Point de vue de Heisenberg - ESPCI
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Point de vue de Heisenberg - ESPCI
Les points de vue de Schrödinger et Heisenberg en mécanique quantique « LES POINTS DE VUE » DE HEISENBERG ET SCHRÖDINGER Deux méthodes (« points de vue ») équivalents pour décrire l’évolution d’un système en mécanique quantique : 1. Le point de vue de Schrödinger : Les opérateurs sont indépendants du temps L’état du système évolue (équation de Schrödinger) 2. Le point de vue de Heisenberg : L’état du système est indépendant du temps Les opérateurs évoluent (équation de Heisenberg) Très utile en Optique Quantique, car on retrouve des équations d’évolution des opérateurs champ très proches de celles de l’électromagnétisme classique Lien entre ces points de vue ? D. Marchand L’Opérateur d’évolution. Les points de vue de Schrödinger et Heisenberg en mécanique quantique L’OPERATEUR D’EVOLUTION Equation de Schrödinger : i= * Si Ĥ dt = Hˆ ( t ) Ψ( t ) est indépendant du temps, intégration formelle : d Ψ (t ) Ψ (t ) i ˆ − Ht = ˆ (t) = e U où Attention ! si Û ( t ) d Ψ( t ) Ĥ ˆ iHdt =− = → Ψ (t ) = e i ˆ − Ht = est un opérateur unitaire appelé Ψ ( 0 ) = Uˆ ( t ) Ψ ( 0 ) : « opérateur d’évolution ». ˆ dépend du temps (cas général) on a toujours Ψ ( t ) = U ( t ) Ψ ( 0 ) dUˆ ( t ) ˆ ˆ est solution de : i= dt = H ( t ) U ( t ) mais généralement. D. Marchand Uˆ ( t ) ≠ e i ˆ − Ht = où Les points de vue de Schrödinger et Heisenberg en mécanique quantique EQUATION DE HEISENBERG * Valeur moyenne de l’opérateur Aˆ S dans l’état af Ψt : Ψ ( t ) Aˆ S Ψ ( t ) = Ψ ( 0 ) Uˆ † ( t ) Aˆ SUˆ ( t ) Ψ ( 0 ) = Ψ ( 0 ) Aˆ H ( t ) Ψ ( 0 ) ˆ ( t ) = Uˆ † ( t ) Aˆ Uˆ ( t ) A S où H est l’opérateur  en « point de vue de Heisenberg ». ˆ ˆ ˆ * Equation d’évolution de AH ( t ) ( AS et H sont indépendants du temps) : ˆ (t ) dAˆ H ( t ) dUˆ † ( t ) ˆ ˆ dU † = ASU ( t ) + Uˆ ( t ) AS dt dt dt dAˆ H ( t ) ˆ Uˆ ( t ) + Uˆ † ( t ) Aˆ HU ˆ ˆ ( t ) = Uˆ † ( t ) Aˆ Uˆ ( t ) , H = −Uˆ † ( t ) HA i= S S S dt dAˆH ( t ) ˆ = AH ( t ) , Hˆ i= On obtient l’équation de Heisenberg : dt D. Marchand Les points de vue de Schrödinger et Heisenberg en mécanique quantique EQUATION DE HEISENBERG : remarques... * Valeur moyenne de l’équation de Heisenberg dAˆ H ( t ) i= = Aˆ H ( t ) , Hˆ dt En prenant la valeur moyenne dans l’état i= d Aˆ ( t ) dt * Cas général où Aˆ S et = Aˆ , Hˆ ( t ) Hˆ S af Ψ0 : Théorème d’Ehrenfest dépendent de t: ∂ Aˆ S ( t ) dAˆ H ( t ) = i= i= + Aˆ H ( t ) , Hˆ H ( t ) ∂t dt H avec pour tous les opérateurs Aˆ H ( t ) = Uˆ † ( t ) Aˆ SUˆ ( t ) Valeur moyenne → théorème d’Ehrenfest généralisé. D. Marchand