreur d’interpolation Interpolation par morceaux de la fonction de Runge Conclusion 1 Erreur (log) 10 Erreur (log) Approximation par les moindres carrés 0 10 0 10 −1 10 −1 10 −2 10 −2 10 1 3 5 7 9 log(N) 13 21 29 39 2 4 6 8 10 log(N) 14 20 26 32 40 Exemple Erreurs (ronds) pour l’interpolation linéaire par morceaux de la fonction de Runge. En trait plein l’estimation théorique. Le degré d’interpolation étant k = 1, la droite théorique est de pente −2 Interpolation Numérique Conclusion Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Nous avons vu L’approximation polynomiale par les moindres carrés : stable, lissages de données L’interpolation de lagrange : pas forcément convergente, instable, mais précise sur de petits intervalles L’interpolation par morceaux : convergente et efficace (ordre 2,3 ou 4) Interpolation Numérique Référence Interpolation Numérique Résumé Approximation par les moindres carrés Interpolation de Lagrange A.Quarteroni, R. Sacco and F. Saleri, (2007) Méthodes numériques. Springer, Italia. Interpolation de Lagrange par morceaux Conclusion Interpolation Numérique