Échanges d`énergie des gaz parfaits

Échanges d’énergie des gaz parfaits
I20.
Un cylindre fermé aux deux extrémités est séparé en deux
compartiments par un piston étanche qui y coulisse sans
frottement. A gauche se trouve de l’air ( γ = 1, 4 ), dans les
S = 1 m2
P0, V0, T0
conditions initiales P0 = 10 Pa , T0 ; à droite il y a du vide et
5
un ressort de raideur k = 106 N/m . On donne à l’air de
gauche la quantité de chaleur Q de sorte que son volume
augmente de 50 %. Calculer Q .
vide
a=1m
a=1m
II65. Question de cours.
1) Décrire l’expérience de la détente de Joule-Gay Lussac.
2) Montrer que cette expérience teste si un gaz satisfait à la première loi de Joule, c’est-à-dire si son énergie interne
ne dépend que de sa température.
3) Un gaz parfait satisfait-il à cette loi ?
4) Montrer qu’il satisfait à la deuxième loi de Joule, c’est-à-dire que son enthalpie ne dépend que de sa température.
5) Définir les capacités thermiques Cv à volume constant et Cp à pression constante d’un système quelconque. Qu’y
a-t-il de particulier pour un gaz parfait ?
6) Démontrer la relation de Mayer exprimant Cp – Cv.
7) Démontrer la loi de Laplace, en donnant aussi précisément que possible ses conditions de validité.
III51.
Un gaz parfait, de rapport des capacités thermiques γ = 5 / 3 , est en équilibre dans l’état pi ,Vi ,Ti . On fait passer
brutalement la pression extérieure, c’est-à-dire la pression que lui applique le milieu extérieur, là où le mouvement est
possible de pi à p f = api . Le gaz se met en mouvement, tandis que la pression extérieure reste fixée à p f ; il
s’immobilise finalement dans un état p f ,Vf ,Tf . Pendant ce mouvement, il n’échange pas de chaleur avec le milieu
extérieur.
1) Appliquer le premier principe à cette transformation. En déduire le volume final Vf en fonction de Vi , a et γ .
2) Soit Vf′ le volume final pour une transformation quasistatique adiabatique avec la même variation de pression.
Exprimer Vf′ en fonction de Vi , a et γ .
3) Calculer la limite de
Vf′ − Vi Vf − Vi
quand a tend vers 1. Interpréter.
Vi
Vi
IV36.
Un solide incompressible et indilatable de capacité thermique C est en bon contact thermique avec n moles d'un gaz
de γ donné, de sorte que les températures du solide et du gaz restent constamment égales. Il n'y a pas d'autre transfert de
chaleur. Montrer que PVk , où V est le volume du gaz, reste constant et exprimer k en fonction de C, n, R et γ.
On rappelle que pour un corps incompressible et indilatable dU = CdT .
DS : échanges d’énergie des gaz parfaits, page 1
Réponses
PS
ka 2 P0V0
PS P S V
I. Le raccourcissement du ressort passe de x0 = 0 à x1 = 1 = 0 + 0 ; pour le gaz, W = −
et
−
2S
k
k
k
8
2
⎞
⎛3 1
PV ⎛ 1
1 ⎛⎜ P0V0 3ka 2 ⎞⎟
1⎞
⎟⎟ ; Q = ∆U −W = 0 0 ⎜⎜
∆U =
+
+ 1⎟⎟⎟ + ka 2 ⎜⎜
+ ⎟⎟⎟ = 2,175.106 J .
⎜⎜
γ − 1 ⎜⎝ 2
4 ⎠⎟
2 ⎝⎜ γ − 1
⎠⎟
⎝⎜ 4 γ − 1 8 ⎠⎟
II. 1) Deux récipients sont reliés par un robinet ; l’un contient un gaz, l’autre est vide; on ouvre le robinet et on
examine si la température varie ; 2) ∆U = 0 ; si U (V ,T ) dépend effectivement de V , la température devrait varier ;
dU
⎛ ∂U ⎞⎟
⎛ ∂H ⎞⎟
3) oui ; 4) H = U + pV = U (T ) + nRT ; 5) C v = ⎜⎜
et C p = ⎜⎜
, soit pour un gaz parfait, C v =
⎝ ∂T ⎠⎟V
⎝ ∂T ⎠⎟p
dT
dH
; 6) dériver H = U (T ) + nRT , d’où C p − C v = nR ; 7) voir corrigé.
dT
1
1 ⎞
⎛
III. 1) Vf = Vi ⎜⎜ 1 − 1 − ⎟⎟⎟ ; 2) Vf′ = Via −1/ γ ; 3) cette limite est 1 ; si les déséquilibres tendent vers 0, la
⎝
γ
a ⎠
transformation tend vers une transformation réversible.
1
.
IV. k = 1 +
C
1
+
nR
γ −1
et C p =
(
)
DS : échanges d’énergie des gaz parfaits, page 2
Corrigé
I.
P0 S
PS P S V
, à la fin il vaut x1 = 1 = 0 + 0 .
2S
k
k
k
2
kV
PV
k V0 ⎛ V0 2 P0 S ⎞
ka 2 P0V0
.
=−
+
−
⎜
⎟ = − 02 − 0 0 = −
2 2S ⎝ 2S
2
8
2
k ⎠
8S
Soit x le raccourcissement du ressort. Initialement, il vaut x0 =
Le travail reçu par le gaz est W = −
x1
∫
kxdx = −
x0
La variation d’énergie interne du gaz est ∆U =
Q = ∆U − W =
P0V0
2
(
k x12 − x02
2
)
P1 3V0 / 2 − P0V0
1 ⎛⎜ P0V0 3kV02
=
+
γ −1
γ − 1 ⎜⎝ 2
4S 2
⎛ 1
⎞
⎛3 1
1 ⎞ 10 5
⎜⎜
+ 1⎟⎟ + ka 2 ⎜⎜
+ ⎟⎟ =
2
⎝ γ −1 ⎠
⎝ 4 γ −1 8 ⎠
2
⎞
⎛
⎟ = 1 ⎜ P0V0 + 3ka
⎟ γ −1⎜ 2
4
⎝
⎠
⎞
⎟.
⎟
⎠
1⎞
⎞
⎛ 1
6⎛ 3 1
6
⎜⎜ 0,4 + 1⎟⎟ + 10 ⎜⎜ 4 0,4 + 8 ⎟⎟ = 2,175.10 J .
⎠
⎝
⎠
⎝
II.
1) Deux récipients sont reliés par un robinet ; l’un contient un gaz ; le vide a été fait dans l’autre ; on ouvre le robinet
et on examine si la température varie.
2) Le premier principe s’écrit ∆U = 0 .
A priori, l’énergie interne d’un gaz est une fonction de son état, soit U = U (V ,T ) . Si U dépend effectivement de
V , la température devrait varier.
3) Un gaz parfait satisfait exactement à cette loi.
4) H = U + pV = U (T ) + nRT qui montre que l’enthalpie ne dépend que de la température.
dU
dH
⎛ ∂U ⎞⎟
⎛ ∂H ⎞⎟
5) Pour un système quelconque, C v = ⎜⎜
et C p = ⎜⎜
. Pour un gaz parfait, C v =
et C p =
.
⎝ ∂T ⎠⎟p
⎝ ∂T ⎠⎟V
dT
dT
dH
dU
=
+ nR ⇒ C p − C v = nR
dT
dT
7) La loi de Laplace s’applique à une transformation adiabatique d’un gaz parfait dont le rapport des capacités
thermiques isobare et isochore est une constante. Elle est valable dans chacun des deux cas suivants :
• si la transformation est réversible et la température uniforme (même si l’énergie cinétique est non négligeable) ;
• si la transformation est quasistatique (même si la transformation n’est pas réversible parce que la température
n’est pas uniforme, ce qui provoque des échanges thermiques internes).
Elle n’est pas valable pour des transformations adiabatiques irréversibles et non quasistatiques, comme la détente de
Joule-Gay Lussac.
Pour la démontrer simplement, évitons les conditions limites de validité ; supposons qu’un gaz parfait décrive une
transformation adiabatique, quasistatique (donc p uniforme) et réversible (T uniforme), où le seul travail qu’il reçoit
est celui de la pression :
δW = −pdV ; δQ = 0
6) En dérivant H = U (T ) + nRT , on obtient
H = U + pV ⇒ C p dT = dH = dU + pdV + Vdp = δQ + δW + pdV +Vdp = Vdp
C v dT = dU = δQ + δW = −pdV
Le rapport membre à membre donne
Cp
Vdp
γ=
=−
Cv
pdV
dp
dV
+γ
=0
p
V
soit en intégrant pV γ = cste .
III.
1)
∆U = W
p f Vf − piVi
= −p f (Vf − Vi )
γ −1
−piVi = −γp f Vf + ( γ − 1 ) p f Vi
Vf = Vi
( γ − 1 ) p f + pi
γp f
(
⎛
1
1
= Vi ⎜⎜ 1 − 1 −
⎝
a
γ
)⎞⎠⎟⎟⎟
2) piVi γ = p f Vf′ γ ⇒ Vf′ = Vi a −1/ γ
DS : échanges d’énergie des gaz parfaits, page 3
3)
Vf
1
1
ε
∼−
−1 = − 1−
γ
γ
Vi
a
Vf ′
ε
− 1 = a −1/ γ − 1 = ( 1 + ε )−1/ γ − 1 ∼ −
γ
Vi
Les variations de volume sont des infiniment petits équivalents. Cela traduit que l’irréversibilité provoquée par
l’augmentation brutale de pression est moins grande si la variation de pression est petite et tend vers zéro avec cette
variation.
Si les déséquilibres tendent vers 0, la transformation tend vers une transformation réversible.
(
)
IV.
Soit V le volume du gaz. Comme le volume du solide est constant, le premier principe pour le système formé du
solide et du gaz s’écrit :
dU = −PdV
nR
nRT
dT = −
dV
γ −1
V
⎛C
dV
1 ⎞ dT
⎜⎝⎜ nR + γ − 1 ⎠⎟⎟⎟ T = − V
dT
dP dV
=
+
Or, PV = nRT , soit
T
P
V
dP dV
dV
1
+
=−
C
1 V
P
V
+
γ −1
nR
dP
dV
1
+k
= 0 où : k = 1 +
.
de la forme
1
C
P
V
+
γ −1
nR
CdT +
DS : échanges d’énergie des gaz parfaits, page 4