Cours 4
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Cours 4
COURS 4 Version de 3 février 2016. Une grande partie du quatrième cours a consisté à discuter des sujets qui sont traités dans les notes du troisième cours. 1. Formule de Schiffler Notre but est de démontrer les énoncés (ii) et (iii) pour les algèbres amassées associées aux polygones, en donnant une formule explicite pour les variables d’amas. Cette formule a été découverte plusieurs fois. Fomin et Zelevinsky la connaissaient. (Les algèbres amassées seraient un sujet intéressant pour une étude de la sociologie des mathématiques. Comment expliquer l’explosion d’intérêt pour ce sujet ? Il est clair que Fomin et Zelevinsky y ont contribué. En particulier, ils ont laissé la porte ouverte à bien d’autres gens pour s’impliquer dans l’étude des algèbres amassées, en n’écrivant pas de démonstrations de tout ce qu’ils savaient démontrer.) Comme j’ignorais qu’ils laissaient le travail de démonstration à d’autres, j’ai été très surpris de voir la formule de Schiffler. En effet, j’avais supposé que si un telle formule existait, elle aurait dû être démontré plus tôt. Soit T une triangulation, et γ une diagonale pas dans T . La notion clé est celle d’un T -chemin pour γ. Il s’agit d’un chemin, que nous notons comme une suite d’arêtes e1 , . . . , em , où chaque ei est une diagonale de T ou une arête du polygone. Il commence à une extrémité de γ et il se termine à l’autre extrémité. Il ne retourne pas à une arête qu’il a déjà visité. Contrairement à ce que j’ai dit dans le cours, il peut retourner à un sommet qu’il a déjà visité, (donc, c’est ce que l’on appelle un chemin simple dans la théorie des graphes). Sa longueur (m, le nombre d’arêtes) est impaire. Une arête en position paire doit croiser γ. On rencontre les points d’intersection du chemin avec γ dans le même ordre si on suit γ ou le chemin. Pour un exemple d’un chemin qui ne satisfait pas à cette dernière condition, voir les diagrammes. Pour un T -chemin e, on définit le monôme me : Q i impair w(ei ) me = Q i pair w(ei ) Ici w(ei ) est la variable d’amas ou la variable gelée associée à l’arête ei . 1 2 COURS 4 P La formule de Schiffler est : xγ = e un T -chemin me . La démonstration de la formule de Schiffler est par induction sur le nombre de fois que γ croise des diagonales de T . La formule est certainment correcte si γ ne croise qu’une seule diagonale de T — dans ce cas, la formule se déduit immédiatement de la relation d’échange qui exprime la valeur de xγ . Voir les diagrammes. Maintenant, supposons que nous avons une diagonale γ qui croise au moins deux diagonales de T , et supposons que nous savons déjà que la formule de Schiffler fonctionne pour n’importe quelle diagonale qui croise T moins souvent. Mettons Pγ pour le sous-polygone qui est constitué des triangles par lesquels γ passe. Remarquons qu’un T -chemain pour γ ne peut pas sortir de Pγ , vu que les arêtes paires doivent croiser γ, et si une arête impaire sortait de Pγ , l’arête suivante (paire) ne pourrait pas croiser γ. Également, la variable d’amas xγ peut être calculée sans faire référence à quoi que ce soit hors de Pγ . Donc, nour pouvons mettre de côté tout ce qui est en dehors de Pγ . Étiquetons les extrémités de γ par P et Q. Mettons Z et W pour les sommets de Pγ adjacents à Q. On remarque que l’un d’entre eux n’a qu’une seule diagonale de T qui la croise, tandis que l’autre en a plus d’une. Mettons Z pour celui qui n’a qu’une seule diagonale de T qui la croise. Étiquetons les arêtes du triangle qui contient Q comme dans le diagramme. Nous pouvons supposer que la formule de Schiffler est correcte pour les arêtes P Z et P W . Nous savons que axP W cxP Z xγ = + . b b Mettons T (P W ) pour les T -chemins pour P W , et T (P Z) pour les T -chemins pour P Z. Par la formule de Schiffler (pour P W et P Z), nous avons P P a e∈T (P W ) me c e∈T (P Z) me xγ = + b b On note que certains des T -chemins pour P Z passent par W , tandis que pour certains, ce n’est pas le cas. Mettons TW (P Z) pour ceux qui passent par W , et TW c (P Z) pour les autres. Par contre, on note que les T -chemins pour P W ne peuvent pas passer par Z, donc on ne peut pas faire une telle division de T (P W ). On a maintenant : xγ = a P e∈T (P W ) b me + c P e∈TW (P Z) b me ) c + P e∈TW c (P Z) b me ) COURS 4 3 Je constate maintenant que ces trois sommes, (1), (2), (3) sont égales aux sommes des poids des T -chemins pour P Q (i) qui terminent par ba, (ii) qui terminent par xc pour x 6= b, (iii) qui terminent par bc. Il est clair que (1) est compris en (i). Pour voir que (i) est compris en (1), notez que l’avant-avant-dernière arête du chemin est forcément dans PP W . Il est clair que (2) = (ii) et que (3) = (iii). 2. Algèbres amassées des surfaces plus générales Vous vous souvenez que, dans notre cadre plus général, nous avons une surface avec bord, des points marqués sur le bord, et nous associons les variables d’amas à des classes d’équivalence d’arcs qui ne se croisent pas et ne sont pas homotopique à un seul segment de bord ou à un point. Commençons par l’énoncé (i) (que les variables d’amas sont biendéfinies). On a encore le graphe des triangulations de la surface, et celui-ci a, encore, des cycles distingués d’ordre quatre et cinq. Si on a deux sommets sur un cycle, les deux suites de mutations qui les lient dans le cycle, ont, encore, le même effet sur les variables d’amas. Ce qu’il nous faut de plus, et qui n’est pas évident, c’est que, pour deux chaines de flips, C1 et C2 , qui mènent d’une triangulation, T , à une autre, S, il soit possible d’interpoler entre C1 et C2 une suite de cycles distingués (voir les diagrammes). Voir [FST] pour des références. Pour démontrer les énoncés (ii) et (iii), on peut encore utiliser la formule de Schiffler. On peut l’exprimer de cette manière. Considérez un arc γ. Il croise une suite de triangles de T . Redessinez les triangles dans le plan, pour faire un polygone Pγ par lequel γ passe. Notez que certaines diagonales de T peuvent apparaı̂tre plus d’une fois, à cause de la manière que γ tourne sur la surface. Ne vous en occupez pas ! On s’imagine comme une fourmi, qui suit l’arc γ et qui remarque chaque triangle qu’elle croise, sans reconnaı̂tre s’elle l’a déjà vu ou non. Par ce processus, il en résulte une suite de triangles dessinées dans le plan, et nous sommes dans une situation où on peut considérer exactement la même définition de T -chemins que l’on a déjà vue. Il s’avère que cette définition donne la bonne formule pour les variables d’amas. (Malheureusement, c’est expliqué d’une façon plus compliquée dans [ST].) Par contre, la démonstration n’est pas exactement la même ! Le problème est que les arcs P W , W Q, QZ, ZP , peuvent ne pas former un quadrilatère sur la surface (parce qu’ils se croisent les un les autres). 4 COURS 4 Voir les diagrammes. Donc, on ne sait pas si la rélation d’échange qu’on a utilisé dans la démonstration dans le cas d’un polygone, est vérifiée ou non. Pour éviter ce problème, nous démontrons qu’il y a un quadrilatère dans Pγ qui est encore un quadrilatère honnête si on le considère sur la surface originale S, et qui a γ comme diagonale. (Ceci n’est pas du tout évident. Voir [ST].) Par induction, les variables de A(S) associées aux autres arcs du quadrilatère sont données par la formule de Schiffler, et on sait déjà que les variables associées à ces arcs dans l’algèbre amassée associée à Pγ sont également données par la formule de Schiffler, et donc les variables sont égales dans les deux algèbres. Dans les deux algèbres amassées, xγ peut être calculé par l’échange qui provient de ce quadrilatère. Il s’en suit que xγ a la même valeur dans les deux algèbres. Dans celle associée à Pγ , on sait que xγ est donnée par la formule de Schiffler, et donc il en découle de même pour A(S) aussi. Références [FST] S. Fomin, M. Shapiro, and D. Thurston. Cluster algebras and triangulated surfaces. arXiv :math/0608367. [FZ] S. Fomin and A. Zelevinsky. arXiv :math/0104151. Cluster algebras I : Foundations. [ST] R. Schiffler and H. Thomas. On cluster algebras arising from unpunctured surfaces. arXiv :math/0712.4131.